2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章定積分11.1定積分的背景——面積和路程問題1.2定積分學(xué)案北師大版.docx

1.1定積分的背景面積和路程問題 1.2定積分學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解定積分的實際背景及定積分的概念.2理解定積分的幾何意義及性質(zhì)(難點)3.能利用定積分的幾何意義解決簡單的定積分計算問題(重點)1借助圖形理解定積分的幾何意義，提升了學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng).2借助利用定積分的幾何意義求定積分的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).1曲邊梯形的面積(1)曲邊梯形的概念由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖所示)(2)求曲邊梯形面積的步驟分割，近似替代，求和，取極值2定積分(1)定積分的定義一般地，給定一個在區(qū)間a，b上的函數(shù)yf(x)，將a，b區(qū)間分成n份，分點為：ax0x1x2xn1xnb.第i個小區(qū)間為xi1，xi，設(shè)其長度為xi，在這個小區(qū)間上取一點i，使f(i)在區(qū)間xi1，xi上的值最大，設(shè)Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在這個小區(qū)間上取一點i，使f(i)在區(qū)間xi1，xi上的值最小，設(shè)sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后，最大的小區(qū)間的長度趨于0，S與s的差也趨于0，此時，S與s同時趨于某一個固定的常數(shù)A，我們就稱A是函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dxA.其中叫作積分號，a叫作積分的下限，b叫作積分的上限，f(x)叫作被積函數(shù)(2)定積分的幾何意義如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么定積分f(x)dx表示由直線xa，xb(ab)，x軸和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(3)定積分的性質(zhì)1dxba；kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)提醒若f(x)在a，a上連續(xù)，則當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，f(x)dx2 f(x)dx；當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時，f(x)dx0.1函數(shù)f(x)x2在區(qū)間(i1,2，n)上，()Af(x)的值變化很小Bf(x)的值變化很大Cf(x)的值不變化D當(dāng)n很大時，f(x)的值變化很小D當(dāng)n很大時，矩形的寬越來越小，區(qū)間端點處的函數(shù)值越來越接近，函數(shù)值變化很小2在計算由曲線yx2以及直線x1，x1，y0所圍成的圖形面積時，若將區(qū)間1,1n等分，則每個小區(qū)間的長度為_每個小區(qū)間長度為.3已知f(x)dx6，則6f(x)dx_.366f(x)dx6f(x)dx6636.4若f(x)dx3，g(x)dx2，則f(x)g(x)dx_.5原式325.求曲邊梯形的面積【例1】求直線y0，x1，x2，曲線yx2圍成的曲邊梯形的面積思路探究：按分割、近似代替、求和、取極限四個步驟進行求解解分割：在區(qū)間1,2上等間隔地插入n1個點，將區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間：，.記第i個區(qū)間為 (i1,2，n)，其長度為x.分別過上述n1個分點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：S1，S2，Sn，顯然，SSi.近似代替：記f(x)x2，當(dāng)n很大，即x很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)f(x)x2的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似地等于右端點處的函數(shù)值f，從圖形(圖略)上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積Si近似地代替Si，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有SiSifx(n22nii2)(i1,2，n)，求和：由可推知SnSix(n22nii2)(22n2)2，從而得到S的近似值SSn2.取極限：可以看到，當(dāng)n趨向于無窮大時，即x趨向于0時，Sn2趨向于S，從而有SSn20(10)(10)2.由極限法求曲邊梯形的面積的步驟第一步：分割在區(qū)間a，b中等間隔地插入n1個分點，將其等分成n個小區(qū)間xi1，xi(i1,2，n)，小區(qū)間的長度xixixi1第二步：近似代替，“以直代曲”用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和將n個小矩形的面積進行求和得Sn.第四步：取極限當(dāng)n時，SnS，S即為所求1求由曲線yx2與直線x1，x2，y0所圍成的平面圖形面積時，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個小區(qū)間的左端點)是_1.02將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為，于是所求平面圖形的面積近似等于1.02定積分的幾何意義【例2】利用定積分的幾何意義求下列定積分(1) dx；(2)(2x1)dx；(3)(x33x)dx.思路探究：對于本題(1)、(2)可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)間，畫出圖形，然后用幾何法求出圖形面積，從而確定定積分的值；對于(3)可根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性求解解(1)曲線y表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓如圖所示其面積為S32.由定積分的幾何意義知dx.(2)曲線f(x)2x1為一條直線.(2x1)dx表示直線f(x)2x1，x0，x3，y0圍成的直角梯形OABC的面積，如圖.其面積為S(17)312根據(jù)定積分的幾何意義知(2x1)dx12圖 圖(3)yx33x在區(qū)間1,1上為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等由定積分的幾何意義知(x33x)dx0.1定積分的幾何意義的應(yīng)用(1)利用定積分的幾何意義求f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線yf(x)，直線xa，xb及y0所圍成的平面圖形的形狀常見的圖形有三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形(2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點要確定準(zhǔn)確2奇、偶函數(shù)在區(qū)間a，a上的定積分(1)若奇函數(shù)yf(x)的圖像在a，a上連續(xù)，則0.(2)若偶函數(shù)yf(x)的圖像在a，a上連續(xù)，則2f(x)dx.2根據(jù)定積分的幾何意義求下列定積分的值(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如圖，xdxA1A10.(2)如圖，cos xdxA1A2A30.(3)如圖，A1A2，|x|dx2A121(A1，A2，A3分別表示圖中相應(yīng)各處面積)定積分性質(zhì)的應(yīng)用探究問題1怎樣求分段函數(shù)的定積分？提示可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加2怎樣求奇(偶)函數(shù)在區(qū)間a，a上的定積分？提示(1)若奇函數(shù)yf(x)的圖像在a，a上連續(xù)，則af(x)dx0；(2)若偶函數(shù)yg(x)的圖像在a，a上連續(xù)，則g(x)dx2g(x)dx.【例3】利用定積分的性質(zhì)和定義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積(1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2思路探究：由定積分的幾何意義，作出圖形，分割區(qū)間表示解(1)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖所示設(shè)此面積為S，則S(0)dxdx.(2)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖所示設(shè)面積為S，則SA1A2因為A1由y，y，x1圍成，A2由y，yx2，x1和x4圍成，所以A1()dx2dx，A2(x2)dx(x2)dx.故S2 dx(x2)dx.利用定積分的性質(zhì)求定積分的技巧靈活應(yīng)用定積分的性質(zhì)解題，可以把比較復(fù)雜的函數(shù)拆成幾個簡單函數(shù)，把積分區(qū)間分割成可以求積分的幾段，進而把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，在運算方面更加簡潔應(yīng)用時注意性質(zhì)的推廣：3如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為()A.B.C. D.C根據(jù)題意，正方形OABC的面積為111，而陰影部分由函數(shù)yx與y圍成，其面積為(x)dx.則正方形OABC中任取一點P，點P取自陰影部分的概率為.1定積分是一個數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)定積分f(x)dx與積分區(qū)間a，b息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，定積分的積分上、下限不同，所得的值一般也不同2求曲邊梯形的面積的步驟用直邊形(如矩形)逼近曲邊梯形的方法求曲邊梯形的面積，具體步驟如下：3定積分的物理意義：從物理學(xué)的角度來看，如果在時間區(qū)間t1，t2上vv(t)連續(xù)且恒有v(t)0，那么定積分v(t)dt表示做變速直線運動的物體在時間區(qū)間t1，t2內(nèi)經(jīng)過的路程這就是定積分v(t)dt的物理意義4關(guān)于定積分的幾何意義由三條直線xa，xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積為S，則有：若在區(qū)間a，b上，f(x)0，則Sf(x)dx，如圖(1)所示，即f(x)dxS.(1)(2)(3)若在區(qū)間a，b上，f(x)0，則Sf(x)dx，如圖(2)所示，即f(x)dxS.若在區(qū)間a，c上，f(x)0，在區(qū)間c，b上，f(x)0，則Sf(x)dxf(x)dx，如圖(3)所示，即f(x)dxSASB(SA，SB表示所在區(qū)域A，B的面積)1下列等式不成立的是()A.mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB.f(x)1dxf(x)dxbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sin xdxsin xdxsin xdxC利用定積分的性質(zhì)可判斷A，B，D成立，C不成立例如xdx2，2dx4，2xdx4，即2xdxxdx2dx.2當(dāng)n很大時，函數(shù)f(x)x2在區(qū)間上的值可以用下列哪個值近似代替()AfBfCf Df(0)C當(dāng)n很大時，f(x)x2在區(qū)間上的值可用該區(qū)間上任何一點的函數(shù)值近似代替，顯