青海省西寧市2015-2016學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁（共 16 頁） 2015年青海省西寧市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分，每小題給出四個選項中，只有一個選項符合要求，請把你認(rèn)為正確的選項序號填入相應(yīng)題號的表格內(nèi)） 1如果 a b 0，那么下面一定成立的是（ ） A a b 0 B D 某小組有 3 名男生和 2 名女生，從中任選 2 名同學(xué)參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個事件是（ ） A恰有 1 名男生與恰有 2 名女生 B至少有 1 名 男生與全是男生 C至少有 1 名男生與至少有 1 名女生 D至少有 1 名男生與全是女生 3在 ， A=60， B=45， a=1，則最短邊的邊長等于（ ） A B C D 4某校高一、高二年級各有 7 個班參加歌詠比賽，他們的得分的莖葉圖如圖所示，對這組數(shù)據(jù)分析正確的是（ ） A高一的中位數(shù)大，高二的平均數(shù)大 B高一的平均數(shù)大，高二的中位數(shù)大 C高一的中位數(shù)、平均數(shù)都大 D高二的中位數(shù)、平均數(shù)都大 5已知數(shù)列 其通項公式 n 18，則其前 n 項和 最小值時 n 的值為（ ） A 4 B 5 或 6 C 6 D 5 6一個總體中有 60 個個體，隨機編號為 0， 1， 2， 59，依編號順序平均分成 6 個小組，組號依次為 1， 2， 3， 6現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為 6 的樣本，若在第 1 組隨機抽取的號碼為 3，則在第 5 組中抽取的號碼是（ ） A 33 B 43 C 53 D 54 7已知 三內(nèi)角 A， B， C 成等差數(shù)列，且 ， ，則該三角形面積為（ ） A B 2 C 2 D 4 8秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，他在所著的數(shù)學(xué)九章中提出多項式求值的秦九韶算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例，依次輸 入 a 為 2，2， 5，則輸出的 s=（ ） 第 2 頁（共 16 頁） A 7 B 12 C 17 D 34 9現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊 4 次，至少擊中 3 次的概率：先由計算器給出0 到 9 之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定 0、 1 表示沒有擊中目標(biāo)， 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 表示擊中目標(biāo)，以 4 個隨機數(shù)為一組，代表射擊 4 次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了 20 組隨機數(shù)： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊 4 次至少擊中 3 次的概率為（ ） A 0某產(chǎn)品的廣告費用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表 廣 告 費 用 x （萬元） 4 2 3 5 銷 售 額 y （萬元） 49 26 a 54 已知由表中 4 組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程 =8x+14，則表中的 a 的值為（ ） A 37 B 38 C 39 D 40 11邊長為 5， 7， 8 的三角形的最大角與最小角的和是（ ） A 90 B 120 C 135 D 150 12設(shè) a 0， b 0，若 是 5a 與 5b 的等比中項，則 + 的最小值為（ ） A 8 B 4 C 1 D 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分，請把答案 填寫在題中的橫線上） 13數(shù)列 ， ， =，那么這個數(shù)列的通項公式是 第 3 頁（共 16 頁） 14如圖，一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長為 1 米的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機地撒 1000 顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的黃豆數(shù)為 360 顆，以此實驗數(shù)據(jù) 1000 為依據(jù)可以估計出該不規(guī)則圖形的面積為 平方米（用分?jǐn)?shù)作答） 15已知 0 x 8，則（ 8 x） x 的最大值是 16某船在海面 A 處測得燈塔 B 在北偏東 60方向，與 A 相距 6 海里船由 A 向正北方向航行 8 海里達(dá)到 C 處，這時燈塔 B 與船之間的距離為 三、解答題（本大題共 6 小題，滿分 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。） 17如圖，在 ， 2， ， ，點 D 在邊 ，且 0 （ ）求 （ ）求線段 長 18某小型餐館一天中要購買 A， B 兩種 蔬菜， A， B 蔬菜每公斤的單價分別為 2 元和 3 元根據(jù)需要， A 蔬菜至少要買 6 公斤， B 蔬菜至少要買 4 公斤，而且一天中購買這兩種蔬菜的總費用不能超過 60 元 （ 1）寫出一天中 A 蔬菜購買的公斤數(shù) x 和 B 蔬菜購買的公斤數(shù) y 之間的滿足的不等式組；并在給定的坐標(biāo)系中畫出不等式組表示的平面區(qū)域（用陰影表示）， （ 2）如果這兩種蔬菜加工后全部賣出， A， B 兩種蔬菜加工后每公斤的利潤分別為 2 元和 1元，餐館如何采購這兩種蔬菜使得利潤最大，利潤最大為多少元？ 19一個袋子中裝 有大小和形狀相同的紅球、白球和籃球，其中有有 2 個紅球， 3 個白球，n 個籃球 第 4 頁（共 16 頁） （ ）若從中任取一個小球為紅球的概率為 ，求 n 的值； （ ）若從中任取一個小球為白球或籃球的概率為 ，求從中任取一個小球不是籃球的概率 20已知等差數(shù)列 前 n 項和為 ， 2 （ ）求 通項公式； （ ）求證： 等比數(shù)列 21某班 50 名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試中，成績?nèi)橛?50 與 100 之間，測試結(jié)果的頻率分布表如表： 分組（分?jǐn)?shù)段） 頻數(shù)（人數(shù)） 頻率 50， 60） a 60， 70） 9 70， 80） 20 80， 90） 16 90， 100 b c 合計 50 ）請根據(jù)頻率分布表寫出 a， b， c 的值，并完成頻率分布直方圖； （ ）從測試成績在 50， 60） 或 90， 100內(nèi)的所有學(xué)生中隨機抽取兩名同學(xué)，設(shè)其測試成績分別為 m， n，求事件 “|m n| 10”的概率 22不等式（ 2m 3） m 3） x 1 0 對一切 x R 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 第 5 頁（共 16 頁） 2015年青海省西寧市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分，每小題給出四個選項中，只有一個選項符合要求，請把你認(rèn)為正確的選項序號填入相應(yīng)題號的表格內(nèi)） 1如果 a b 0，那么下面一定成立的是（ ） A a b 0 B D 考點】 不等式比較大小 【分析】 利用不等式的性質(zhì)即可得出 【解答】 解： a b 0， a b 0， 故選： D 2某小組有 3 名男生和 2 名女生，從中任選 2 名同學(xué)參加演講比賽，那么互斥不對立的兩個事件是（ ） A恰有 1 名男生與恰有 2 名女生 B至少有 1 名男生與全是男生 C至少有 1 名男生與至少有 1 名女生 D至少有 1 名男生與全是女生 【考點】 互斥事件與對立事件 【分析】 互斥事件是兩 個事件不包括共同的事件，對立事件首先是互斥事件，再就是兩個事件的和事件是全集，由此規(guī)律對四個選項逐一驗證即可得到答案 【解答】 解： A 中的兩個事件符合要求，它們是互斥且不對立的兩個事件； B 中的兩個事件之間是包含關(guān)系，故不符合要求； C 中的兩個事件都包含了一名男生一名女生這個事件，故不互斥； D 中的兩個事件是對立的，故不符合要求 故選 A 3在 ， A=60， B=45， a=1，則最短邊的邊長等于（ ） A B C D 【考點】 正弦定理 【分析】 由三角形內(nèi)角和公式可得 C=75，再根據(jù)大角對大邊可得 b 為最小邊，再根據(jù)正弦定理求得 b 的值 【解答】 解： ，由三角形內(nèi)角和公式可得 C=75， 再根據(jù)大角對大邊可得 b 為最小邊 再根據(jù)正弦定理可得 = ， 即 b= = ， 第 6 頁（共 16 頁） 故選： B 4某校高一、高二年級各有 7 個班參加歌詠比賽，他們的得分的莖葉圖如圖所示，對這組數(shù)據(jù)分析正確的是（ ） A高一的中位數(shù)大，高二的平均數(shù)大 B高一的平均數(shù)大，高二的中位數(shù)大 C高一的中位數(shù)、平均數(shù)都大 D高二的中位數(shù)、平均數(shù)都大 【考 點】 莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 根據(jù)給出的兩組數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)按照從小到大排列，根據(jù)共有 7 個數(shù)字，寫出中位數(shù)，觀察兩組數(shù)據(jù)的集中區(qū)域，得到結(jié)果 【解答】 解：由題意知， 高一的得分按照從小到大排列是 82， 83， 85， 93， 97， 98， 99 共有 7 個數(shù)字，最中間一個是 93， 高二得分按照從小到大的順序排列是 88， 88， 89， 89， 97， 98， 99 共有 7 個數(shù)據(jù)，最中間一個是 89， 高一的中位數(shù)大， 再觀察數(shù)據(jù)的集中區(qū)域，高二的更大些，故高二的平均數(shù)大 故選 A 5已知數(shù)列 其通項 公式 n 18，則其前 n 項和 最小值時 n 的值為（ ） A 4 B 5 或 6 C 6 D 5 【考點】 數(shù)列的函數(shù)特性 【分析】 由 n 18 0，解得 n即可得出 【解答】 解：由 n 18 0，解得 n 6 其前 n 項和 最小值時 n 的值為 5，或 6 故選： B 6一個總體中有 60 個個體，隨機編號為 0， 1， 2， 59，依編號順序平均分成 6 個小組，組號依次為 1， 2， 3， 6現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為 6 的樣本，若在第 1 組隨機抽取的號碼為 3，則在第 5 組中抽取的號碼是（ ） A 33 B 43 C 53 D 54 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 由總體容量及組數(shù)求出間隔號，然后用 3 加上 40 即可 【解答】 解：總體為 60 個個體，依編號順序平均分成 6 個小組，則間隔號為 =10， 所以在第 5 組中抽取的號碼為 3+10 4=43 故選： B 第 7 頁（共 16 頁） 7已知 三內(nèi)角 A， B， C 成等差數(shù)列，且 ， ，則該三角形面積為（ ） A B 2 C 2 D 4 【考點】 三角形的面積公式 【分析】 由 A， B， C 成等差數(shù)列 A+B+C= 可求 B，利用三角形的面積公式 S= 求 【解答】 解： 內(nèi)角 A， B， C 成等差數(shù)列， B=60又 ， ， ； 故選 A 8秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，他在所著的數(shù)學(xué)九章中提出多項式 求值的秦九韶算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例，依次輸入 a 為 2，2， 5，則輸出的 s=（ ） A 7 B 12 C 17 D 34 【考點】 程序框圖 【分析】 由題意，模擬程序的運行過程，依次寫出每次循環(huán)得到的 s， k 的值，即可得出跳出循環(huán)時輸出 s 的值 【解答】 解：初始值 k=0， s=0，程序運行過程如下： a=2， s=2 0+2=2， k=1，不滿足 k 2，執(zhí)行循環(huán)； a=2， s=2 2+2=6， k=2，不滿足 k 2，執(zhí)行 循環(huán)； a=5， s=2 6+5=17， k=3，滿足 k 2，退出循環(huán)； 輸出 s=17 故選： C 第 8 頁（共 16 頁） 9現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊 4 次，至少擊中 3 次的概率：先由計算器給出0 到 9 之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定 0、 1 表示沒有擊中目標(biāo)， 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 表示擊中目標(biāo)，以 4 個隨機數(shù)為一組，代表射擊 4 次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了 20 組隨機數(shù)： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊 4 次至少擊中 3 次的概率為（ ） A 考點】 模擬方法估計概率 【分析】 由題意知模擬射擊 4 次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下 20 組隨機數(shù)，在 20 組隨機數(shù)中表示種射擊 4 次至少擊中 3 次的有多少組，可以通過列舉得到共多少組隨機數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果 【解答】 解：由題意知模擬射擊 4 次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下 20 組隨機數(shù)， 在 20 組隨機數(shù)中表示射擊 4 次至少擊中 3 次的有： 7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共 15 組隨機數(shù)， 所求概率為 故選： C 10某產(chǎn)品的廣告費用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表 廣 告 費 用 x （萬元） 4 2 3 5 銷 售 額 y （萬元） 49 26 a 54 已知由表中 4 組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程 =8x+14，則表中的 a 的值為（ ） A 37 B 38 C 39 D 40 【考點】 線性回歸方程 【分析】 求出數(shù)據(jù)中心（ ， ），代入回歸方程解出 a 【解答】 解： = = = = =8 4，解得 a=39 故選： C 11邊長為 5， 7， 8 的三角形的最大角與最小角的和是（ ） A 90 B 120 C 135 D 150 【考點】 余弦定理 【分析】 設(shè)長為 7 的邊所對的角為 ，根據(jù)余弦定理可得 值，進而可得 的大小，則由三角形內(nèi)角和定理可得最大角與最小角的和是 180 ，即可得答案 【解答】 解：根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得，最大角與最小角所對的邊的長分別為 8 與 5， 設(shè)長為 7 的邊所對的角為 ，則最大角與最小角的 和是 180 ， 有余弦定理可得， = ， 易得 =60， 則最大角與最小角的和是 180 =120， 故選 B 第 9 頁（共 16 頁） 12設(shè) a 0， b 0，若 是 5a 與 5b 的等比中項，則 + 的最小值為（ ） A 8 B 4 C 1 D 【考點】 等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程關(guān)系，利用 1 的代換，結(jié)合基本不等式進行求解即可 【解答】 解： 是 5a 與 5b 的等比中項， 5a5b=（ ） 2=5， 即 5a+b=5， 則 a+b=1， 則 + =（ + ）（ a+b） =1+1+ + 2+2 =2+2=4， 當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 a=b= 時，取等號， 即 + 的最小值為 4， 故選： B 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分，請把答案填寫在題中的橫線上） 13數(shù)列 ， ， =，那么這個數(shù)列的通項公式是 n 1 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 利用等差數(shù)列的定義及其通項公式即可得出 【解答】 解： 數(shù)列 ， ， =，即 ， 數(shù)列 等差數(shù)列，公差為 5 +5（ n 1） =5n 1 故答案為： n 1 14如圖，一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長為 1 米的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機地撒 1000 顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的黃豆數(shù)為 360 顆，以此實驗數(shù)據(jù) 1000 為依據(jù)可以估計出該不規(guī)則圖形的面積為 平方米（用分?jǐn)?shù)作答） 【考點】 模擬方法估計概率 【分析】 根據(jù)幾何概型的意義進行模擬試驗計算不規(guī)則圖 形的面積，利用面積比可得結(jié)論 【解答】 解： 向區(qū)域內(nèi)隨機地撒 1000 顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的黃豆數(shù)為 360 顆， 記 “黃豆落在正方形區(qū)域內(nèi) ”為事件 A， 第 10 頁（共 16 頁） P（ A） = = ， S 不規(guī)則圖形 = 平方米， 故答案為： 15已知 0 x 8，則（ 8 x） x 的最大值是 16 【考點】 基本不等式 【分析】 利用基本不等式的性質(zhì)即可得出 【解答】 解： 0 x 8， 則 x（ 8 x） （ ） 2=16，當(dāng)且僅當(dāng) x=4 時取等號， 則（ 8 x） x 的最大值是 16， 故答案為： 16 16某船在海面 A 處測得燈塔 B 在北偏東 60方向，與 A 相距 6 海里船由 A 向正北方向航行 8 海里達(dá)到 C 處，這時燈塔 B 與船之間的距離為 2 【考點】 解三角形的實際應(yīng)用 【分析】 由題意畫出示意圖，利用余 弦定理解三角形 【解答】 解：由題意，示意圖為：已知 ， ， A=60， 由余弦定理得到 6+64 2 6 8 =52， 所以 所以燈塔 B 與船之間的距離為： 2 海里； 故答案為： 2 三、解答題（本大題共 6 小題，滿分 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。） 17如圖，在 ， 2， ， ，點 D 在邊 ，且 0 （ ）求 （ ）求線段 長 【考點】 余弦定理；正弦定理 第 11 頁（共 16 頁） 【分析】 （ ）由已知根據(jù)余弦定理可得 代入計算即可得解 （ ）由 0 C ，可得 0，從而可求 值，利用正弦定理即可求得 值 【解答】 （本小題共 13 分） 解：（ ） 2， ， ， 根據(jù)余弦定理： = （ ） 0 C ， 0， 根據(jù)正弦定理得： ，即： =8 18某小型餐館一天中要購買 A， B 兩種蔬菜， A， B 蔬菜每公斤的單價分別為 2 元和 3 元根據(jù)需要， A 蔬菜至少要買 6 公斤， B 蔬菜至少要買 4 公斤，而且一天中購買這兩種蔬菜的總費用不能超過 60 元 （ 1）寫出一天中 A 蔬菜購買的公斤數(shù) x 和 B 蔬菜購買的公斤數(shù) y 之間的滿足的不等式組；并在給定的坐標(biāo)系中畫出不等式組表示的平面區(qū)域（用陰影表示）， （ 2）如果 這兩種蔬菜加工后全部賣出， A， B 兩種蔬菜加工后每公斤的利潤分別為 2 元和 1元，餐館如何采購這兩種蔬菜使得利潤最大，利潤最大為多少元？ 【考點】 簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用 【分析】 （ 1）利用線性規(guī)劃的內(nèi)容作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域 （ 2）利用線性規(guī)劃的內(nèi)容進行圖象平移，然后確定目標(biāo)函數(shù)是最值 【解答】 解：（ 1）依題意， A 蔬菜購買的公斤數(shù) x 和 B 蔬菜購買的公斤數(shù) y 之間的滿足的不等式組如下： 畫出的平面區(qū)域 如圖 （ 2）設(shè)餐館加工這兩種蔬菜利潤為 z 元，則目標(biāo)函數(shù)為 z=2x+y 第 12 頁（共 16 頁） y= 2x+z z 表示過可行域內(nèi)點斜率為 2 的一組平行線在 y 軸上的截距 聯(lián)立 解得 即 B（ 24， 4） 當(dāng)直線過點 B（ 24， 4）時，在 y 軸上的截距最大， 即 24+4=52 答：餐館應(yīng)購買 A 蔬菜 24 公斤， B 蔬菜 4 公斤，加工后利潤最大為 52 元 19一個袋子中裝有大小和形狀相同的紅球、白球和籃球，其中有有 2 個紅球， 3 個白球，n 個籃球 （ ）若從中任取一個小球為紅球的概率為 ，求 n 的值； （ ）若從中任取一個小球為白球或籃球的概率為 ，求從中任取一個小球不是籃球的概率 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ ）設(shè)任取一個小球得到紅球、白球、藍(lán)球的事件分別為 A， B， C，由 P（ A）= ，得 = ，由此能求出 n （ ）由 P（ B+C） = ，得 P（ A） =1 P（ B+C） = ，從而得到 n=1，由此能求出從中任取一個小球不是籃球的概率 【解答】 解：（ ）設(shè)任取一個小球得到紅球、白球、藍(lán)球的事件分別為 A， B， C， 它們是互斥事件， 由已知得 P（ A） = ， = ， 解得 n=3 （ ） P（ B+C） = ， 由對立事件的概率計算公式知 P（ A） =1 P（ B+C） =1 = ， = ，解得 n=1， P（ C） = ， 從中任取一個小球不是籃球的概率 P（ ） =1 = 第 13 頁（共 16 頁） 20已知等差數(shù)列 前 n 項和為 ， 2 （ ）求 通項公式； （ ）求證： 等比數(shù)列 【考點】 等差關(guān)系的確定；等 差數(shù)列的通項公式 【分析】 （ I）設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，由 ， 2可得 ，解出即可得出 （ 用等差數(shù)列的求和公式分別計算： ， 8即可證明 【解答】 （ I）解：設(shè)等差數(shù)列 公差為 d， ， 2 ，解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n （ 明： ， =12， =72， =122=144， 8=2 72=144 =8 即 等比數(shù)列 21某班 50 名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試中，成績?nèi)橛?50 與 100 之間，測試結(jié)果的頻率分布表如表： 分組（分?jǐn)?shù)段） 頻數(shù)（人數(shù)） 頻率 50， 60） a 60， 70） 9 70， 80） 20 80， 90） 16 90， 100 b c 合計 50 ）請根據(jù)頻率分布表寫出 a， b， c 的值，并完成頻率分布直方圖； 第 14 頁（共 16 頁） （ ）從測試成績在 50， 60）或 90， 100內(nèi)的所有學(xué)生中隨機抽取兩名同學(xué)，設(shè)其測試成績