2010年高考全國卷1理科數(shù)學(xué)試題答案及解析.doc

絕密絕密 啟用前啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 必修必修 選修選修 II II 本試卷分第 I 卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分 第 I 卷 1 至 2 頁 第 卷 3 至 4 頁 考試結(jié)束后 將本試卷和答題卡一并交回 第第 I I 卷卷 注意事項(xiàng) 1 答題前 考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考證號填寫清楚 并貼好條形碼 請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號 姓名和科目 2 每小題選出答案后 用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑 如需改 動(dòng) 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標(biāo)號 在試題卷上作答無效 3 第 I 卷共 12 小題 每小題 5 分 共 60 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有 一項(xiàng)是符合題目要求的 參考公式 參考公式 如果事件互斥 那么 球的表面積公式A B P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互獨(dú)立 那么 其中 R 表示球的半徑A B 球的體積公式 P A BP A P B AA 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 那么 p 3 3 4 VR 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 R 表示球的半徑nAk 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 選擇題一 選擇題 1 復(fù)數(shù) 32 23 i i A B C 12 13 D 12 13 ii ii 1 A 命題意圖 本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算 重點(diǎn)考查分母實(shí)數(shù)化的轉(zhuǎn)化技巧 解析 32 32 23 6946 23 23 23 13 iiiii i iii 2 記 那么cos 80 k tan100 A B C D 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 2 B 命題意圖 本小題主要考查誘導(dǎo)公式 同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識 并突 出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 解析 所以 222 sin801 cos 801 cos 80 1 k tan100tan80 2 sin801 cos80 k k 3 若變量滿足約束條件則的最大值為 x y 1 0 20 y xy xy 2zxy A 4 B 3 C 2 D 1 3 B 命題意圖 本小題主要考查線性規(guī)劃知識 作圖 識圖能力及計(jì)算能力 解析 畫出可行域 如右圖 由圖可知 當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn) A 1 1 時(shí) z 最大 且 最大值為 max 1 2 1 3z 4 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 5 10 則 n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a A B 7 C 6 D 5 24 2 4 A 命題意圖 本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì) 指數(shù)冪的運(yùn)算 根式與指數(shù)式的互化等 知識 著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)知 3 1231322 5a a aa aaa A 10 所以 3 7897988 a a aa aaa A 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 5 的展開式中 x 的系數(shù)是 353 12 1 xx A 4 B 2 C 2 D 4 5 B 命題意圖 本小題主要考查了考生對二項(xiàng)式定理的掌握情況 尤其是 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0 20lxy L0 2 2 A A B C D A1 B1 C1 D1 O 展開式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用 以及能否區(qū)分展開式中項(xiàng)的系數(shù)與其二 項(xiàng)式系數(shù) 同時(shí)也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力 解析 35533 12 1 1 6128 1 xxxxx xx 故的展開式中含 x 的項(xiàng)為 353 12 1 xx 所以 x 的系數(shù)為 2 3303 55 1 1210122CxxCxxx 6 某校開設(shè) A 類選修課 3 門 B 類選擇課 4 門 一位同學(xué)從中共選 3 門 若要求兩類課程中各至少選一門 則不同的選法共有 A 30 種 B 35 種 C 42 種 D 48 種 6 A 命題意圖 本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理 組合知識 以及分類討論的 數(shù)學(xué)思想 解析 可分以下 2 種情況 1 A 類選修課選 1 門 B 類選修課選 2 門 有 種不同的選法 2 A 類選修課選 2 門 B 類選修課選 1 門 有種不 12 34 C C 21 34 C C 同的選法 所以不同的選法共有 種 12 34 C C 21 34 18 1230C C 7 正方體 ABCD 中 B與平面 AC所成角的余弦值為 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 7 D 命題意圖 本小題主要考查正方體的性質(zhì) 直線與平面所成的角 點(diǎn)到平面的距離 的求法 利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在 這也是轉(zhuǎn)化思 1 D 想的具體體現(xiàn) 解析 因?yàn)?BB1 DD1 所以B與平面 AC所成角和DD1與平面 AC所成角 1 B 1 D 1 D 相等 設(shè) DO 平面AC 由等體積法得 即 1 D 11 D ACDDACD VV 設(shè) DD1 a 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 則 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以 記 DD1與平面 AC所成角為 則 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D 所以 1 3 sin 3 DO DD 6 cos 3 8 設(shè) a 2 b In2 c 則 3 log 1 2 5 A a b c Bb c a C c a b D c b a 8 C 命題意圖 本小題以指數(shù) 對數(shù)為載體 主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 實(shí) 數(shù)大小的比較 換底公式 不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用 解析 a 2 b In2 而 所以 a b 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c 而 所以 c a 綜上 c a b 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 9 已知 為雙曲線 C 的左 右焦點(diǎn) 點(diǎn) p 在 C 上 p 則 1 F 2 F 22 1xy 1 F 2 F 0 60 P 到 x 軸的距離為 A B C D 3 2 6 2 36 9 B 命題意圖 本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì) 第二定義 余弦定理 考查轉(zhuǎn)化的 數(shù)學(xué)思想 通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力 解析 不妨設(shè)點(diǎn) P在雙曲線的右支 由雙曲線的第二定義得 00 xy 由 2 1000 12 a PFe xaexx c 2 2000 21 a PFe xexax c 余弦定理得 cos P 即 cos 1 F 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 0 60 222 00 00 12 21 2 2 2 12 21 xx xx 解得 所以 故 P 到 x 軸的距離為 2 0 5 2 x 22 00 3 1 2 yx 0 6 2 y 10 已知函數(shù) F x lgx 若 0 a b 且 f a f b 則 a 2b 的取值范圍是 A B C D 2 2 2 2 3 3 10 A 命題意圖 本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的值域 考生在 做本小題時(shí)極易忽視 a 的取值范圍 而利用均值不等式求得 a 2b 從而錯(cuò)選 2 2 2a a A 這也是命題者的用苦良心之處 解析 因?yàn)?f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 所以 a 2b 1 b a 2 a a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 3 即 a 2b 的取值范圍是 3 2 1 11 已知圓 O 的半徑為 1 PA PB 為該圓的兩條切線 A B 為倆切點(diǎn) 那么 的最小值為PA PB A B C D 42 32 42 2 32 2 11 D 命題意圖 本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長定理 著重考查最值的 求法 判別式法 同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù) 學(xué)知識解題的能力及運(yùn)算能力 解析 如圖所示 設(shè) PA PB APO x 0 x 則 APB PO 2 2 1x 2 1 sin 1x 令 cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x PA PBy 則 即 由是實(shí)數(shù) 所以 42 2 1 xx y x 42 1 0 xy xy 2 x 解得或 2 1 4 1 0yy 2 610yy 32 2y 32 2y 故 此時(shí) min 32 2PA PB 21x 12 已知在半徑為 2 的球面上有 A B C D 四點(diǎn) 若 AB CD 2 則四面體 ABCD 的體 積的最大值為 A B C D 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12 B 命題意圖 本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算 球的性質(zhì) 異面直線的距離 通過 P A B O 球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力 解析 過 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 與 P 設(shè)點(diǎn) P 到 CD 的距離為 則有h 當(dāng)直徑通過 AB 與 CD 的中點(diǎn)時(shí) 故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面體 22 max 2 212 3h max 4 3 3 V 絕密 啟用前 2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 必修 選修 II 第 卷 注意事項(xiàng) 1 答題前 考生先在答題卡上用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名 準(zhǔn)考 證號填寫清楚 然后貼好條形碼 請 認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號 姓名和科目 2 第 卷共 2 頁 請用直徑 0 5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答 在試題卷上作答無效 3 第 卷共 l0 小題 共 90 分 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 5 分 共 20 分 把答案填在題中橫線 上 注意 在試題卷上作答無效 13 不等式的解集是 2 211xx 13 0 2 命題意圖 本小題主要考查根式不等式的解法 利用平方去掉根號是解根式不 等式的基本思路 也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致 解析 原不等式等價(jià)于解得 0 x 2 22 21 1 10 xx x 14 已知為第三象限的角 則 3 cos2 5 tan 2 4 14 命題意圖 本小題主要考查三角函數(shù)值符號的判斷 同角三角函數(shù)關(guān)系 和角 1 7 的正切公式 同時(shí)考查了基本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技能 解析 因?yàn)闉榈谌笙薜慕?所以 又 2 2 21 2 21 kkkZ 0 所以 于是有 3 cos2 5 2 2 21 2 21 2 kkkZ 4 sin2 5 1 2 x y 1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 所以 sin24 tan2 cos23 tan 2 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 15 直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn) 則的取值范圍是 1y 2 yxxa a 15 1 命題意圖 本小題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì) 不等式的解法 著重考查了數(shù) 5 4 形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 解析 如圖 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線與曲線 觀圖可知 a1y 2 yxxa 的取值必須滿足解得 1 41 1 4 a a 5 1 4 a 16 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 是短軸的一個(gè)端點(diǎn) 線段FCB 的延長線交于點(diǎn) 且 則的離心率為 BFCDBF2FD uu ruur C 16 2 3 命題意圖 本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì) 第 二定義 平面向量知識 考查了數(shù)形結(jié)合思想 方程思想 本題凸顯解析幾何的特點(diǎn) 數(shù)研究形 形助數(shù) 利用幾 何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑 解析 如圖 22 BFbca 作軸于點(diǎn) D1 則由 得 1 DDy BF2FD uu ruur 所以 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc 即 由橢圓的第二定義得 3 2 D c x 22 33 22 acc FDea ca 又由 得 整理得 2 BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 兩邊都除以 得 解得 2 a 2 320ee 1 e 舍去 或 2 3 e 三 解答題 本大題共 6 小題 共 70 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算 步驟 17 本小題滿分 10 分 注意 在試題卷上作答無效 已知的內(nèi)角 及其對邊 滿足 求內(nèi)角ABCVABabcotcotabaAbB xO y B F 1 D D C 17 命題意圖 本小題主要考查三角恒等變形 利用正弦 余弦定理處理三角形中的 邊角關(guān)系 突出考查邊角互化的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 18 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 投到某雜志的稿件 先由兩位初審專家進(jìn)行評審 若能通過兩位初審專家的評審 則予以錄用 若兩位初審專家都未予通過 則不予錄用 若恰能通過一位初審專家的 評 審 則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審 若能通過復(fù)審專家的評審 則予以錄用 否則不予 錄 用 設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為 0 5 復(fù)審的稿件能通過評審的概率為 0 3 各專家獨(dú)立評審 I 求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率 II 記表示投到該雜志的 4 篇稿件中被錄用的篇數(shù) 求的分布列及期望 XX 18 命題意圖 本題主要考查等可能性事件 互斥事件 獨(dú)立事件 相互獨(dú)立試驗(yàn) 分布列 數(shù)學(xué)期望等知識 以及運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力 考查分類與整合思 想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 19 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 如圖 四棱錐 S ABCD 中 SD底面 ABCD AB DC ADDC AB AD 1 DC SD 2 E 為棱 SB 上的一點(diǎn) 平面 EDC 平面 SBC 證明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 命題意圖 本小題主要考查空間直線與直線 直線與平面 平面與平面的位置關(guān)系 二 面角等基礎(chǔ)知識 考查空間想象能力 推理論證能力和運(yùn)算能力 20 本小題滿分 12 分 注意 在試題卷上作答無效 注意 在試題卷上作答無效 已知函數(shù) 1 ln1