高中數(shù)學(xué) 第三節(jié) 變換的不變量與矩陣的特征向量課件 新人教A版選修42.ppt

第三節(jié)變換的不變量與矩陣的特征向量 1 矩陣的特征值與特征向量的定義對于矩陣實(shí)數(shù) 及非零向量 特征值 特征向量 2 特征向量的性質(zhì) 1 設(shè)是矩陣a的屬于特征值 的一個特征向量 則對于任意的非零常數(shù)k 也是矩陣a的屬于特征值 的特征向量 2 屬于矩陣的不同特征值的特征向量 3 求矩陣的特征值 特征向量的步驟 第一步 列特征多項(xiàng)式f 第二步 求f 0的根 即特征值 第三步 針對不同的特征值 解相應(yīng)的線性方程組 得一個非零解 即特征向量 不共線 3 特征向量的應(yīng)用 1 設(shè)a是一個二階矩陣 是矩陣a的屬于特征值 的任意一個特征向量 則 n n 2 性質(zhì)1 設(shè) 1 2是二階矩陣a的兩個不同特征值是矩陣a的分別屬于特征值 1 2的特征向量 對于任意的非零平面向量 設(shè) 其中t1 t2為實(shí)數(shù) 則對任意的正整數(shù)n 有 判斷下面結(jié)論是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔写?或 1 任意向量都可以作為特征向量 2 矩陣a的屬于特征值 的特征向量是唯一的 3 每一個二階矩陣都有特征值及特征向量 4 矩陣a的屬于特征值 的特征向量共線 5 矩陣a的特征向量分別為任意非零向量均可以用表示 解析 1 錯誤 特征向量必須是非零向量 2 錯誤 矩陣a的屬于特征值 的特征向量有無數(shù)個 3 錯誤 如矩陣就沒有特征值 也就沒有特征向量 4 正確 若是矩陣a的特征向量 則都是矩陣a的特征向量 顯然是共線向量 5 正確 都可以表示為 其中t1 t2為實(shí)數(shù) 的形式 答案 1 2 3 4 5 考向1矩陣特征值 特征向量的求法 典例1 2012 江蘇高考 已知矩陣a的逆矩陣a 1 求矩陣a的特征值 思路點(diǎn)撥 首先求出矩陣a 再按照求矩陣特征值的步驟求矩陣a的特征值 規(guī)范解答 a 1a e2 a a 1 1 矩陣a的特征多項(xiàng)式為令f 0 解得矩陣a的特征值 1 1 2 4 互動探究 本例中條件不變 試求矩陣a的屬于每個特征值的一個特征向量 解析 對于特征值 1 1 解相應(yīng)的線性方程組是矩陣a的屬于特征值 1 1的一個特征向量 對于特征值 2 4 解相應(yīng)的線性方程組是矩陣a的屬于特征值 2 4的一個特征向量 拓展提升 求矩陣特征值 特征向量的四個注意點(diǎn) 1 求矩陣的特征值與特征向量可按照相應(yīng)的步驟進(jìn)行 2 特征值與特征向量相對應(yīng) 屬于不同特征值的特征向量一般不共線 3 將特征值代入后得到的方程組若某一變量缺失 實(shí)質(zhì)其系數(shù)為0 該變量可任意取值 4 求出特征值是唯一的 而特征向量是不唯一的 但屬于同一特征值的特征向量都應(yīng)該是共線向量 變式備選 2013 福州模擬 設(shè)矩陣m是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍 橫坐標(biāo)保持不變的伸縮變換 1 求矩陣m 2 求矩陣m的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量 解析 1 由條件得矩陣 2 因?yàn)榫仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式為令f 0 解得特征值為 1 1 2 2 設(shè)屬于特征值 1的矩陣m的一個特征向量為e1 則由線性方程 y 0 得同理 對于特征值 2 得一個特征向量為所以是矩陣m屬于特征值 1 1的一個特征向量 是矩陣m屬于特征值 2 2的一個特征向量 考向2矩陣的特征值 特征向量的應(yīng)用 典例2 已知矩陣a的一個特征值 2 屬于 的特征向量是 1 求矩陣a 2 求直線y 2x在矩陣a所對應(yīng)的線性變換下的像的方程 思路點(diǎn)撥 利用特征值 特征向量的定義式列出關(guān)于a b的關(guān)系式 即可求出a b 即得矩陣a 再利用圖形變換的坐標(biāo)變換公式 求變換后的方程 規(guī)范解答 1 由題意解得a 2 b 4 所以 2 代入到直線y 2x中得7x 5y 故變換后的方程是7x 5y 0 拓展提升 利用特征值 特征向量求矩陣的關(guān)注點(diǎn) 1 利用特征值 特征向量求矩陣用待定系數(shù)法 列相應(yīng)關(guān)系的依據(jù)是特征值 特征向量的定義 2 在解題的過程中 還是要注意相關(guān)方程組的準(zhǔn)確求解 3 此類問題往往與圖形變換等知識綜合考查 變式訓(xùn)練 已知二階矩陣m屬于特征值3的一個特征向量為并且矩陣m對應(yīng)的變換將點(diǎn) 1 2 變成點(diǎn) 9 15 求出矩陣m 解析 考向3的簡單表示 典例3 2013 泉州模擬 已知矩陣的一個特征值為1 1 求矩陣m的另一個特征值 2 設(shè) 思路點(diǎn)撥 1 列出矩陣m的特征多項(xiàng)式f 利用1是f 0的根求a及另一個特征值 2 將向量表示為的形式 再利用公式 規(guī)范解答 1 矩陣m的特征多項(xiàng)式又 矩陣m的一個特征值為1 f 1 0 a 0 由f 3 2 0 得 1 1 2 2 所以矩陣m的另一個特征值為2 2 矩陣m的一個特征值為 1 1 對應(yīng)的一個特征向量為另一個特征值為 2 2 對應(yīng)的一個特征向量為 拓展提升 表示的三個步驟第一步 求出矩陣a的特征值 1 2 對應(yīng)的特征向量第二步 設(shè)利用向量相等列方程組求t1 t2 第三