霍特林模型的思路整合

on hotellings stability in competitionby c. daspremont, j. jaskold gabszewicz and j.-f. thisse一論文概述基于霍特林 1929 年發(fā)表的論文的最小差異化理論是無效的，本文作者提出了與霍特林模型相左的觀點(diǎn)， 以廠商距離一定近時(shí)會(huì)破壞價(jià)格均衡為理由，反駁原模型中尋求最大利潤下均衡時(shí)兩廠商集中靠攏的趨勢(shì)。通過建立新模型，佐證“最 大差異化”這一說法。二回顧霍特林模型（這一部分可以只談假設(shè)和結(jié)論， 推演過程略過）假設(shè)前提：1、消費(fèi)者沿著長度為l 個(gè)單位的直線均勻分布2、一廠商在 a 點(diǎn)上，另一廠商在1-b 點(diǎn)上3、兩家廠商 ab 提供同質(zhì)產(chǎn)品，與產(chǎn)品差異化的基本空間模型不同假設(shè)兩家為競(jìng)爭(zhēng)廠商生產(chǎn)成本為零。消費(fèi)者每次只消費(fèi)一個(gè)單位商品。消費(fèi)者購買價(jià)格（效用）=產(chǎn)品價(jià)格+運(yùn)費(fèi)。假定納什均衡下，整個(gè)市場(chǎng)需求得以滿足。設(shè)位于 x 位置的消費(fèi)者，兩種產(chǎn)品對(duì)其而言無差異，因此效用相同。即精品資料p1(xa) cp2 （ l- b - x)c2 xc x( p2( p22cp1 )p1 )c(l(la 2ab)b) a2acx 為廠商 a 市場(chǎng)份額(l-x) 為廠商 b市場(chǎng)份額lxl( p2p1 ) 2c(lab)2a2(ll )a22bb( p12p2 )2c1(lab)2( p12cp2 )b綜上，函數(shù)關(guān)系反映在圖像中可見其是不連續(xù)的。即，不是所有情況下，兩個(gè)廠商都能賣出產(chǎn)品。間斷點(diǎn)代表出現(xiàn)無差異人群。第一段圖像反映的是人們買a 產(chǎn)品花的最大金額小于b 的價(jià)格，因此，人們會(huì)只選擇購買 a。而第三段圖像反映的a 產(chǎn)品價(jià)格大于人們能買到b 花的最大金額，此時(shí)人們只會(huì)購買 b。當(dāng)兩個(gè)廠商共同占領(lǐng)市場(chǎng)時(shí)，即圖中第二部分，以 a 廠商為例，廠商a 利潤最大化時(shí)，即1a1 (l 2ab)p2 2cp10c得p1p2c (l 2c (l 2a b)p2 2b a)p1 2同理p1因此兩廠商最大化利潤時(shí)p2c(lc(lab) 3ab)31p1xc(l(a - b) ) 3 1 (l2ab)1 ( p 2cp1 )c (l 2a b )232p2xc (l 2b a) 223若某一廠商以低價(jià)占領(lǐng)整個(gè)市場(chǎng)時(shí)，設(shè)ab 的利潤為以 a 為例，如 figure1 所示，人們購買 a 所花的最大金額應(yīng)該不大于b 的價(jià)格即 p1c(lab)p2 ，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)利潤最大。即r1p1lc(lll p2bal 3c(la ab)b) 2cl( a2b) 3如果，則廠商會(huì)在的基礎(chǔ)上降價(jià)至，追求更大利潤，因此不會(huì)達(dá)成均衡。則abp1c(l) 3p2c(lab ) 3的條件必須有c (lba )223a2b2cl ()3(la即b )234 l ( a 32b ) 3(lb同理a) 234 l ( b 32a) 3三對(duì)霍特林模型的反駁假設(shè)（ p1*， p2*）是位于均衡點(diǎn)的價(jià)格考慮兩種情況：1. p1*-p2* c(l-a-b)價(jià)格差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于運(yùn)費(fèi)那么，其中收取較高價(jià)格的商家獲得的利潤為零（所有人都去買價(jià)格低的那家了）那它就會(huì)調(diào)整價(jià)格，使價(jià)格和價(jià)格較低的那個(gè)商家所收取的運(yùn)輸費(fèi)用相等， 很明顯，這是不均衡的，與我們最初（p1* ，p2*）是位于均衡點(diǎn)價(jià)格的假設(shè)矛盾了。2. p1*-p2* =c(l-a-b)價(jià)格差等于運(yùn)費(fèi)以 p1*-p2*=c(l-a-b)為例。如果p1*=0 ，那么a的利潤為零，那么，他將提高價(jià)格，這個(gè)價(jià)格小于p2*+c(l-a-b) （也就是顧客買b 家東西支付的全部?jī)r(jià)格）。如果 p1* 0， a 僅得到一部分市場(chǎng)，q1 小于 l，此時(shí) a 稍微降低價(jià)格就可以得到全部市場(chǎng)，創(chuàng)造更大利潤。只要 0 (l-q1)p1* （為a 的降價(jià)） , 就有，（p1*- ，p2* ）=l(p1*- ) q1p1*= (p1*,p2*)兩種情況下，我們都得到與均衡假設(shè)相反的結(jié)論。因此，一切均衡的（p1*，p2*），必須滿足條件p1*-p2* c(l-a-b)在這個(gè)條件下，所有均衡的（p1*，p2*）都必須使得 1 、2 最大化。通過一階導(dǎo)得到精品資料均衡情況下的 1、2 一定大于 a 或 b 單獨(dú)占領(lǐng)市場(chǎng)時(shí)的利潤 （ lp*-c(l-a-b)-）,我們可以得出如果我們考慮 ab 以中心對(duì)稱分布 (a=b), 那么為 a=b=l/4.也就是說，兩個(gè)商家為了得到古諾均衡的價(jià)格，都要設(shè)置在四分點(diǎn)外。如果上式能被嚴(yán)格證明，如霍特林所說的， 1、2 分別對(duì) a、b 求一階導(dǎo)都是正的 (1/2p1,1/2p2) ，那么商家位置的設(shè)置都會(huì)有向中間靠攏的趨勢(shì)。 但是我們先前的命題得出的主要結(jié)論是如果將古諾均衡點(diǎn)作為市場(chǎng)決策，在上式被打破時(shí)，即p1*-p2* =c(l-a-b) 下，均衡是不存在的。四修正的霍特林模型將運(yùn)輸成本改為距離二次函數(shù)形式cx21. 模型及假設(shè)：前三個(gè)假設(shè)同之前的假設(shè)。 除兩廠商的位置不同外， 他們的產(chǎn)品同質(zhì)， 兩家廠商精品資料設(shè)在點(diǎn) x 處，邊際消費(fèi)者在廠商1、2 處消費(fèi)得到的效用相同。且成本=價(jià)格+距離提供單位成本均為0，價(jià)格分別為 p?、p?。為了糾正之前得出的霍特林悖論，論文在原有 hotelling model基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，將運(yùn)輸成本改為距離二次函數(shù)形式 cx 2。且消費(fèi)者為每個(gè)單位長度支付的運(yùn)輸費(fèi)用為c。2. 兩廠商定價(jià)階段：因此廠商 1、 2 的產(chǎn)量分別如下圖所示由價(jià)格和需求函數(shù)可以求得兩廠商的利潤函數(shù)。為求最大利潤， 將兩廠商的利潤函數(shù)分別對(duì)其價(jià)格求一階條件解得兩廠商的均衡價(jià)格。將均衡價(jià)格代入需求得d1=(3l+a-b)/6d2=(3l-a+b)由均衡價(jià)格和均衡市場(chǎng)份額可求得兩廠商的均衡利潤為?=（ l-a-b)(3l+a-b)2/18?=（ l-a-b)(3l-a+b)2/18特殊情況：當(dāng)兩廠商的位置對(duì)稱時(shí)，即a=b ，兩廠商的最優(yōu)定價(jià)和均衡市場(chǎng)份額和利潤分別是：p?=p?=(l-2a)cd ?=d?=1/2? ?(l-2a)c/23. 兩廠商選址階段：精品資料將上節(jié)中的均衡利潤函數(shù)對(duì)a、b 求導(dǎo)，得出利潤函數(shù)對(duì)a、b 都是負(fù)相關(guān)。即廠商 1 的利潤隨 a 的增大而遞減，因此a=0 時(shí)廠商 1 有最大利潤，即廠商1 會(huì)盡可能地遠(yuǎn)離對(duì)方；廠商2 同理。此時(shí)廠商2 獲得最大利潤，即無論廠商1 把自己的位置定在哪，廠商2 選在最“l(fā)”位置都是其占有戰(zhàn)略。如果在給定 a 的情況下，廠商 2 都會(huì)盡量遠(yuǎn)離廠商1，選擇“l(fā)”的位置?？傊?，兩廠商在選址階段實(shí)行的是最大差異化戰(zhàn)略，以弱化第二階段的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)。此時(shí)，兩廠商的均衡結(jié)果是：p?p?=c? ?c/2五總結(jié)論文的研究方法與意義本文的研究方法有以下兩個(gè)：（1） ）應(yīng)用數(shù)學(xué)定量分析給出研究，分析得出結(jié)論，所應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法主要是博精品資料弈論及其均衡分析方法。（2） ）比較分析法，通過對(duì)比不同條件下所得出的霍特林模型結(jié)果，來分析不同的條件會(huì)對(duì)廠商的定價(jià)、選址產(chǎn)生什么樣的效果。本文的研究意義：在原有霍特林模型研究的基礎(chǔ)上對(duì)已有的研究結(jié)論進(jìn)一步拓展