直線與平面的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)歸納

第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.11 平面含義：平面是無(wú)限延展的2 平面的畫(huà)法及表示（1） ）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成45 0，且橫邊畫(huà)成鄰邊的 2 倍長(zhǎng)（如圖）（2） ）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面ac、平面 abcd 等。3 三個(gè)公理：（1） ）公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)dc符號(hào)表示為aba la lb l= la b 公理 1 作用：判斷直線是否在平面內(nèi)精品資料（2） ）公理 2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為： a 、b 、c 三點(diǎn)不共線=有且只有一個(gè)平面， 使 a 、b、c 。公理 2 作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。ab c（3） ）公理3 ：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為： p = =l ，且 pl公理 3 作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：pl共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c 是三條直線abcb=ac強(qiáng)調(diào)：公理4 實(shí)質(zhì)上是說(shuō) 平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a 與 b所成的角的大小只由a、b 的相互位置來(lái)確定，與 o的選擇無(wú)關(guān)， 為簡(jiǎn)便， 點(diǎn) o一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角 (02，)； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作a b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。已知兩條異面直線 a， b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)o 作直線a a,b b, 我們把a(bǔ) 與 b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a 與 b 所成的角。（注意：異面直線所成的角不大于90）。2.1.3 2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1） ）直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2） ）直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3） ）直線在平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a來(lái)表示aa=aa2.2. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a b =a a b2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a b ab = pa b2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1） ）用定義；（2） ）判定定理；（3） ）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：aaa b=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：=aa b=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定1、定義如果直線l 與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l 與平面互相垂直，記作 l，直線l 叫做平面的垂線，平面叫做直線l 的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)p 叫做垂足。lp2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a) 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b) 定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2 平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形a梭 lb2、二面角的記法：二面角-l- 或-ab- 3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3 2.3.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2 性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理 2、公理 3、公理 4）空間直線、平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系基礎(chǔ)練習(xí)一 選擇題1. 若直線 a、b 都和平面 平行 ,則直線 a、b 的位置關(guān)系是 (). a.相交b.平行c.異面d.以上三者都有可能【解析】可以畫(huà)出直線a、b 的三種位置關(guān)系的圖形.【答案】 d2. 給出下列結(jié)論 :直線 l 平行于平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則 l; 若直線 a 在平面 外, 則 a;若直線 ab,b? ,則 a; 若直線 ab,b? ,則直線 a 就平行于平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù) 為().a .1b. 2c. 3d. 4【解析】 直線 l 還可能在平面內(nèi),所以 錯(cuò)誤 ;直線 a 還可能與平面相交 ,所以 錯(cuò)誤 ;直線 a 還可能在平面內(nèi) ,所以 錯(cuò)誤 ;平面 內(nèi) ,與直線 b 平行的直線都與直線a 平行 ,所以 正確.【答案】 a3.如圖所示,在三棱錐p-abc的六條棱所在的直線中,異面直線共有().a.1 對(duì)c.3 對(duì)b .2 對(duì)d. 4 對(duì)【解析】根據(jù)異面直線的定義可知共3 對(duì),分別為 ap 與 bc,cp 與 ab,bp 與 ac.【答案】 c4. 過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有(). a.一條b .兩條c.無(wú)數(shù)條d.無(wú)法確定【解析】過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條,包括相交垂直和異面垂直.【答案】 c5. 在兩個(gè)平面內(nèi)分別取一條直線,若這兩條直線互相平行,則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)(). a.有限個(gè)b.無(wú)限個(gè)c.沒(méi)有d.沒(méi)有或無(wú)限個(gè)【解析】?jī)善矫嫦嘟换蛘咂叫?因此這兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)或有無(wú)限個(gè)公共點(diǎn).【答案】 d6. 一個(gè)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等且不為零,則這兩個(gè)平面 (). a.平行b.相交c. 平行或重合d.平行或相交【解析】若三點(diǎn)在平面的同側(cè),則兩平面平行 ; 若三點(diǎn)在平面的異側(cè),則兩平面相交 .【答案】 d7. 下列說(shuō)法中 ,正確的個(gè)數(shù)是 ().平行于同一平面的兩條直線平行.直線 a 平行于平面 內(nèi)的一條直線b,那么直線a平面.若兩平行直線中的一條與平面相交 ,那么另一條也與平面相交 .直線 a 與平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線相交,那么直線a 在平面 內(nèi).a.0b.1c.2d .3【解析】只有 正確 .【答案】 b8. a,b 是兩條直線 ,是一個(gè)平面 ,給出下列三個(gè)命題:如果 ab,b? ,那么 a;如果 a,b,那么 ab;如果 ab,a,那么 b.其中真命題有 ().a.0 個(gè)b.1 個(gè)c.2 個(gè)d.3 個(gè)【解析】 中, a 有可能在平面內(nèi),故 不正確 ;平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行,故不正確 ;中,b 有可能在平面 內(nèi),故不正確 .綜上可知 ,選 a .【答案】 a9. 平面 , 滿足 ,直線 a? ,下列四個(gè)命題中:a 與內(nèi)的所有直線平行;a 與內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行;a 與內(nèi)的任何一條直線都不相交;a 與 無(wú)公共點(diǎn) .其中正確命題的個(gè)數(shù)是().a.1b.2c.3d .4【解析】因?yàn)?,直線 a? ,所以 a 與內(nèi)的直線平行或異面,由此可知 錯(cuò),其他均正確 .【答案】 c10 .已知 a、b、c、d 四點(diǎn)不共面 ,且 ab平面,cd 平面,ac =e ,ad =f,bd=g,bc =h, 則四邊形efgh 是(). a.平行四邊形b.矩形c.菱形d.正方形【答案】 a11 .若平面 外的直線a 與平面 所成的角為 ,則的取值范圍是(). a.(0,)b.0,)c.(0,d.0,【解析】當(dāng) a時(shí) ,=0; 當(dāng) a時(shí),=; a 和斜交時(shí) ,的取值范圍是 (0,), 綜上 ,的取值范圍是0,.【答案】 d12 .p 為abc 所在平面外的一點(diǎn),且 pa、pb、pc 兩兩垂直 ,則下列命題 :pa bc; pbac;pcab ;ab bc.其中正確的個(gè)數(shù)是() .a.0b.1c.2d.3【解析】 pa pb,pa pc,pa 平面pbc ,pa bc ,即正確 ,同理可證得 正確 .【答案】 d13 .室內(nèi)有一根直尺,無(wú)論怎么樣放置,在地面上總有這樣的直線, 它與直尺所在的直線(). a.異面b .相交c.平行d .垂直【答案】 d14 .若平面 、互相垂直 ,則( ). a.中的任意一條直線都垂直于 b.中有且只有一條直線垂直于 c.平行于 的直線垂直于 d. 內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于【答案】 d15 .在長(zhǎng)方體abcd-a 1 b1 c 1d 1 中,底面是邊長(zhǎng)為2 的正方形 ,高為 4, 則點(diǎn) a1 到截面 ab 1d1 的距離為 ().a.b.c.d.【解析】利用三棱錐a1-ab1d1 的體積變換 :=,則 2 4=6h,解得 h=.【答案】 c16 .點(diǎn) p 是等腰三角形abc 所在平面外一點(diǎn),pa平面abc ,pa=8, 在abc 中,底邊bc= 6, ab=5, 則 p 到 bc 的距離為 ().a.4b.5c.3d.2【解析】作 adbc 于 d,連接 pd,易證 pdbc,故 pd 的長(zhǎng)即為 p 到 bc 的距離 ,易求得 ad= 4, pd= 4.【答案】 a17 .已知 m,n 表示兩條不同的直線,表示三個(gè)不同的平面,給出下列三個(gè)命題: (1) ? m n;(2) ? n;(3) ? mn.其中推理正確的個(gè)數(shù)為().a.0b.1c.2d .3【解析】若則 mn,即命題 (1) 正確 ;若則 n或 n? ,即命題 (2) 不正確 ;若則 mn,即命題 (3)正確 .故選 c.【答案】 c18.如圖 ,平面 平面=l,a,b,ab l=d ,c,c ?l,則平面 abc 與平面 的交線是 (). a.直線 acb. 直線 abc.直線 cdd. 直線 bc【解析】 d l,l?平面 ,d平面.d ab ,ab?平面 abc, d平面abc ,d 在平面 abc 與平面 的交線上 .c 平面abc, 且 c平面,c 在平面 與平面 abc 的交線上 ,平面 abc平面=cd.【答案】 c二 填空題1. 在空間四邊形abcd 中,e、f 分別是 ab、cd 的中點(diǎn) ,且 ef=5, 又 ad= 6, bc= 8, 則 ad 與bc 所成角的大小為.【解析】取ac 中點(diǎn) g,連接 eg,fg,在efg 中,eg bc ,eg=bc= 4, fgad, fg=ad= 3, 又知 ef=5,egf= 90 , ad 與 bc 所成角為 90 .【答案】 902. 如圖 ,在正方體abcd-a 1 b1 c 1d 1 中,bd 和 b1d 1 分別是正方形abcd 和 a1b1c1 d1 的對(duì)角線.(1) dbc的兩邊與的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同;(2) dbc的兩邊與的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相反.【解析】 (1) b1d 1bd ,b1c 1 bc ,并且方向相同,所以dbc 的兩邊與 d 1b1c 1 的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同.(2) d1 b1bd,d 1a1bc ,并且方向相反 , 所以dbc 的兩邊與 b1 d 1a1 的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相反 .【答案】 (1) d1b1c1(2) b1d 1a13. 若 a? ,b? ,則 a 與 b 的位置關(guān)系是.【解析】可能異面,也可能存在平面,使 a? ,且 b? ,即 a 與 b 仍可以在同一平面內(nèi).【答案】平行、相交或異面4. 在正方體abcd-a 1 b1c 1d 1 中,e、f 分別是棱bc、c 1d 1 的中點(diǎn) ,則 ef 與平面 bb 1d 1d 的位置關(guān)系是.【解析】如圖 , 取 d 1b1 的中點(diǎn) o,連接 of,ob.ofb1c 1,beb1c 1,ofbe, 四邊形 ofeb 為平行四邊形,ef bo.ef ?平面bb1d1d,bo? 平面 bb 1d 1d,ef 平面bb 1d 1 d.【答案】平行5. 平面 平面,abc 和abc 分別在平面 和平面 內(nèi),若對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn),則這兩個(gè)三角形.【解析】由于對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn),則 ab 與 ab 共面 ,由面與面平行的性質(zhì)知ab ab ,同理 acac ,bc bc , 故兩個(gè)三角形相似.【答案】相似6. 過(guò)平面外一點(diǎn)作該平面的垂線有條;垂面有個(gè);平行線有條;平行平面有個(gè).【答案】一無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)一7. 已知 ahrthef 所在的平面 ,且 he ef ,連接 ae、af,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是.【解析】易知 ahe,ahf, hef 為直角三角形 ,又因?yàn)?efhe ,efah ,所以 ef平面 aeh ,所以 efae,即aef 也是直角三角形.綜上所述 ,圖中直角三角形個(gè)數(shù)為4.【答案】 48. 在正方體abcd-a 1b1c 1d 1 中,直線 c1d 與平面 b1cd 所成的角為.【解析】連接 c1b 交 b1c 于點(diǎn) o, 根據(jù)直線 c 1b平面b1cd ,可得直線c 1d 與平面 b1cd 所成的角為 odc 1,在 rt odc 1 中,根據(jù) dc 1 =2 oc 1,可得odc 1= 30,因此直線c1d 與平面 b1cd 所成的角為30 .【答案】 309. 正四棱錐 (頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12, 底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2, 求側(cè)面與底面所成的二面角.【解析】易求得底面邊長(zhǎng)為2, 高為 3,tan=,所以 =60.10 .如圖 ,在正方體abcd-a 1b1c 1d1 中,ab= 2, 點(diǎn) e 為 ad 的中點(diǎn) ,點(diǎn) f 在 cd 上.若 ef平面ab 1c,則線段 ef 的長(zhǎng)度等于.【解析】由 ef平面ab 1c,可知 ef ac ,所以 ef=ac= 2=.強(qiáng)化練習(xí)一 選擇題1. 下列命題中，正確的有()如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直過(guò)直線 l 外一點(diǎn) p，有且僅有一個(gè)平面與l 垂直如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊過(guò)點(diǎn) a 垂直于直線a 的所有直線都在過(guò)點(diǎn)a 垂直于 a 的平面內(nèi)a2 個(gè)b 3 個(gè)c 4 個(gè)d 5 個(gè)答案 c解析 正確，中當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線都平行時(shí)，結(jié)論不成立 2設(shè)直線l、 m，平面 、，下列條件能得出的是 () al? ， m? ，且 l， mbl? ， m? ，且 lm c l， m，且 lm d l，m ，且 lm答案 c解析 排除法， a 可舉反例，如圖(1) ， b 可舉反例如圖(2) ，其中 l 與 m 都平行于a，d 可舉反例，如圖(3) ，故選 c.3(08 福建理 )如圖，在長(zhǎng)方體abcd a1b1c1d 1 中， ab bc 2， aa 11 ，則 bc1與平面 bb 1d1d 所成角的正弦值為()6a.325b.515c.510d.5答案 d解析 取 b1d 1 中點(diǎn) o，在長(zhǎng)方體abcd a1b1c1d1 中，a1b1b1c1 2，c 1o b1d 1， 又 c1obb1，c 1o平面bb 1d1d，c 1bo 為直線 c 1b 與平面 bb1d1d 所成的角，在 rtboc1 中， c 1o2， bc1 bc 2 cc215，10sin obc 1.54 (09 四川文 )如圖，已知六棱錐p abcdef的底面是正六邊形，pa平面 abc ， pa2 ab，則下列結(jié)論正確的是()apb adb. 平面 pab平面pbcc. 直線 bc平面paed. 直線 pd 與平面 abc 所成的角為45 答案 d解析 設(shè) ab 長(zhǎng)為 1 ，由 pa 2 ab 得 pa 2， 又 abcdef 是正六邊形，所以ad 長(zhǎng) 也 為 2， 又 pa平面abc，所以 paad ，所以pad 為直角三角形pa ad，pda 45，pd 與平面 abc 所成的角為45 ，故選 d.5(09 湖北文 )如圖， 在三棱柱abc a1b1c1 中，acb 90，acc 1 60 ，bcc145 ，側(cè)棱 cc 1 的長(zhǎng)為 1 ，則該三棱柱的高等于()122b.2332d.3a.c.答案 a解析 作 c1o底面abc 于 o，作 omcb 于 m，連 c1 m.作 on ac 于 n，連 c 1n.易知 onac， ombc，又acb rt ，oncm 為矩形， oc mn ，1在 rtcnc1 中，c 1cn 60 ， cc1 1 ，cn ，22在 rtc 1mc 中，c 1cm 45 ，cc 1 1 ，cm 233nm 1222 222，oc 2，3在 rtc 1oc 中， c 1o1 2212，.1三棱柱高為.26. (09 寧夏海南文 ) 如圖，正方體abcd a1b1c 1d 1 的棱長(zhǎng)為1 ，線段 b1 d1 上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) e，f，且 ef2，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()2aac bebef平面abcdc. 三棱錐 a bef 的體積為定值d. aef 的面積與 bef 的面積相等答案 d解析 由正方體abcd a1b1c 1d 1 得， b1b平面abcd ，ac b1 b，又ac bd，ac 面bdd1b1， be?面 bdd1b1，ac be ，故 a 正確由正方體 abcd a1b1c 1d 1 得， b1d 1bd ，b1d 1?平面 abcd ，bd?平面abcd ，b1d 1 平面abcd ，ef 平面abcd ，b 正確2a 到平面 bdd1 b1 的距離 d，2va bef1sbefd31 11 sbb1 d1d. 3 212三棱錐 abef 的體積為定值，故c 正確2因 e、f 是線段 b1d 1 上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ef，2在 e， f 移動(dòng)時(shí)， a 到 ef 的距離與b 到 ef 的距離不相等aef 的面積與 bef 的面積不相等，故d 錯(cuò)7. 如圖所示，在三棱柱abc a1b1c 1 中， aa 1底面abc，ab bc aa 1，abc 90 ，點(diǎn) e、 f 分別是棱 ab、bb 1 的中點(diǎn)，則直線ef 和 bc1 所成的角是 ()a45 b 60c 90 d 120 答案 b解析 連結(jié) ab 1，易知 ab1ef ，連結(jié) b1c 交 bc 1 于點(diǎn) g，取 ac 的中點(diǎn) h，則 gh ab 1ef.1設(shè) ab bcaa 1 a，在ghc 中，易知 ghab1 22a，bg 222a，hb a，22故兩直線所成的角為hgb 60.點(diǎn)評(píng) 除可用上述將ef 平移到 gh 方法外還可以在平面bcc 1b1 內(nèi)過(guò) f 作 fdbc1交 b1c1 于 d ，考慮在efd 內(nèi)求解等 如果再補(bǔ)上一個(gè)三棱柱成正方體則結(jié)論就更明顯了8. 在空間四邊形abcd 中，若 ab cd，bcad ，則對(duì)角線 ac 與 bd 的位置關(guān)系為() a相交但不垂直b垂直但不相交c不相交也不垂直d無(wú)法判斷答案 b解析 作 ao平面bcd 于 o，連 bo 并延長(zhǎng)交dc 于 n，連 do 并延長(zhǎng)交 bc 于 m，連 co 并延長(zhǎng)交bd 于 h，bc ao ， bc adbc 平面aod ，bc dm，同理bn cd，o 為bdc 的垂心， ch bd又 ao bd ，bd平面 aoc，bd ac .9. 正方體 a1b1c1d1 abcd 中， 截面 a1bd 與底面 abcd 所成二面角a1 bda 的正切值等于 ()32a.b.32c.2d.3答案 c解析 設(shè) ac、bd 交于 o，連 a1o，bd ac ，bd aa 1，bd平面 aa 1o，bd ao，a1oa 為二面角的平面角tan a1oaa1a ao2 ，選c.10. 在二面角 l 中， a，ab 平面于 b，bc平面于 c，若 ab6 ，bc3，則二面角 l的平面角的大小為() a30 b 60c 30 或 150 d 60 或 120 答案 d解析 如圖，ab，ab l ，bc ，bc l ，l 平面abc，設(shè)平面 abc l d，則adb 為二面角l 的平面角或補(bǔ)角，ab 6 ，bc 3 ，bac 30 ，adb 60 ，二面角大小為 60 或 120 .11 (2010 重慶文， 9) 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)() a只有 1 個(gè)b 恰有 3 個(gè)c恰有 4 個(gè)d 有無(wú)窮多個(gè)答案 d解析 過(guò)兩條互相垂直的異面直線的公垂線段中點(diǎn)且與兩條直線都成45 角直線上所有點(diǎn)到兩條直線的距離都相等，故選d.12 abcd 是正方形，以bd 為棱把它折成直二面角abd c，e 為 cd 的中點(diǎn)，則aed 的大小為 ()a45 b 30c 60 d 90 答案 d解析 設(shè) bd 中點(diǎn)為 f，則 afbd， cfbdafc 90 ，af面bcde、f 分別為 cd 、bd 的中點(diǎn)，ef bc ，bc cd ，cd ef ，又 afcd ，cd平面aef ，cd ae. 故選 d. 13 已知 l? ， m，有下列四個(gè)命題： ? lm; ? l m； lm? ； l m? .其中正確的命題是()a. 與b 與c與d 答案 d解析 m ? m? ml，正確否定 a 、b ，l? 又m ? ll m? ，正確否定 c，故選 d.l? 14 已知三棱錐sabc 的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r 的球面上，球心o 在 ab 上， so底面abc， aca c 32 r，則球的體積與三棱錐體積之比是b 2 d 4()答案 d解析 此三棱錐的高為球的半徑，abc 所在大圓面積為r 2，三棱錐的底面易知為等腰直角三角形腰長(zhǎng)為2 r，所以三棱錐底面面積為1v球(2r)2 r2，4r33 4 ，球體積2v錐1r33與三棱錐體積之比為4 ，故選 d.15 在空間四邊形abcd 中，ad bc ，bd ad，且bcd 是銳角三角形， 那么必有 () a平面 abd平面adcb. 平面 abd平面abc c平面 adc 平面bcd d平面 abc 平面bcd 答案 c16 已知 m、l 是直線， 、 是平面，給出下列命題：若 l 垂直于 內(nèi)的兩條相交直線，則l；若 l 平行于 ，則 l 平行于 內(nèi)的所有直線；若 m? ，l? ，且 lm，則 ；若 l? ，且 l ，則 ；若 m? ，l? ，且 ，則 ml.其中正確命題的序號(hào)是() ab cd 答案 c解析 由直線與平面垂直的判定定理知，正確；對(duì)于，若l， m? ，則 l 與 m 可能平行，也可能是異面直線，故不正確； 對(duì)于，滿足題設(shè)的平面、有可能平行或相交，也有可能垂直，故是錯(cuò)誤的； 由面面垂直的判定定理知，是正確的；對(duì)于， m 與 l 可能平行，也可能是異面直線，故是錯(cuò)誤的故正確的命題是、. 17 若 a、b 表示直線， 表示平面， a，ab，則 b； a， ab，則 b； a， b，則 ba； a，b? ，則 ba.上述命題中正確的是() ab cd 答案 c解析 b或 b? b或 b或 b? 、正確，選c.18 已知三條直線m、n、l，三個(gè)平面、，下面四個(gè)命題中，正確的是()a.? mb. ? llmmc. ? mnnd.? 答案 d解析 對(duì)于 a ， 與 可以平行，也可以相交；對(duì)于b， l 與 可以垂直，也可以斜交或平行；對(duì)于c ，m 與 n 可以平行，可以相交，也可以異面19 若兩直線a 與 b 異面，則過(guò)a 且與 b 垂直的平面 () a有且只有一個(gè)b. 可能存在也可能不存在c. 有無(wú)數(shù)多個(gè)d一定不存在答案 b解析 當(dāng) ab 時(shí)，有且只有一個(gè)當(dāng) a 與 b 不垂直時(shí)，不存在20 (08 安徽 ) 已知 m、n 是兩條不同直線，、是三個(gè)不同平面下列命題中正確的是 ()a若 m， n，則 mn b若 ， ，則 c若 m， m，則 d若 m， n，則 mn 答案 d21 如圖，正方體abcd a1 b1c 1d 1 中，點(diǎn) p 在側(cè)面 bcc1 b1 及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持 ap bd 1，則動(dòng)點(diǎn)p 的軌跡是 ()a. 線段 b1cb. 線段 bc 1c. bb1 中點(diǎn)與 cc 1 中點(diǎn)連成的線段d bc 中點(diǎn)與 b1c1 中點(diǎn)連成的線段答案 a解析 dd 1平面abcd，d1d ac ，又 ac bd ，ac平面bdd 1，ac bd 1.同理 bd 1b1c.又b1 cac c，bd 1平面ab1 c.而 ap bd1，ap ?平面 ab1 c.又 p平面bb 1c 1c，p 點(diǎn)軌跡為平面ab 1c 與平面 bb1 c1c 的交線 b1c.故選 a. 22 已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是() a平行b 垂直c斜交d 不能確定答案 b解析 設(shè) a，b 為異面直線，a平面，b，直線 la， lb.過(guò) a 作平面 a，則aa，la.同理過(guò) b 作平面 b，則l b，a， b 異面，a與b相交，l.23 設(shè)有直線m、n 與平面 、，則在下面命題中，正確的是() a若 mn，m? ， n? ，則 b若 m， mn， n? ，則 c若 mn， n， m? ，則 d若 mn， m， n? ，則 答案 c解析 對(duì)于 c ，由 m n， n得 m.又 m? ，可得 .應(yīng)選c.24 如圖已知平面cbd 平面abd ，且 da平面 abc ，則abc 的形狀為 ()a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d不能確定 答案 b解析 過(guò) a 作 aedb，則 ae平面 dbc，aebc ，又 da 平面abc，da bc ，又 da ae a，bc 平面dab ，bc ab ，abc 為直角三角形25 (2010 北京理， 8) 如圖，正方體 abcd a1 b1c1d 1 的棱長(zhǎng)為 2，動(dòng)點(diǎn) e，f 在棱a1b1 上，動(dòng)點(diǎn) p， q 分別在棱 ad、 cd 上，若 ef 1， a1 e x， dq y， dp z(x， y， z 大于零 )，則四面體 pefq 的體積 ( )a. 與 x， y，z 都有關(guān)b. 與 x 有關(guān)，與y， z 無(wú)關(guān)c. 與 y 有關(guān)，與 x，z 無(wú)關(guān)d與 z 有關(guān)，與 x，y 無(wú)關(guān)答案 d解析 這道題目延續(xù)了北京高考近年8,14,20的風(fēng)格，即在變化中尋找不變，從圖中1可以分析出， efq 的面積永遠(yuǎn)不變，為矩形a1 b1 cd 面積的，而當(dāng) p 點(diǎn)變化 (即 z 變化 )4時(shí)，它到平面a1b1cd 的距離是變化的，因此會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化26 在abc 中， c 90 ，ab 8 ， b 30 ， pc平面abc， pc 4， p是ab 邊上動(dòng)點(diǎn)，則 pp 的最小值為()a2b.7c 27d.19答案 c解析 作 cp ab，垂足為p，則易知ppab ，pp 為所求最小值在 rtabc 中，由 ab8 ，b30 得， pc 23 ，又 pc平面abc，pc pc ，pc 4，pp 27.27 已知直線l平面，直線 m?平面 ，有下列四個(gè)命題： ? lm；? lm； lm? ；lm? .其中正確的兩個(gè)命題是() ab cd 答案 d28 (2010 山東文， 4) 在空間，下列命題正確的是() a平行直線的平行投影重合 b平行于同一直線的兩個(gè)平面平行c. 垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行d. 垂直于同一平面的兩條直線平行答案 d解析 當(dāng)兩平行直線都與投影面垂直時(shí)，其在內(nèi)的平行投影為兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)兩平行 直線所在平面與投影面相交但不垂直時(shí)，其在內(nèi)的平行投影可平行，故a 錯(cuò)；在正方體 abcd a1b1c 1 d1 中，直線 aa 1 與平面 bcc 1b1 及平面 cdd 1c 1 都平行，但平面 bcc 1b1 與平面 cdd 1c1 相交，故 b 錯(cuò)；同樣，在正方體abcd a1b1c1d 1 中，平面bcc 1b1 及平面 cdd1c1 都與平面abcd 垂直，但此二平面相交，故c 錯(cuò)；由線面垂直的性質(zhì)定理知d 正確29 對(duì)于直線m、n 和平面 、，下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()若 m，nm，則 n若 m，nm，則 n若 ， ，則 若 m，m? ，則 a1b 2c 3d 4答案 a解析 錯(cuò)，正確30 (09 廣東文 )給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直， 那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直 其中為真命題的是()a和b 和c和d 和 答案 d31 (09 浙江文 )設(shè) ， 是兩個(gè)不同的平面，l 是一條直線，以下命題正確的是() a若 l， ，則 l? b. 若 l， ，則 l? c若 l， ，則 l d若 l， ，則 l 答案 c解析 l，? l或 l? ， a 錯(cuò)； l， ? l或 l? ，b 錯(cuò)； l，? l， c 正確；若 l， ，則 l 與 位置關(guān)系不確定，d 錯(cuò)32 a、b 為不重合的直線， 為不重合的平面，給出下列4 個(gè)命題： a且 ab? b； a且 ab? b； a且 ab? b； a且 ? a.其中正確命題的個(gè)數(shù)為() a0b 1c. 2d 3答案 a解析 a? b或 b? ；aba? b或 b? ；aba ? a或 a? .33 如圖， bc 是 rt abc 的斜邊， ap 平面abc，pd bc 于 d，則圖中共有 個(gè)直角三角形 ()a8b 7c 6d 5答案 a解析 pac ，pad ，pab，pdc ，pdb，cda ，bda ，cab 共 8 個(gè)和34 如圖，平面平面 ，a，b，ab 與兩平面、所成的角分別為4.過(guò) a、6b 分別作兩平面交線的垂線，垂足為a、b，則abab等于()a2 1b 31c 32d 43 答案 a解析 由已知條件可知 bab，4aba ，設(shè) ab 2 a，6則 bb2 asin2a，ab 2acos 43 a，6在rtbba中，得aba，ab ab2 1.35已知 a、b、c