高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義4不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.docx

2018屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義【4】-不等式的性質(zhì)及應(yīng)用一、知識(shí)梳理1.不等式的性質(zhì)（1）實(shí)數(shù)的大小比較與實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系；（2）不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1.（傳遞性）如果，那么性質(zhì)2.（加法性質(zhì)）如果，那么性質(zhì)3.（乘法性質(zhì)）如果，那么；如果，那么（3）從不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，還可以得到哪些有用的推論？推論1. ； 推論2. 推論3. ； 推論4. 推論5. ； 推論6. 推論7. （4）如何比較不等式的大??？作差法 作商法【總結(jié)】不等式證明的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法 ；（8）圖象法. 其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.2.常用的基本不等式（1）如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）；（2）如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）.【提醒】基本不等式可以用來求最值，但要注意條件的滿足：一正、二定、三相等；如：若變數(shù)，則若（常數(shù)），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值；若（常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值.【拓展】常用不等式有：（1）當(dāng)為正數(shù)時(shí), （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)），即平方平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)；（2）糖水不等式：若，則（糖水的濃度問題）；（3）絕對(duì)值不等式：二、基礎(chǔ)檢測(cè)11. 判斷下列命題的真假, 如果是真命題, 請(qǐng)說明理由; 如果是假命題, 請(qǐng)舉出反例.(1)若, 則;(2)若, 則;(3)若, 則且;(4)若, 則;(5)若, 則;(6)若, , 則.2. 已知, , 在下列空白處填上恰當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)或等號(hào):(1); (2); (3).3. 如果, 那么下列不等式中正確的是答 A. B. C. D. 4. 如果, 那么下列不等式中正確的是答 A. B. C. D. 5. 已知a, b, c, d為實(shí)數(shù), 且. 則“”是“”的答 A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件6. 設(shè)x, y是兩個(gè)實(shí)數(shù), 命題“x, y中至少有一個(gè)數(shù)大于1”成立的充分非必要條件是答 A. B. C. D. 基礎(chǔ)檢測(cè)21. 若矩形的面積為4, 則其周長(zhǎng)的最小值為_.2. 已知, 且, 則的最大值為_.3. 若, 則的取值范圍是_.4. 設(shè), 則從小到大的排列是_.5. 若, 則的最小值是_.6. 某廠產(chǎn)量第二年的增長(zhǎng)率為a, 第三年增長(zhǎng)率為b, 這兩年的平均增長(zhǎng)率為x, 則答 A. B. C. D. 三、例題精講例1、（1）設(shè)、是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較與的大小；（2）設(shè)為正數(shù)，且，求證：.【參考答案】（1）解法1： 因?yàn)?、是不全為零的?shí)數(shù)，所以，即 解法2：當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)，作差：；因?yàn)?、是不全為零的?shí)數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，綜上， （2）證明：當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)3 作差比較：=，所以， 例2、已知,試求的取值范圍【參考答案】把用，來表示，再利用，的范圍得出的取值范圍=3- 由已知得，即注意:這類題的常見錯(cuò)誤是,由,從而得: ,所以: ，即: ,錯(cuò)誤根源在于是充分但不是必要條件,因此必須從考慮與,的關(guān)系去解此題.例3、設(shè)和都是非零實(shí)數(shù)，求不等式和同時(shí)成立的充要條件【詳解】先求，同時(shí)成立的必要條件，即當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)， 與 應(yīng)具備什么條件由，得由可知，再由知，即與異號(hào)，因此 是不等式與同時(shí)成立的必要條件再求，同時(shí)成立的充分條件事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，必有，且，因而成立從而是不等式，同時(shí)成立的充分條件因此，兩個(gè)不等式，同時(shí)成立的充要條件是例4、已知，求的最大值.【參考答案】，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).例5、求的最小值.【參考答案】方法一：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).方法二：設(shè)，則，原式當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).例6、某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留寬的空地，當(dāng)矩形室的變長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積時(shí)多少？【參考答案】溫室左側(cè)變長(zhǎng)例7、求證：（1）在周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大； （2）在面積相等的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最小。證明：（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)的寬分別為， 則同樣周長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)為。 矩形面積，正方形面積。 由基本不等式2知：因?yàn)?，等?hào)不成立） 所以，即。 所以在周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大。（2）設(shè)面積為的矩形的長(zhǎng)和寬分別為，其周長(zhǎng)為，正方形的周長(zhǎng)為，又，即正方形周長(zhǎng)為。由基本不等式2：，所以（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）。所以，在面積相等的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最小。例8、求下列代數(shù)式的最小值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。所以當(dāng)時(shí)，最小值為。（2）因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為3。（3）（4）（5），因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。所以的最小值為。說明：應(yīng)用極值定理求最值時(shí)一定要注意應(yīng)用條件，驗(yàn)證等號(hào)成立的條件必不可缺。例9、求下列代數(shù)式的最大值：（1）；（2）。解：（1）因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以時(shí)，的最大值為1。（2）因?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。又，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為1。四、課堂練習(xí)1. 判斷下列命題的真假, 如果是真命題, 請(qǐng)說明理由; 如果是假命題, 請(qǐng)舉出反例.(1) 若, 則;(2)若, 則;(3)若, 則;(4)若, , 則;(5)若, , 則;(6)若, , 則;(7)若, 則;(8)若, , 則;(9)若, 則;(10).2. 求解下列問題.(1) 命題甲: 滿足, 命題乙: 滿足, 則甲是乙成立的_條件;(2) 設(shè), 求的取值范圍.3. 比較下列兩個(gè)量的大小.(1) 已知, 比較與的大小;(2) 已知, 比較與的大小.4. 解關(guān)于x的不等式: , 其中.5. 已知, , 求的最大值及此時(shí)x, y的值.6. 已知, 且滿足, 求: 的最大值以及的最小值.7. 已知, 滿足,(1) 求的最小值;(2) 在求的最小值時(shí), 某學(xué)生給出解法如下:由得, 即,又因?yàn)? 由得, 即所求最小值為8.請(qǐng)指出這位同學(xué)錯(cuò)誤的原因, 并給出正確的解法. 8. 求函數(shù)的值域.9. 經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到: 在交通繁忙的時(shí)間段內(nèi), 某公路段汽車的車流量y(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為.(1) 在該時(shí)間段內(nèi), 當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí), 車流量最大? 最大車流量為多少(精確到0.1千輛/小時(shí))?(2) 若要求在該時(shí)間段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí), 則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?五、【難題突破】【例1】設(shè)正數(shù)、滿足，則的最小值是_方法一：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；方法二：由可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；【例2】已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 方法一：由可得：，代入得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。方法二：，所以：；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)?！纠?】對(duì)于問題：已知，且，求的最小值。有甲、乙、丙三位同學(xué)分別給出了下面的不同解法：甲同學(xué)的解法：因?yàn)椋?，所以。即的最小值為。乙同學(xué)的解法：因?yàn)?，所以。即的最小值為。丙同學(xué)的解法：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，所以時(shí)的最小值為。以上三位同學(xué)的解法是否正確？說明理由。若不正確，請(qǐng)你給出一種正確的解法。解析：三位同學(xué)的解法都不正確。正確的解法如下：因?yàn)椋?。?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立。所以的最小值為。六、回顧與總結(jié)：（1）不等式的性質(zhì)：1. 主要方法:比較兩數(shù)大小的一般方法求差法，即作差法；利用函數(shù)的單調(diào)性；作商法(較少用).2. 易錯(cuò)、易漏點(diǎn):不等式的基本性質(zhì)是解不等式理論依據(jù)，特別要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘時(shí)，兩個(gè)不等式都需大于零；求差法(作差法)是很重要的方法，要引起重視；而作商法比較大小的依據(jù)是，使用時(shí)要注意符號(hào)，不能亂用，一般適用于指數(shù)形式.（2）基本不等式：1. 主要方法:兩個(gè)基本不等式的應(yīng)用，特別注意不等式.2. 易錯(cuò)、易漏點(diǎn):利用重要不等式求最值時(shí)，要注意條件: 一正、二定、三相等；在，x和y要大于零；要有定積或定和出現(xiàn)；同時(shí)要求“等號(hào)”成立；若等號(hào)不成立，常利用函數(shù)單調(diào)性求解.七、課后練習(xí)1. 設(shè), 則和同時(shí)成立的充要條件是_.2. 設(shè), 給出下面四個(gè)命題: (1); (2); (3)若, 則; (4), 則; 其中真命題的序號(hào)是_.3. 已知, 則的取值范圍是_.4. 若, 則“”是“”的答 A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件5. 若, 則下列各式中, 恒成立的是答 A. B. C. D. 6. 若, , 則的取值范圍是答 A. B. C. D. 7. 比較下面兩個(gè)量的大小.(1) 與;(2) 與的大小.8. 在等比數(shù)列和等差數(shù)列中, , , , 試比較與的大小. 9. 已知不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x都成立, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 10.設(shè)實(shí)數(shù)a, b滿足, 且, 則從小到大排列為_. 11. 當(dāng)_時(shí), 函數(shù)取到最小值, 為_. 12. 給出下列四個(gè)函數(shù): ; ; ; , 其中最小值為2的函數(shù)有 _. 13. 設(shè)是橢圓第一象限部分上的一點(diǎn), 過P分別向x軸, y軸作垂線, 垂足分別為M, N, 則矩形OMPN的面積的最大值為_. 14. 已知x非零常數(shù), 則下列不等式中恒成立的是答 A. B. C. D. 15. 某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800的矩形蔬菜溫室. 如圖所示, 在溫室