數(shù)學(xué)大師啟示錄 黎曼.doc

數(shù)學(xué)享有崇高的聲譽(yù)還有一個(gè)原因，是數(shù)學(xué)為精密的自然科學(xué)提供了某種可靠的變量，沒有數(shù)學(xué)，它們是無法做到的。 愛因斯坦最美妙的對比 作家曹雪芹(約17151763)一生只寫了一部紅樓夢，可是這部作品值得用金邊把它鑲嵌起來。這用來形容黎曼的工作同樣十分恰當(dāng)。在短促的一生中，黎曼的全部著述合起來只有不厚的一卷，可是他的每一篇論文無不具有深遠(yuǎn)的革命意義?？梢赃@樣說，沒有黎曼的工作，近代科學(xué)思想的偉大革命就不可能實(shí)現(xiàn)，除非后來有人創(chuàng)造出黎曼所發(fā)明的概念和數(shù)學(xué)方法?？上г谒l(fā)明的大樹結(jié)出碩果以前，他已經(jīng)與世長辭。要是當(dāng)時(shí)的醫(yī)學(xué)達(dá)到今天的水平，他至少還能多活二三十年，那么，在科學(xué)史上將會(huì)用金光閃閃的大字這樣寫著： “黎曼19世紀(jì)的牛頓、愛因斯坦!” 1826年9月17日，喬治弗雷德里希伯恩哈德黎曼誕生于德國北部漢諾威的伯萊塞蘭士村。父親喬治是村里路德新教的牧師，年輕的時(shí)候曾經(jīng)參加過反對拿破侖的戰(zhàn)爭。母親卡蘿廷愛芭是法庭顧問的女兒。他們倆一共生育了6個(gè)子女，伯恩哈德排行第二。漢諾威當(dāng)時(shí)相當(dāng)落后，農(nóng)村里因?yàn)槿鄙偕?，還普遍在用人力拉犁。偏僻鄉(xiāng)村的小牧師的薪金少得可憐。要養(yǎng)活偌大的8口之家，不能不顯得捉襟見肘，力不從心。因此，黎曼家的孩子個(gè)個(gè)身體瘦弱，營養(yǎng)不良，他們大都過早地離開了人世。母親也在孩子們長大以前結(jié)束勤勞的一生。但是，物質(zhì)生活的清苦，沒有剝奪黎曼一家生活的溫暖和愉快。父母親善良的心地和溫和的性格給子女們以良好的影響。兄弟姐妹們相親相愛，其樂融融。伯恩哈德一生始終保持著兒時(shí)生活的美好回憶，并對故鄉(xiāng)懷有深深的思念之情。 小黎曼生性十分膽小，羞怯。他不敢在公眾場合中露面，更害怕在大庭廣眾中講話。一切熟悉黎曼的朋友都喜愛他靦腆謙遜的性格?？墒牵诳茖W(xué)思想上，他卻是出奇地大膽。他蔑視一切困難險(xiǎn)阻，在科學(xué)的領(lǐng)地上縱橫馳騁，創(chuàng)造出一個(gè)又一個(gè)奇跡。這實(shí)在是在一個(gè)人的身上可能有的最最美妙的對比。 不久，父親調(diào)到魁克彭工作。5歲的小黎曼開始在父親指導(dǎo)下學(xué)習(xí)。老黎曼是位優(yōu)秀的教師。他娓娓動(dòng)聽的講解激起孩子強(qiáng)烈的求知欲望。小黎曼對歷史最感興趣。波蘭人民爭取獨(dú)立和自由的歷史，深深震撼著孩子幼小的心靈。他含著熱淚，一遍又一遍地聽父親講述這些可歌可泣的歷史的詩篇。 小黎曼在6歲學(xué)習(xí)算術(shù)。在兄弟姐妹當(dāng)中，他的數(shù)學(xué)天賦一開始就顯得異常突出。父親絞盡腦汁出的難題不但難不倒他，反而激起他更大的熱情。很快，他就學(xué)父親的樣子，編題目給弟弟妹妹做。他的題目構(gòu)思巧妙，別具一格，甚至把老黎曼也吸引住了。沒有豐盛的食物，沒有漂亮的衣服，一家人圍著一張破舊的小圓桌，在數(shù)學(xué)百花園里追逐游戲，在面紅耳赤的爭論中享受到最大的樂趣。創(chuàng)造的喜悅使小黎曼激動(dòng)萬分。等到大家好不容易地越過他設(shè)計(jì)的第一個(gè)“陷阱”，他已經(jīng)布置好了又一座更加引人人勝的“迷宮”。一上l0歲，小黎曼跟從一位名叫肖爾茲的老師學(xué)習(xí)幾何和更高深的算術(shù)。肖爾茲是當(dāng)?shù)赜忻慕處煛？墒撬芸彀l(fā)現(xiàn)，自己已經(jīng)落在學(xué)生的后面。小黎曼對問題的解答常常比自己的更快更好。 讀書在當(dāng)時(shí)的漢諾威是屬于少數(shù)有錢人家的奢侈品。黎曼夫婦看到伯恩哈德比其他的孩子聰明得多，決心盡一切力量把他培養(yǎng)成一個(gè)有學(xué)問的人。小黎曼14歲的時(shí)候，父親送他到漢諾威的祖父家中，進(jìn)了當(dāng)?shù)氐拇髮W(xué)預(yù)科學(xué)校。離開溫暖可愛的家庭，來到一個(gè)陌生的環(huán)境，小黎曼感到很不適應(yīng)。他寒傖的穿著和羞澀內(nèi)向的性格成了富家子弟們?nèi)⌒Φ膶ο蟆Ｋ械焦陋?dú)。即使自己的學(xué)習(xí)成績總是在全班名列前茅，也不能使他得到安慰。只有在親人們的生日臨近的日子里，他才感到真正的快樂：他可以借這個(gè)難得的機(jī)會(huì)來施展一下自己創(chuàng)造的才能。雖然口袋里只有少得可憐的幾文錢，小黎曼每次總能夠準(zhǔn)備出一份使親人們驚嘆不已的禮物。第二年，在母親生日的時(shí)候，小黎曼設(shè)計(jì)制作了一張可以永久使用的日歷，來祝愿她老人家健康長壽。這件精致的、別出心裁的作品產(chǎn)生了預(yù)想不到的效果。小黎曼的創(chuàng)造天才受到全班一致的公認(rèn)。從此以后，連最調(diào)皮的同學(xué)都來向他討好，再也沒有人來嘲笑和欺侮他了。 兩年以后，祖父不幸病逝。在漢諾威已經(jīng)沒有別的親人。小黎曼只好轉(zhuǎn)學(xué)來到羅尼堡的預(yù)科學(xué)校。在羅尼堡 小黎曼對學(xué)校的生活仍舊感到不適應(yīng)。雖然從學(xué)校到家要步行好幾十里路，不論刮風(fēng)下雨，小黎曼一有機(jī)會(huì)就往家里跑。母親擔(dān)心他這樣往返奔走會(huì)把身體累垮，不過小黎曼并不在乎。家里親切的氣氛溫暖著小黎曼孤獨(dú)的心。 在學(xué)校里，小黎曼遇到一個(gè)重大的考驗(yàn)。害怕遭人議論譏笑的怕羞心理，促使他要把自己的工作做得完美無缺，挑不出半點(diǎn)毛病。在數(shù)學(xué)方面他毫無困難?？墒?，在寫作上要做到這一點(diǎn)卻不是那么容易。所以一到寫作課，他的精神就緊張起來。他每寫一句都要反復(fù)琢磨，精心推敲，常常寫了劃掉，劃掉了再寫。等到別的同學(xué)都已經(jīng)交卷，小黎曼還在抱著頭，冥思苦想。誰見到這種情景，都不由得要為小黎曼捏一把汗。其實(shí)，這種擔(dān)心是多余的。小黎曼寫作的速度雖然慢得使人難受，但是質(zhì)量卻是高超的。黎曼的文章，思路開闊，行文簡潔，遣字造句，惜墨如金。粗看起來，他的文字平淡無奇，可是愈看愈耐人尋味。經(jīng)過這段時(shí)間的刻苦磨煉，黎曼的寫作技巧得到極大的提高。他后來的兩篇偉大杰作，從內(nèi)容到形式都達(dá)到爐火純青的地步。其中的一篇，甚至連苛求的高斯也不得不承認(rèn)，它晶瑩剔透，完美無缺。 這時(shí)候，一位熱心的希伯來語教師發(fā)現(xiàn)了這個(gè)天資聰敏、討人喜歡的少年，特意把他接到自己的家里，和他一起研究希伯來語。要從事神職工作就需要精通這種語言。小黎曼知道自己說話結(jié)巴，羞于見人，而且對傳道沒有真正的興趣，可是他仍然準(zhǔn)備將來做一名傳教士，因?yàn)檫@是父親的意愿。孝順的小黎曼不愿使父親難過，而且這也是他幫助父親把全家從經(jīng)濟(jì)困境中掙脫出來的最好途徑。 當(dāng)然，黎曼的才能在數(shù)學(xué)而不在神學(xué)，預(yù)科學(xué)校校長舒莫弗斯比誰都了解這一點(diǎn)。他特別允許黎曼可以自由使用他的私人圖書館，并且免修數(shù)學(xué)。有一次，他拿出勒讓德所著數(shù)論讓黎曼帶回去自學(xué)。這是一部長達(dá)859頁的巨著，論證嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容艱深。有不少章節(jié)，連專家閱讀起來也感到難懂。6天以后，黎曼還書來了。舒莫弗斯大吃一驚。他十分清楚，對一般人來說，花上一年半載能把它讀完就算不錯(cuò)。 “怎么，讀完啦?” 黎曼輕輕地點(diǎn)點(diǎn)頭，回答說： “謝謝你。這真是一部了不起的著作。” 校長對學(xué)生的回答半信半疑，因?yàn)樗约洪喿x了近半年時(shí)間還留下一大堆疑問呢。他乘機(jī)向這位少年提出自己的問題。誰知黎曼對數(shù)論的內(nèi)容了如指掌，就像這本書是他自己寫的一樣! 勒讓德的著作使黎曼對素?cái)?shù)之謎發(fā)生興趣。在數(shù)論中勒讓德提出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：任意給出一個(gè)正數(shù)n，根據(jù)這個(gè)公式可以近似地求出小于數(shù)n的素?cái)?shù)有多少個(gè)。后來，黎曼在柏林科學(xué)院1859年的每月評論上發(fā)表一篇短短8頁的論文論小于已給數(shù)的素?cái)?shù)的數(shù)目，來進(jìn)一步改進(jìn)勒讓德的工作。他在論文中提出一個(gè)著名的“黎曼猜想”，這是今天向純粹數(shù)學(xué)提出的挑戰(zhàn)，如果不說是最引人注目的挑戰(zhàn)，至少也是最引人注目的挑戰(zhàn)之一。誰要是能證明或者推翻這個(gè)假設(shè)，不僅可以在數(shù)學(xué)史上享有不朽的榮譽(yù)，而且附帶地可以解決素?cái)?shù)理論，解決數(shù)論和分析中許多極端困難的問題。專家們一般都傾向于認(rèn)為黎曼假設(shè)成立。1914年英國數(shù)學(xué)家哈代證明：有無窮多個(gè)數(shù)滿足這個(gè)假設(shè)。不過這還不夠。無窮多個(gè)數(shù)還不是所有的數(shù)。它牽涉到一系列極其棘手的問題，僅僅用初等的方法是無法解決的。今天，這個(gè)假設(shè)吸引了愈來愈多的人們的注意。 在羅尼堡，吸引黎曼的大數(shù)學(xué)家不只是勒讓德一個(gè)人。實(shí)際上，他是通過歐拉的著作來熟悉微積分和其他分支的。這有點(diǎn)使人奇怪，因?yàn)閺臍W拉人手來學(xué)習(xí)分析，在當(dāng)時(shí)已經(jīng)顯得過時(shí)。后來的高斯、柯西和阿貝爾等人把分析大大向前推進(jìn)。但是，這樣的起步并不影響黎曼成為一位嚴(yán)格的分析學(xué)家。他的研究工作主要是受深刻的哲學(xué)思想的指引而不是追求形式的優(yōu)美或玩弄公式游戲。不過，他的確從歐拉那里學(xué)到不少技巧。在這方面，歐拉無疑是舉世無雙的大師。 到黎曼從預(yù)科學(xué)校畢業(yè)的時(shí)候，事情已經(jīng)十分清楚：他的才能用來宣傳“上帝的真理”派不上什么用場，如果去征服自然，就大有用武之地?？上?，優(yōu)柔寡斷的性格妨礙黎曼果斷地作出抉擇。1846年，黎曼考入格丁根大學(xué)。他選擇語言學(xué)和神學(xué)作為自己獻(xiàn)身的專業(yè)。大學(xué)生活 當(dāng)神職人員的想法時(shí)時(shí)在黎曼的腦海中盤旋，而格丁根大學(xué)豐富多彩的數(shù)學(xué)講座更是深深地牽動(dòng)著他的心。斯特恩的方程理論和定積分，高斯的最小二乘法，它們好像是根無形的絲線拉著黎曼身不由己地朝這些講座走去。同自然界無比神妙的規(guī)律相比，關(guān)于天國的神話就顯得貧乏而且索然無味。日子一久，黎曼終于忍不住向父親說出自己真正的志愿和愛好，懇求父親同意他改修數(shù)學(xué)。黎曼寫一篇論文要字斟句酌，下極大的功夫，他寫這封信絲毫不比寫論文輕松。信發(fā)出以后，黎曼感到極度的緊張。他擔(dān)心自己的決定會(huì)使父親難過?？刹皇锹?，老黎曼本來指望兒子像自己一樣做一名上帝的忠實(shí)仆人，而且他多么需要兒子來分擔(dān)壓在自己肩上的家庭負(fù)擔(dān)!但是，慈愛的父親了解孩子的稟賦，也理解孩子的心情，他完全想像得到，孩子為了這封信曾經(jīng)作了多么激烈而痛苦的斗爭。他不愿使兒子失望和難過，更不忍心兒子為家庭而葬送前程。他滿腔熱情地支持孩子的抉擇，鼓勵(lì)他安心學(xué)習(xí)，不要為家庭的困難操心。捧著父親親切的回信，就像捧著父親一顆滾燙的心。黎曼的熱淚不禁滾滾而下。通向數(shù)學(xué)宮殿的道路打通了!其實(shí)豈止黎曼，全世界都將永遠(yuǎn)感激喬治黎曼這次難能可貴的支持! 在格丁根學(xué)習(xí)了一年，黎曼來到柏林。柏林大學(xué)講授的內(nèi)容更加新穎誘人。從雅可比那里，他學(xué)習(xí)力學(xué)和高等代數(shù)；從狄利克雷那里學(xué)習(xí)數(shù)論和分析；從斯泰納那里學(xué)習(xí)近世幾何；從比他年長3歲的愛森斯坦那里，他不但學(xué)到了橢圓函數(shù)，還得到相互切磋，增強(qiáng)了信心。在柏林，黎曼和愛森斯坦親密得幾乎形影不離?？墒窃趯W(xué)術(shù)上，兩人常常爭論得面紅耳赤。對于理論應(yīng)該怎樣發(fā)展，黎曼和這位年輕的大師有一個(gè)根本的分歧。愛森斯坦好像當(dāng)年的歐拉，堅(jiān)持形式的優(yōu)美，而黎曼主張從少數(shù)幾條最普遍的原理出發(fā)，作最少量的計(jì)算來建立整個(gè)理論。黎曼一生堅(jiān)持這種見解，并且構(gòu)成他后來研究工作的重要風(fēng)格。 這時(shí)候，黎曼的博士論文復(fù)變函數(shù)一般理論的基礎(chǔ)的基本思想已經(jīng)形成。他要從分析而不是從幾何來定義復(fù)變量的解析函數(shù)，并且由此建立起整個(gè)復(fù)變函數(shù)理論。德國數(shù)學(xué)家約翰本尼狄克利斯廷(18061882)在1847年格丁根研究上一篇有關(guān)拓?fù)涞恼撐拇俪闪怂膶?shí)現(xiàn)。拓?fù)湓诒緯诹轮性?jīng)作過介紹?？墒牵跉W拉以后，這個(gè)主題幾乎無人問津。利斯廷的文章重新燃起人們對它的興趣。黎曼立刻看出，這種方法對于復(fù)變函數(shù)理論具有根本的重要性。創(chuàng)造性地利用拓?fù)浞椒▉硌芯繌?fù)變函數(shù)成為黎曼博士論文的一個(gè)重要特色。不過對黎曼來說，有了基本思想是一回事，要書寫成文又是一回事，因?yàn)檫@是一項(xiàng)偉大的工程，從內(nèi)容到形式他一心要追求盡善盡美的境界。 在柏林學(xué)習(xí)兩年，1849年秋天，黎曼回到格丁根。對純粹數(shù)學(xué)，黎曼固然興致盎然，不過關(guān)于物理定律的工作才是他的主要興趣。通過數(shù)學(xué)去認(rèn)識(shí)氣象萬千的物理世界使他心馳神往。進(jìn)行物理探索的需要和它的成果成為黎曼數(shù)學(xué)研究的重要源泉和動(dòng)力。黎曼博士論文中關(guān)于復(fù)變函數(shù)的思想正是他研究平面電流流動(dòng)的時(shí)候受到的啟發(fā)。在格丁根的最后3學(xué)期，他懷著巨大熱情跟隨高斯的老同事威廉韋伯從事實(shí)驗(yàn)物理的研究。韋伯看出黎曼的科學(xué)天才，很快成為他的好朋友和顧問。第二年秋天，黎曼參加由韋伯、烏利治、斯特恩和利斯廷發(fā)起建立的數(shù)學(xué)物理班。他埋頭在實(shí)驗(yàn)室里觀察放電現(xiàn)象和靜電效應(yīng)，研究光環(huán)和氣體流動(dòng)，測定熱傳導(dǎo)系數(shù)，呈現(xiàn)在黎曼面前的物理世界是一個(gè)無比和諧而又緊密聯(lián)系的整體。許多現(xiàn)象根本無法用機(jī)械唯物論的哲學(xué)來解釋，而牛頓絕對的時(shí)空觀也顯得過于笨拙。他深切感到在研究工作中必須有正確的哲學(xué)思想作為指導(dǎo)。他開始熱心地參加各種哲學(xué)講座，來了解先輩們對于宇宙的見解。黎曼后來在談到自己的哲學(xué)心得時(shí)這樣說： “可以建立一套完全的嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論，它由單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的基本定律出發(fā)，發(fā)展到我們所知道的現(xiàn)實(shí)空間所發(fā)生的過程，這里沒有引力、電力、磁力和熱力的區(qū)別。 人們常常根據(jù)這一段話來推斷，黎曼在當(dāng)時(shí)實(shí)際上已經(jīng)反對物理學(xué)中“超距作用”那種古典理論而贊成現(xiàn)代流行的場論，因?yàn)樵趫稣撝?，諸如一個(gè)帶電質(zhì)點(diǎn)周圍空間的物理性質(zhì)正是數(shù)學(xué)研究的課題。 歷史上有不少大數(shù)學(xué)家寫過有關(guān)物理科學(xué)的論文可惜他們的理論常常同科學(xué)家實(shí)際觀察到的宇宙相去很遠(yuǎn)。黎曼比他們高明得多。他有一種敏銳的直覺，知道在物理上什么才是重要的。這種能力是從他大量的實(shí)驗(yàn)室工作和他同物理學(xué)家的頻繁接觸中獲得的。作為偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，黎曼和牛頓、高斯、愛因斯坦躋身于同一行列。他們都從直覺上知道數(shù)學(xué)的科學(xué)用途。黎曼深刻的物理思想對今天的物理學(xué)家來說是完全合情合理的；可是在當(dāng)時(shí)它顯得過于大膽而且玄妙，以致除了像高斯這樣有遠(yuǎn)見的大師，一般人都不能充分了解它的含義。直到愛因斯坦時(shí)代，才實(shí)現(xiàn)黎曼把宏觀的物理世界幾何化的夢想。 數(shù)學(xué)物理班的活動(dòng)占去黎曼大量的精力，不過，他沒有忘記自己的首要任務(wù)博士論文。朋友們都在期待著它的問世。有幾次，稿子眼看就要完成，又被他撕掉了重寫。為了一個(gè)式子、一個(gè)符號(hào)不必說，即使是一個(gè)標(biāo)點(diǎn)，他都要精心推敲。但是，盡管緩慢，進(jìn)展是確實(shí)的。到1851年秋天，具有歷史意義的博士論文終于完成了。博士論文 1851年11月的一天，金色的陽光鋪灑在格丁根天文臺(tái)高斯的書房里。黎曼的論文復(fù)變函數(shù)一般理論的基礎(chǔ)正端放在高斯的書桌上。冷靜的高斯今天顯得有點(diǎn)激動(dòng)。他一會(huì)兒把整個(gè)身子靠在安樂椅上，右手輕輕拍打著桌子，微仰著頭，閉起眼睛在沉思；一會(huì)兒推開椅子，在房間里踱來踱去。數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造真正能引起高斯由衷贊賞的為數(shù)并不多，而這篇字跡娟秀的博士論文無疑是其中之一。多少年來，在數(shù)學(xué)園地上難得見到有這樣使他贊嘆不已的杰作了。一位名叫黎曼的青年以他獨(dú)特的方式建立了整個(gè)復(fù)變函數(shù)理論，從而使他和柯西一起，作為這個(gè)重要數(shù)學(xué)分支的光榮創(chuàng)始者而載入史冊。這是創(chuàng)造思想的偉大成果，也是嚴(yán)格論證的典范。挑剔的高斯對論文反復(fù)看了兩遍，實(shí)在挑不出半點(diǎn)毛病，終于把論文一闔，輕輕地吐出一個(gè)字： “好!” 數(shù)學(xué)王子決定見一見論文的作者。 三天以后，一位長著大胡子的身材修長的青年來拜訪高斯。白發(fā)蒼蒼的高斯端詳著客人清秀的面龐和他羞澀的神情，心里已經(jīng)猜到幾分。青年紅著臉，輕輕地自我介紹說： “打擾您了。我是” 不等黎曼說完，高斯緊緊握住他的手說： “歡迎你，年輕人!” 在書房里，高斯又把黎曼從頭到腳細(xì)細(xì)地打量一番，并且高興地告訴他：他自己多年來一直在計(jì)劃寫這方面的論文，可是由于種種原因，沒有完成?，F(xiàn)在黎曼出色地實(shí)現(xiàn)了這個(gè)愿望。高斯興奮的樣子，就像論文是他自己寫的一樣。 第二天，在遞交格丁根大學(xué)教授會(huì)的正式報(bào)告中，高斯熱情洋溢地對論文作了評價(jià)： “黎曼先生提出的論文提供一個(gè)令人信服的證據(jù)，作者對所處理的主題的有關(guān)方面有透徹深刻的研究，同時(shí)證明，黎曼先生有一個(gè)創(chuàng)造性的、積極活躍的和真正數(shù)學(xué)的頭腦，并且具有極其豐富的首創(chuàng)精神。文章清晰簡潔，處處顯得十分優(yōu)美。大多數(shù)讀者可能希望，作者最好寫得更加詳盡些。整個(gè)論文是一項(xiàng)實(shí)質(zhì)性的工作，它不僅滿足標(biāo)準(zhǔn)的博士論文的要求，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了?！?這樣高度的贊譽(yù)出現(xiàn)在高斯的正式評價(jià)中，是絕無僅有的。在高斯的最后歲月中，黎曼成了他心目中傳奇式的形象。 一個(gè)月以后，黎曼的最后考試，包括論文的公開答辯，順利通過。黎曼滿心喜悅，對未來充滿希望。在給父親的信中，他這樣寫道： “我相信這篇論文已經(jīng)改善我的前景。我希望學(xué)習(xí)如何能寫得更快些和更流暢些，特別是如果我參加一些社交活動(dòng)和有機(jī)會(huì)講課的話。我的情緒很好?！?在信中，他還向父親解釋為什么沒有積極去爭取到格丁根天文臺(tái)當(dāng)一名助手，因?yàn)樗械?，取得大學(xué)教授資格的前景已經(jīng)不像以前那樣渺茫了。意外的挑選 但是，黎曼高興得太早了。攀登科學(xué)高峰的路徑他熟悉，對現(xiàn)實(shí)生活中的“門道”卻一竅不通。學(xué)術(shù)上取得一項(xiàng)成就并不意味著其他的困難都退避三舍。實(shí)際上，翹首期望的教授職位還在遙遠(yuǎn)的高處；僅僅為拿到私人教師的許可證，他還得奔走兩三年!當(dāng)年的高斯要幸運(yùn)些，他有斐迪南公爵的慷慨資助；而黎曼，只能靠不定期來聽課的為數(shù)寥寥的學(xué)生的學(xué)費(fèi)勉強(qiáng)維持生活。在艱苦的日子里，他著手準(zhǔn)備一篇題為關(guān)于利用三角級數(shù)表示一個(gè)函數(shù)的可能性的評職論文，爭取獲得大學(xué)講師資格。這篇論文把函數(shù)的概念從歐拉“徒手畫出的曲線”的框子中解放出來，給出今天稱為“黎曼積分”的定義，為積分學(xué)指明了方向。 1852年，狄利克雷來格丁根度假。他在當(dāng)時(shí)德國數(shù)學(xué)界的地位僅次于高斯。在柏林大學(xué)的時(shí)候，黎曼是狄利克雷的學(xué)生?？上Р簧平浑H的黎曼和這位老師并沒有任何私人交往。這一次，黎曼想利用這個(gè)難得的機(jī)會(huì)來征求他對論文初稿的意見。在朋友們的熱心安排下，這兩位高斯的繼承人在格丁根大學(xué)的會(huì)客室里正式見了面。 “第二天早晨，狄利克雷和我一起呆了兩個(gè)鐘頭，”黎曼寫信給父親，報(bào)告這次歷史性的會(huì)見，“他給我指出評職論文中所應(yīng)該注意的地方；看來我還得在圖書館里花許多時(shí)間來進(jìn)行艱苦的研究。狄利克雷非常友善地和我一起把我的論文看了一遍考慮到我們兩人之間的差距，這是我所不敢企望的。我希望他以后會(huì)記得我?！?狄利克雷的確不會(huì)忘記。黎曼的謙遜和智慧給他留下難忘的印象。后來，他作了許多努力來改善這位青年的處境。 在格丁根期間，狄利克雷約韋伯、黎曼等幾位朋友一起到郊外遠(yuǎn)足。白天，他們唱著歌，盡情地爬山，有時(shí)候到森林里采蘑菇。晚上，在古色古香的鄉(xiāng)村小旅店里，大家痛快淋漓地闡發(fā)自己的科學(xué)思想。有激烈的交鋒，也有深入的研討。從煙斗吐出的煙霧繚繞著飄忽不定的燭火，氣氛熱烈而歡愉。平時(shí)拘謹(jǐn)害羞的黎曼這時(shí)候簡直像換了一個(gè)人。他的說話是那樣機(jī)智明快，富于幽默感，不時(shí)激起朋友們的熱烈響應(yīng)和暢懷大笑。在無拘無束的討論中，他的才智得到最充分的發(fā)揮。后來，黎曼在給父親的信中說，這些看來和研究無關(guān)的活動(dòng)，有時(shí)候比整天坐著看書更有收獲。 黎曼對物理科學(xué)的興趣愈來愈大。對數(shù)學(xué)物理問題的緊張思考使他的評職論文一直到1853年底才完成。但是要正式任命為講師，按照規(guī)定還需要通過一次“演講”。他得提出3個(gè)演講題目供教授會(huì)挑選。有兩個(gè)題目黎曼早有準(zhǔn)備，可是，第三個(gè)題目幾何的基礎(chǔ)，他的研究還沒有最后完成。不過，他并不過于擔(dān)心。按照“慣例”，教授會(huì)一般只挑選第一個(gè)題目，因?yàn)榻淌趥冎肋@是演講人最拿手的題材。所以他決定把幾何的基礎(chǔ)填在最后，希望不致被選中。誰知道，這一次情況完全不同。幾何的基礎(chǔ)是高斯思索了60多年的心愛的課題。一看到黎曼交上來的題目單，高斯毫不猶豫地在第三個(gè)題目下面打了一個(gè)“”。他很想知道，這位“具有極其豐富的首創(chuàng)精神”的青年在這樣深刻的主題上持有什么樣的見解。心想或許“不至于”，不料偏偏“剛巧是”!黎曼懊喪萬分。命運(yùn)好像故意和他作對。為了取得講師的資格，他還得走一段艱巨的歷程!歷史性的演講 “既然得完成這個(gè)課題，就使我又一次陷于困境，”焦急的年輕人向父親訴苦說?！爱?dāng)演講的題目發(fā)給我的時(shí)候，我正沉醉在我的研究把所有的物理定律統(tǒng)一起來而無法擺脫?！?和高斯以及后來以愛因斯坦為代表的一代一代大物理學(xué)家一樣，黎曼對于把所有的物理定律統(tǒng)一起來的理論有莫大的興趣。黎曼發(fā)現(xiàn)，一向被認(rèn)為是毫不相干的電、磁、光和引力之間存在微妙的聯(lián)系。由于種種原因，首先是由于健康上的原因，黎曼沒有得到像麥克斯韋和愛因斯坦那樣最后的成果，但是，他的工作無疑對近代物理的發(fā)展產(chǎn)生巨大的影響。 黎曼面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。兩項(xiàng)極端困難的研究同時(shí)進(jìn)行。一面要完成演講的論文，一面正進(jìn)行著電、磁、光和引力之間聯(lián)系的緊張研究，并且作為韋伯的助手，要做大量的實(shí)驗(yàn)?？墒?，在生活上他仍舊一貧如洗。當(dāng)年的高斯在運(yùn)氣好的時(shí)候還能喝上一兩杯加糖的咖啡；那么對黎曼來說，白開水就是他惟一的飲料?？茖W(xué)的歷史告訴我們，人類思想的許多偉大成果正是從白開水加面包中釀制出來的。這大概有一個(gè)好處：節(jié)省時(shí)間。黎曼把自己關(guān)在房間里，好幾個(gè)星期不露面。在他的書桌上，除了書籍和草稿，就是一杯白開水和幾片干面包。為了怕受涼，他買不起帽子，就用一塊舊布把頭裹起來。天黑下來，點(diǎn)上一支蠟燭；實(shí)在困乏了，就靠在椅子上打一個(gè)盹；餓啦，就著白開水塞進(jìn)兩片面包。在這里，沒有白天和黑夜的區(qū)別，工作連續(xù)進(jìn)行。 誰也不能指望這樣不顧一切地工作而不受懲罰。高燒，咳嗽，頭疼欲裂，他病倒了!后來在日記里，黎曼有這樣的記載： “部分是由于我長時(shí)間緊張的思考，部分是由于我在這種天氣里在屋子里呆的時(shí)間過長，我終于病了。我的老毛病開始發(fā)作，而且極其頑固。我無法繼續(xù)工作。直到幾個(gè)星期以后，天氣好轉(zhuǎn)，參加一些社交活動(dòng)，我才開始感到稍微好一些?！?復(fù)活節(jié)后兩星期，黎曼病體康復(fù)。他立即投入工作。經(jīng)過幾個(gè)星期的奮戰(zhàn)，在圣靈降臨節(jié)前夕，具有歷史意義的演講稿完成了! 可是，好事多磨。要確定演講的日期又遇到麻煩。演講會(huì)的主持人高斯突然病重!大家擔(dān)心他可能活不了幾天。幸好經(jīng)過醫(yī)生搶救，高斯又一次奇跡般地戰(zhàn)勝了死神。高斯打算把演講安排在8月份舉行，因?yàn)榻】档幕謴?fù)需要一段時(shí)間?？墒切那榻辜钡睦杪埱笏麩o論如何不要把演講拖到秋天。高斯理解青年的心情。他不顧自己身體的虛弱，在圣靈降臨節(jié)后的星期五通知黎曼，演講在第二天上午11點(diǎn)舉行。 黎曼沒有使高斯失望。更確切地說，黎曼的演講大大出乎高斯的意料。演講一結(jié)束，會(huì)場響起一片熱烈的掌聲，來慶祝黎曼幾何的誕生。從教授會(huì)出來，年邁的高斯抑制不住內(nèi)心的激動(dòng)，一路上大聲地向威廉韋伯說明自己對黎曼提出的思想的最高評價(jià)。對高斯來說，這樣的熱情實(shí)在是罕見的。黎曼的演講比任何藥物更加有效地使高斯恢復(fù)健康。 為了使不大懂?dāng)?shù)學(xué)的聽眾也能聽懂，黎曼煞費(fèi)了苦心。但是，應(yīng)該說，在1854年的原稿中，黎曼的幾何思想表達(dá)得還不十分清晰。這一方面是因?yàn)樗麤]有利用任何分析的技巧，同時(shí)也與文章開頭部分的哲學(xué)議論有關(guān)。1868年，黎曼逝世以后第二年，這次歷史性的演講以關(guān)于作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)為題正式出版，立刻在數(shù)學(xué)界激起巨大的反響。世界各國的數(shù)學(xué)家紛紛爭先恐后地來充實(shí)和推廣黎曼所概述的革命性的思想。為迎接相對論誕生所必需的數(shù)學(xué)工具準(zhǔn)備就緒了!黎曼幾何 黎曼以前的幾何學(xué)家是把空間作為一個(gè)整體來研究的。無論在歐幾里得幾何還是羅巴切夫斯基的非歐幾何，都是在整個(gè)空間中先確定有哪幾條公理成立，然后從這些公理出發(fā)，推導(dǎo)出其余的命題。根據(jù)所選的公理不同，就形成不同的幾何體系。這樣，就十分自然地提出一個(gè)問題：這些公理是根據(jù)什么來選取的呢?如果回顧一下歷史上對歐幾里得平行公理的長期爭論，問題的實(shí)質(zhì)就是，在物理空間中，究竟什么是我們可以確信的。至于一向被信奉為神圣的“永恒的真理”的歐幾里得公理，在黎曼看來，與其說它是不證自明的，不如說是經(jīng)驗(yàn)性的。實(shí)際上，它只符合于一張薄紙上那種小范圍的實(shí)驗(yàn)，而且連紙面上的皺折和紙的邊緣部分也不適用。黎曼還認(rèn)識(shí)到，在幾何證明里，由于感覺上的原因，我們可能會(huì)不自覺地假定一些類似歐幾里得平行公理那樣不是顯然可以接受的事實(shí)，譬如說，認(rèn)為存在一個(gè)直線三角形，它的面積大于任何給定的面積等等。因此，黎曼決定采用一種截然相反的途徑來研究空間：從研究空間的局部性質(zhì)入手，利用分析方法而不是幾何的方法來推導(dǎo)出一切必然的結(jié)論。 高斯在具有劃時(shí)代意義的關(guān)于曲面的一般研究中提出了一個(gè)全新的概念：一張曲面本身就是一個(gè)空間。不過他當(dāng)時(shí)考慮的只是三維空間。黎曼把這個(gè)概念推廣到n維空間。在古典的解析幾何中，平面上的坐標(biāo)是兩個(gè)數(shù)(x1，x2)，它代表著平面上的一個(gè)點(diǎn)；立體中的坐標(biāo)是三個(gè)數(shù)(x1，x2 ,x3)，它代表著三維空間中的一個(gè)點(diǎn)?，F(xiàn)在，黎曼把有序的n個(gè)數(shù)(x1，x2 ,xn)看做是n維空間(黎曼稱它為n維流形)的坐標(biāo)，它代表著n維流形上的一個(gè)點(diǎn)。所有這些可能的點(diǎn)的集合就構(gòu)成n維流形本身。當(dāng)這n個(gè)數(shù)連續(xù)變化的時(shí)候，對應(yīng)的點(diǎn)就遍歷這個(gè)流形。 黎曼認(rèn)為，要判定空間(流形)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于兩點(diǎn)間的距離。從甲地到乙地，隨著它們之間地形的不同，所走的路程是不同的。平面上兩點(diǎn)的距離是直線距離；球面上兩點(diǎn)的距離就是大圓的劣弧長了。因此，黎曼首先定義在n維流形上無限接近的兩點(diǎn)間的距離。只要定義距離公式中的系數(shù)一確定，“空間”就確定了?？臻g中相鄰兩點(diǎn)間的距離用這種方式來定義的就稱為黎曼空間。 黎曼的演講使幾何的思想發(fā)生根本的變化。他澄清了人們關(guān)于 空間的概念，至少是澄清了數(shù)學(xué)家們所研究的“空間”的概念。對 現(xiàn)代數(shù)學(xué)家來說，空間不是別的， 它是某一類有序的n個(gè)數(shù)(x1，x2 ,xn)的集合所構(gòu)成的流形，數(shù)學(xué)研究的對象就是流形。如果說羅巴切夫斯基建立非歐幾何的時(shí)候，還只是一種邏輯上的推斷， 并不了解它所反映的空間形式是不是實(shí)際存在，那么， 對黎曼來說， 情況就完全不同。黎曼的研究表明，把某一種幾何或某一種空間看 做是我們感知的惟一的空間模式，是錯(cuò)誤的。實(shí)際上存在數(shù)目無限 的空間和幾何，它們可以分別應(yīng)用于古典力學(xué)、相對論、規(guī)范場論等特殊的物理對象。和當(dāng)時(shí)的絕大多數(shù)幾何學(xué)家不同，黎曼從大量的物理研究中認(rèn)識(shí)到，離開物質(zhì)的空間是不存在的。要了解物理空間的真理，必須把物質(zhì)和空間聯(lián)系起來。這個(gè)思路自然就引導(dǎo)到相對論。由于物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)隨著時(shí)間而變化，因此，空間的形式也隨著時(shí)間在變化著。在這里，通常的歐幾里得幾何法則是不成立的。 黎曼的演講使微分幾何發(fā)生一場革命。整個(gè)幾何從此呈現(xiàn)出全新的面貌。絕對空間的概念失去了最后的領(lǐng)地。統(tǒng)治著19世紀(jì)物理學(xué)的“絕對觀念”的喪鐘敲響了!為了人類的幸福 評職演講順利通過，黎曼正式被任命為講師。1854年10月9日，他在給姐姐伊達(dá)的信中欣喜地談到第一次大學(xué)講課的成功：本來以為只有兩三個(gè)學(xué)生來聽課，結(jié)果居然來了8個(gè)!他還寫信給父親談到自己的進(jìn)步： “我能夠正常地上課了。上課剛開始時(shí)的羞怯和拘束愈來愈少。我已經(jīng)習(xí)慣于更多地想到學(xué)生而不是自己。從他們的表情中我可以看出，應(yīng)該繼續(xù)講下去呢還是需要把問題作進(jìn)一步的闡明?！?第二年高斯病逝。狄利克雷繼承高斯成為格丁根大學(xué)數(shù)學(xué)教授。黎曼的朋友們敦促學(xué)校當(dāng)局提升黎曼為副教授。但是學(xué)校的財(cái)政有困難。不過最后總算同意支付他相當(dāng)于一年40英鎊的固定薪金，這比不固定的三四個(gè)自動(dòng)來聽課的學(xué)生的酬金要稍好些。不久，操勞一生的父親和妹妹克拉拉先后病故。黎曼的3個(gè)姐妹從魁克彭搬到不來梅和弟弟住在一起。弟弟是當(dāng)?shù)剜]政局的職員，他的收入比兩袖清風(fēng)的數(shù)學(xué)家優(yōu)厚得多。 貧困和不幸沉重地壓在黎曼的身上。但是，只要有最低的生活條件，他就不會(huì)被絕望所擊倒。純粹數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理方面大量開創(chuàng)性的工作帶給他無限的幸福和歡樂。對萊頓瓶的放電現(xiàn)象、諾比利色環(huán)和電動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)研究耗費(fèi)了他大量的精力；長期通宵達(dá)旦的緊張工作使他贏得阿貝爾函數(shù)、超幾何級數(shù)和微分方程等領(lǐng)域的重大進(jìn)展。 1857年，黎曼終于當(dāng)上了副教授。他的薪金提高到一年60鎊?？墒牵€沒有等他喘上一口氣，災(zāi)難又一次降臨：弟弟因病猝然去世。贍養(yǎng)3個(gè)姐妹的擔(dān)子一下子落到黎曼的肩上。面對這么一道簡單的算術(shù)題，連黎曼這樣的大數(shù)學(xué)家也一籌莫展。算來算去，一個(gè)月的生活費(fèi)每人只能攤到1鎊5先令! 工作上過度的勞累和營養(yǎng)嚴(yán)重不良大大損害了黎曼的健康。不過，豐富的食物固然誘人，真誠的親情更是無價(jià)之寶。眼看著黎曼一天天消瘦下去，姐妹們焦急萬分。雖然他們自己常常餓得頭昏眼花，姐妹們餓著肚子給黎曼買來雞蛋和牛奶。這當(dāng)然不能長期瞞著黎曼而不被發(fā)覺。他只好用“絕食”來制止姐妹們的自我犧牲。家里的生活雖然貧困，大家卻毫不憂傷。姐姐伊達(dá)充滿感情的朗誦和妹妹海倫夜鶯般的歌聲使全家洋溢著和諧歡悅的氣氛。姐妹們的無私關(guān)懷和熱情鼓勵(lì)給黎曼增添了巨大的力量和信心。 1859年，狄利克雷逝世。他生前曾經(jīng)大力幫助過奮斗中的黎曼，并且高度贊揚(yáng)他的工作。狄利克雷的評價(jià)和黎曼急速上升的聲望促使政府提升黎曼為格丁根大學(xué)的