談數(shù)與形的結(jié)合——中小學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)藏著的數(shù)形結(jié)合思想.doc

談數(shù)與形的結(jié)合中小學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)藏著的數(shù)形結(jié)合思想摘要 數(shù)形結(jié)合，是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種方法，它能使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的事物直觀化，教師講解容易，學(xué)生也易于理解。數(shù)形結(jié)合有利于數(shù)感的培養(yǎng)，有利于算理的講解，有利于思維的培養(yǎng)，有利于空間觀念的形成。本文揭示了在小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)感，算術(shù)，思維和三維模型與初中數(shù)學(xué)的有理數(shù)、應(yīng)用題、不等式、函數(shù)及其圖象、統(tǒng)計(jì)初步、平面幾何內(nèi)容中所蘊(yùn)藏著的數(shù)形結(jié)合思想。 關(guān)鍵詞數(shù)形結(jié)合 數(shù)感算理 思維 空間觀念談數(shù)與形的結(jié)合中小學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)藏著的數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)學(xué)家華羅庚說得好:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”.數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)有兩條線：一條是明線，即數(shù)學(xué)知識(shí)；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想方法。隨著新課程改革全面展開,各門課程的教材都發(fā)生著巨大的改變。面對改頭換面的數(shù)學(xué)新教材,我們發(fā)現(xiàn)章節(jié)順序變了,知識(shí)點(diǎn)重新整合了，書也變漂亮了,圖形變多了， 以前的數(shù)學(xué)課程被分為“代數(shù)”和”幾何”兩本教材來講授,而現(xiàn)在合二為一,且教學(xué)中幾何圖形所占的比重有所增加?！按鷶?shù)”主要研究數(shù)據(jù)的計(jì)算與處理, “幾何”主要研究圖形的位置、大小等特性, “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)側(cè)面,它們互相滲透，相互轉(zhuǎn)化,使得以代數(shù)法研究幾何,以幾何法研究代數(shù)成為可能?！皵?shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)的重要思想之一,也是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。若能把“數(shù)”與“形”很好的結(jié)合起來,那么一些看似復(fù)雜的問題會(huì)迎刃而解。掌握了此方法也會(huì)使解題手段從“單一”走向“靈活”,體會(huì)到數(shù)學(xué)之美，從而感嘆數(shù)學(xué)之精妙。青少年生活在社會(huì)和物質(zhì)的世界中，周圍環(huán)境中形形色色的物體均表現(xiàn)為一定的數(shù)量、形式，并以一定的空間形式存在著。從青少年心理學(xué)分析，他們善于運(yùn)用直覺形象思維來解決問題，數(shù)學(xué)抽象思維是建立在大量的已知的形象思維的基礎(chǔ)上而形成的。翻開新課程數(shù)學(xué)教材，一道道解決問題的應(yīng)用題里的一組組對話，運(yùn)用了漫畫的小人書表現(xiàn)形式來表達(dá)，無論學(xué)生會(huì)不會(huì)解答，他們都把它當(dāng)作好看的小人書來研究一番，這比老教材的單純應(yīng)用題能更吸引學(xué)生，這是一大進(jìn)步。有了象漫畫一樣的解決問題的應(yīng)用題學(xué)生也來興趣了，解答時(shí)研究的印象也深刻了，更能接受老師、同伴的解決思路。數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)研究對象的數(shù)學(xué)特征、尋找解決問題的方法的一種重要數(shù)學(xué)思想，著重借助圖形來解題，以其直觀、形象、簡捷的形式來吸引學(xué)生。數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)即通過數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過理想化抽象的方法，轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膱D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題。在新課程的數(shù)學(xué)教學(xué)中， 數(shù)形結(jié)合的作用非常大，可以說是數(shù)學(xué)課堂中必不可少的教學(xué)手段。如何把解決問題的應(yīng)用題解決方法進(jìn)一步提煉成簡單易懂的，直觀的數(shù)形形式呢？這就要求結(jié)合數(shù)形圖來分析。一、數(shù)形結(jié)合突出了數(shù)感的建立數(shù)是抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，形是具體實(shí)物、圖形、模型、學(xué)具。數(shù)和形是緊密聯(lián)系的。數(shù)形對應(yīng)是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，這種意識(shí)的養(yǎng)成主要是通過新授課階段的學(xué)習(xí)逐步領(lǐng)悟和掌握的。學(xué)生只有先從形的方面進(jìn)行形象思維，通過觀察、操作，進(jìn)行比較、分析，在感性材料基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象，才能獲得數(shù)的知識(shí)。所以在低年級(jí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是常用的手段之一，因?yàn)樗苡行У貫楹翢o數(shù)字概念的孩子建立數(shù)感。一般認(rèn)為20以內(nèi)甚至100以內(nèi)的數(shù)學(xué)生大多會(huì)讀會(huì)寫，因此往往忽視教學(xué)過程中的動(dòng)手操作。事實(shí)上，操作恰恰是生成數(shù)感的有效途徑。例如在教學(xué)20的認(rèn)識(shí)時(shí)，教師既要演示又要請學(xué)生親自動(dòng)手用擺小棒的方法從11數(shù)到19，然后用稍稍緩慢的動(dòng)作清楚地演示出19根小棒添上1根是1捆加十個(gè)1個(gè)，再將10個(gè)1根捆成1捆，這樣就是2捆，即2個(gè)10根，也就是20根。這樣的過程使學(xué)生清楚地感受到20是在19的基礎(chǔ)上添上1生成的，這對后面30、40、50等整十?dāng)?shù)的認(rèn)識(shí)有很強(qiáng)的提示作用。而100的認(rèn)識(shí)更要讓學(xué)生通過數(shù)小棒經(jīng)歷99添上1就是10個(gè)十，10個(gè)十是1個(gè)百即100的生成過程，從而體會(huì)兩位數(shù)向三位數(shù)的變化，明白數(shù)位的順序及各數(shù)位的價(jià)值。物和數(shù)的對應(yīng)加深了學(xué)生對數(shù)的理解，突出了學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。二、數(shù)形結(jié)合突出算理講解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)與圖形的結(jié)合，能加深學(xué)生對知識(shí)的理解，能有效防止學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“一知半解”,防止出現(xiàn)“隔靴搔癢”的教學(xué)現(xiàn)象。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，是解決問題過程中的一種策略，是數(shù)學(xué)規(guī)律性、靈活性的融合。教師應(yīng)幫助學(xué)生通過具體問題的解決，歸納出知識(shí)的系統(tǒng)性和規(guī)律性，并在此基礎(chǔ)上拓寬延展，使學(xué)生的思維能力不滯留在某一局部上而是獲得更長足的發(fā)展，讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)有序的良好的知識(shí)組塊，增強(qiáng)了建構(gòu)功能。例如在學(xué)生學(xué)習(xí)“乘法的意義”時(shí)，因?yàn)橥灰饬x可以表示兩種乘法算式，而同一算式有兩種不同含義，如果在教學(xué)過程中，不注意數(shù)形結(jié)合，學(xué)生對乘法意義的理解往往處于“一知半解”狀態(tài)。如一共有多少個(gè)五角星？在看圖的基礎(chǔ)上，學(xué)生能理解：橫看，得到555，可以表示成53或35，豎看，得到33333，可以表示成35或53。但是，如果問學(xué)生：35、53表示什么？如果在學(xué)生表達(dá)乘法意義時(shí)，不結(jié)合圖形，學(xué)生會(huì)含糊地表述35既表示3個(gè)5連加，也表示5個(gè)3連加。但實(shí)際上3個(gè)5連加和5個(gè)3連加是不一樣的意義，所以，此時(shí)老師應(yīng)強(qiáng)調(diào)結(jié)合圖形看，3個(gè)5連加應(yīng)怎樣看?(橫看)5個(gè)3連加又應(yīng)該怎樣看？（豎看）說說相同加數(shù)是多少？幾個(gè)這樣的相同加數(shù)？通過數(shù)與形的一一對應(yīng)，來加強(qiáng)學(xué)生對乘法算式所表達(dá)意義的理解，加強(qiáng)算理的教學(xué)。三、數(shù)形結(jié)合突出了思維訓(xùn)練。在具體實(shí)施“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，我們常常是由“形”觀察“數(shù)”，由“數(shù)”構(gòu)造出“形”，這中間的“觀察”與“構(gòu)造”并未進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思索，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，幫助我們復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。在教學(xué)中，把數(shù)和形結(jié)合起來分析，引導(dǎo)學(xué)生既從數(shù)的方面用分析的方法進(jìn)行抽象思維，又從形的方面進(jìn)行整體思考，通過類比、聯(lián)想、想像進(jìn)行形象思維，能達(dá)到思維訓(xùn)練的要求。例如百分?jǐn)?shù)應(yīng)用涂教學(xué)，參加乒乓球興趣小組的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，這時(shí)男生占總?cè)藬?shù)的2/3。問后來又加入男生多少人？先把題中的數(shù)量關(guān)系譯成圖形，再從圖形的觀察分析可譯成：若把原來的總?cè)藬?shù)80人看作5份，則男生占3份，女生占2份，因而推知現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)為6份，加入的男生為65=1份，得加入的男生為805=16（人），從這題不難看出：“數(shù)”、“形”互譯的過程。既是解題過程，又是學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同運(yùn)用、互相促進(jìn)、共同發(fā)展的過程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使解法變得十分簡明扼要而巧妙。四、數(shù)形結(jié)合突出了三維模型的建立。 為了使數(shù)學(xué)上的奇異美、對稱美、和諧美、內(nèi)容美在圖形上的體現(xiàn)更為直觀、更為動(dòng)人，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合能不斷培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣，提高審美意識(shí)和鑒賞力，有利于空間觀念的建立?？臻g觀念是物體的形狀、大小、長短和互相位置關(guān)系的表象，要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，教學(xué)時(shí)就一定要聯(lián)系實(shí)際，讓學(xué)生看到具體的形。例如在教學(xué)長度單位的認(rèn)識(shí)時(shí)，使學(xué)生獲得長度單位1厘米的表象，學(xué)生要先用直尺量圖釘、手指，1厘米大約是1只圖釘長，食指的寬大約是1厘米；要使學(xué)生獲得面積單位1平方厘米的表象，就讓學(xué)生先用邊長是1厘米的正方形量一量大拇指的指面，大拇指的指面大小大約是1平方厘米，通過這樣在實(shí)際中量一量，比一比，1厘米的長短，1平方厘米的大小就在學(xué)生大腦中留下了表象，形成了空間觀念。九年制義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中也把數(shù)學(xué)的精髓數(shù)學(xué)思想方法納入了基礎(chǔ)知識(shí)的范疇，這是加強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一項(xiàng)創(chuàng)舉。數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，是知識(shí)的精髓，又是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，用好了就是能力。因此我們在教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透、概括和總結(jié)，要重視數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用。 數(shù)形結(jié)合的思想方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)和形是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中兩大基礎(chǔ)概念，把刻劃數(shù)量關(guān)系的數(shù)和具體直觀的圖形有機(jī)結(jié)合，將抽象思維與形象思維有機(jī)結(jié)合，根據(jù)研討問題的需要，把數(shù)量關(guān)系的比較轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)或其位置關(guān)系的討論，或把圖形間的待定關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)元素的數(shù)量計(jì)算，即數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)換、相互作用，進(jìn)而探求問題的解答就是數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想方法能揚(yáng)數(shù)之長、取形之優(yōu)，使得“數(shù)量關(guān)系”與“空間形式”珠連壁合，相映生輝。 一、有理數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)軸的引入是有理數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的力量源泉。由于對每一個(gè)有理數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點(diǎn)與它對應(yīng)，因此，兩個(gè)有理數(shù)大小的比較，是通過這兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行的（實(shí)數(shù)的大小比較也是如此）。相反數(shù)、絕對值概念則是通過相應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系來刻劃的。盡管我們學(xué)習(xí)的是（有理）數(shù)，但要時(shí)刻牢記它的形（數(shù)軸上的點(diǎn)），通過滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，幫助初一學(xué)生正確理解有理數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算法則。 二、應(yīng)用題內(nèi)容隱含的數(shù)形結(jié)合思想 列方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)是如何根據(jù)題意尋找等量關(guān)系布列方程，要突破這一難點(diǎn)，往往就要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖。這里隱含著數(shù)形結(jié)合的思想方法。例如，九義教材代數(shù)第一冊（上）的“4.4 一元一次方程的應(yīng)用”內(nèi)容中的例3（行程問題）、例4（追擊問題）、例5（勞動(dòng)力調(diào)配問題）、例6（工程問題）、例7（濃度問題），教學(xué)中,老師必須滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，依據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖，才能幫助初一學(xué)生迅速找出等量關(guān)系列出方程，從而突破難點(diǎn)。三、不等式內(nèi)容蘊(yùn)藏著數(shù)形結(jié)合思想 九義代數(shù)第一冊（下）第六章內(nèi)容是“一元一次不等式和一元一次不等式組”，教學(xué)時(shí)，為了加深初一學(xué)生對不等式解集的理解，老師要適時(shí)地把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來，使學(xué)生形象地看到，不等式有無限多個(gè)解。這里蘊(yùn)藏著數(shù)形結(jié)合的思想方法。在數(shù)軸上表示數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)，而在數(shù)軸上表示數(shù)集，則比在數(shù)軸上表示數(shù)又前進(jìn)了一步。確定一元一次不等式組的解集時(shí)，利用數(shù)軸更為有效。四、函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合思想 由于在直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(x , y)與點(diǎn)P的一一對應(yīng)，使函數(shù)與其圖象的數(shù)形結(jié)合成為必然。一個(gè)函數(shù)可以用圖形來表示，而借助這個(gè)圖形又可以直觀地分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點(diǎn)，這為數(shù)學(xué)的研究與應(yīng)用提供了很大的幫助。因此，函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法。教學(xué)時(shí)老師若注重了數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，將會(huì)收到事半功倍的效果。五、幾何圖形的拼接體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想初三教學(xué)中增加了新的一節(jié)內(nèi)容,看似幾何圖形的拼接問題,但它的基礎(chǔ)卻是計(jì)算。由一種正多邊形的內(nèi)角是否360 的約數(shù),否則不能鑲嵌。而當(dāng)兩種或三種不同的正多邊形鑲嵌時(shí),由于不同圖形的內(nèi)角的不同以及數(shù)量比的可變性。計(jì)算就更不可少了,如兩種正多邊形鑲嵌時(shí),需要計(jì)算若干個(gè)兩種不同的內(nèi)角能否湊成360 。有了計(jì)算為基礎(chǔ),我們才能通過畫圖或拼圖得到美麗的鑲嵌圖案。而且同一個(gè)計(jì)算結(jié)果,由于不同正多邊形的位置不同,得到的圖案可不一定相同?？傊?，在新課程的解決問題的編排中，我看到了數(shù)形結(jié)合教學(xué)的重要性，數(shù)形結(jié)合能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧希梢詫⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利的、高效率的學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā)、能力的增強(qiáng)，使教學(xué)收到事半功倍之效。參考文獻(xiàn)：1李秉德，李定仁，教學(xué)論，人民教育出版社，1991。2吳文侃，比較教學(xué)論，人民教育出版社，19993羅增儒，李文銘，數(shù)學(xué)教學(xué)論，陜西師范大學(xué)出版社，2003。4張奠宙，李士 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