高中數(shù)學(xué) 1．21.2.2 空間兩條直線的位置關(guān)系課件 蘇教版必修2.ppt

第1章立體幾何初步1 2點(diǎn) 線 面之間的位置關(guān)系1 2 2空間兩條直線的位置關(guān)系 欄目鏈接 在天安門廣場上 旗桿所在的直線與長安街所在的直線 它們既不相交 也不平行 它們具有怎樣的位置關(guān)系呢 旗桿與天安門廣場 天安門廣場與地面又有怎樣的位置關(guān)系呢 欄目鏈接 欄目鏈接 1 理解異面直線的概念 畫法2 理解并掌握公理4 等角原理3 理解異面直線所成角的概念 會(huì)求異面直線所成角 欄目鏈接 欄目鏈接 1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系 相交直線 同一平面內(nèi) 平行直線 同一平面內(nèi) 公共點(diǎn) 異面直線 在任何一個(gè)平面內(nèi) 沒有公共點(diǎn) 和 統(tǒng)稱為共面直線 2 公理4 文字語言 的兩條直線互相平行 符號語言 設(shè)a b c是三條直線 a b c b 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 沒有 不同 相交直線 平行直線 平行于同一條直線 a c 欄目鏈接 3 空間中的等角定理 空間中 如果兩個(gè)角的兩邊 并且 那么這兩個(gè)角 4 異面直線所成的角 已知異面直線a b 經(jīng)過空間中任一點(diǎn)o作直線a a b b 我們把a(bǔ) 與b 所成的 叫異面直線a與b所成的角 夾角 分別對應(yīng)平行 方向相同 相等 銳角 或直角 欄目鏈接 欄目鏈接 一 空間兩條直線的位置關(guān)系 1 共面 空間的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線 如果都在同一平面內(nèi) 我們就說它們共面 共面的兩條直線位置關(guān)系又分平行和相交兩種 2 異面直線 把既不相交也不平行的直線叫做異面直線 異面直線判定方法 與一平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線 欄目鏈接 空間的兩條直線的位置關(guān)系的判定是以平面的基本性質(zhì)和推論為重要依據(jù)的 位置關(guān)系的表示則是通過相關(guān)符號語言實(shí)現(xiàn)的 以下幾種常用的符號語言同學(xué)們要記牢 點(diǎn)a在直線b上 記作a b 點(diǎn)b不在直線b上 記作 b b 點(diǎn)b在平面 內(nèi) 記作b 點(diǎn)b不在平面 內(nèi) 記作 b 直線a在平面 內(nèi) 記作a 直線a不在平面 內(nèi) 記作a 欄目鏈接 二 公理4 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 用符號語言表示為 設(shè)a b c是三條直線 a b c b a c 公理4將平面內(nèi)兩條直線平行的傳遞性推廣到了空間中 是證明線線平行的重要依據(jù)之一 但要注意 并不是所有平面內(nèi)的結(jié)論都能推廣到空間中來 欄目鏈接 三 等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行并且方向相同 那么這兩個(gè)角相等 等角定理的實(shí)質(zhì)是空間中角的平移 在應(yīng)用時(shí)我們需要注意以下兩個(gè)結(jié)論的區(qū)別 如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊且兩邊的方向分別相同 那么這兩個(gè)角相等 如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊且有一組邊的方向相同 另一組邊的方向相反 那么這兩個(gè)角互補(bǔ) 其中 角的兩邊分別平行 這個(gè)條件要特別注意 謹(jǐn)記等角定理的逆命題不成立 欄目鏈接 四 異面直線所成的角 已知異面直線a b 經(jīng)過空間中任一點(diǎn)o作直線a a b b 我們把a(bǔ) 與b 所成的銳角 或直角 叫做異面直線a與b所成的角 夾角 求異面直線所成角的一般步驟是 根據(jù)定義作出或找出兩異面直線所成的角 使該角為某個(gè)三角形的內(nèi)角 解這個(gè)三角形求角 其中通過平移法作出其所成角是關(guān)鍵 解答相關(guān)題目時(shí)要謹(jǐn)記異面直線所成角的取值范圍 千萬不要把相交直線所成的鈍角作為異面直線所成的角 若求出的是鈍角 應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角 欄目鏈接 欄目鏈接 題型1異面直線的判斷與證明 例1如右圖 在空間四邊形abcp中 連接ac pb d e是pc上不重合的兩點(diǎn) f h分別是pa pb上的點(diǎn) 且與點(diǎn)p不重合 求證 ef和dh是異面直線 欄目鏈接 分析 根據(jù)兩直線異面的定義 要直接證明兩直線異面是比較困難的 因而往往從問題的反面入手 即采用反證法 當(dāng)然 還可以直接使用異面直線的判定定理 過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線 和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線 而進(jìn)行直接的證明 欄目鏈接 解析 方法一假設(shè)ef dh不是異面直線 則由兩直線的位置關(guān)系知 它們必在同一個(gè)平面 內(nèi) e d ed 即pc p c 又 h ph b ph b 同理 由f 可得 a 由此可知 p a b c四點(diǎn)都在平面 內(nèi) 這與四點(diǎn)是空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)相矛盾 故假設(shè)不成立 于是ef與dh是異面直線 欄目鏈接 方法二 pa pc p pa pc確定一個(gè)平面 不妨記平面為 e pc f pa e f ef d pc d 且d ef pb p h pb h ef與dh是異面直線 欄目鏈接 規(guī)律總結(jié) 1 異面直線的判定方法一般有兩種 利用異面直線的判定定理 反證法 2 證明兩直線異面 一般要從定義出發(fā) 由于定義是一個(gè)否定形式的命題 因而常用反證法 反證法也是常用的一種重要的思維方式和數(shù)學(xué)方法 它在立體幾何中有著廣泛的應(yīng)用 反證法的一般步驟為 反設(shè) 即作出與命題結(jié)論相反的假設(shè) 欄目鏈接 歸繆 以所作的假設(shè)為依據(jù) 通過嚴(yán)格的邏輯推理 導(dǎo)出矛盾 結(jié)論 判斷產(chǎn)生矛盾的原因在于所作的假設(shè)是錯(cuò)誤的 因而原命題正確 導(dǎo)出邏輯矛盾時(shí)常出現(xiàn)以下幾種情形 欄目鏈接 與定義 公理 定理 推論及性質(zhì)等的矛盾 與已知條件的矛盾 與假設(shè)的矛盾 自相矛盾 欄目鏈接 變式訓(xùn)練 1 如右圖所示 已知不共面的三條直線a b c相交于點(diǎn)p a a b a c b d c 求證 ad與bc是異面直線 欄目鏈接 變式訓(xùn)練 證明 反證法 假設(shè)ad與bc共面 所確定的平面為 那么點(diǎn)p a b c d都在平面 內(nèi) 直線a b c都在平面 內(nèi) 此與已知條件a b c不共面相矛盾 ad和bc是異面直線 欄目鏈接 題型2求異面直線所成的角 例2如右圖所示 在正方體abcda1b1c1d1中 求 1 異面直線ab與a1d1所成的夾角 2 ad1與dc1所成的夾角 分析 依據(jù)異面直線所成的角 或夾角 的定義來求 欄目鏈接 解析 1 a1b1 ab 而a1d1 a1b1 a1d1 ab ab與a1d1所成的夾角為90 2 連接ab1 b1d1 ab1 dc1 ab1與ad1所成夾角即為dc1與ad1所成的夾角 又ad1 ab1 b1d1 ab1d1為正三角形 欄目鏈接 ad1與ab1所成夾角為60 ad1與dc1所成夾角為60 規(guī)律總結(jié) 1 求異面直線所成的角就是要通過平移轉(zhuǎn)化的方法將異面直線所成角轉(zhuǎn)化成同一平面內(nèi)的直線所成的角 放到同一三角形中求解 2 要多角度地平移 不能局限于一個(gè)平面 欄目鏈接 變式訓(xùn)練 2 如右下圖 空間四邊形abcd中 e f分別是對角線bd ac的中點(diǎn) 若bc ad 2ef 求直線ef與直線ad所成的角及直線ef與直線bc所成的角 欄目鏈接 變式訓(xùn)練 解析 因?yàn)閑是bd中點(diǎn) f是ac中點(diǎn) 故聯(lián)想三角形中位線定理 取cd中點(diǎn)g 將ad平移至fg 故ef與fg所成的角 efg 就是平面直線ef與ad所成的角 由bc ad 2ef 得ef eg fg 所以 efg為正三角形 所以 efg 60 即ef與ad所成的角為60 同理ef與bc所成角也為60 欄目鏈接 題型3平行公理的應(yīng)用 例3如右圖 空間四邊形abcd中 e f g h分別是ab bc cd da的中點(diǎn) 且ac與bd所成的角為90 求證 四邊形efgh是矩形 欄目鏈接 欄目鏈接 又 e f分別為ab bc的中點(diǎn) ef ac 又fg bd efg為ac與bd所成的角 而ac與bd所成的角為90 efg 90 又 四邊形efgh為平行四邊形 故四邊形efgh為矩形 規(guī)律總結(jié) 平行公理的本質(zhì)是線線平行的