小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題.doc

【問題提出】A11自然數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義與在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的說明有什么不同？ 【釋問參考】 最先給出自然數(shù)純邏輯定義的是德國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家弗雷格和英國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家羅素，他們將每個(gè)自然數(shù)定義為“可以建立一一對應(yīng)的所有的有限集組成的集”這一定義被成為“弗雷格羅素的自然數(shù)定義”。為了建立自然數(shù)公理化體系，意大利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家G.皮亞諾在1891年給出了關(guān)于自然數(shù)的五條公理：10是一個(gè)自然數(shù)；20不是任何其他自然數(shù)和后續(xù)；3每一個(gè)自然數(shù)a都有一個(gè)后續(xù)；4如果自然數(shù)a與b的后續(xù)相等，則a、b也相等。5如果一個(gè)由自然數(shù)組成的集合s包含0，并且當(dāng)s包含某一個(gè)自然數(shù)a時(shí)，它一定也包含a的后續(xù)，那么就包含全體自然數(shù)。 為了使自然數(shù)這個(gè)定義通俗易懂，小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論教科書將每一個(gè)自然數(shù)定義為“可以建立一一對應(yīng)的一類有限集的共同性質(zhì)”，如在教學(xué)5的認(rèn)識時(shí)，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察畫面上的五位解放軍、五匹馬、五支槍等等不同物體的集合，然后引導(dǎo)學(xué)生尋求這些物體集合的共同點(diǎn)：“它們都是五個(gè)”，“五”就是這些物體集合的共同性質(zhì)，從而初步形成自然數(shù)“五”的概念。 小學(xué)數(shù)學(xué)課本中對自然數(shù)的說明是在這樣的：用來表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)1，2，3，就叫自然數(shù)。“0”表示沒有東西可數(shù)，“0”也是一個(gè)自然數(shù)，“1”是自然數(shù)的單位。任何一個(gè)自然數(shù)都是有若干個(gè)“1”組成的。 【思考練習(xí)】 小學(xué)數(shù)學(xué)課本中關(guān)于對自然數(shù)的教學(xué)的理論依據(jù)是（ B ）。 A“弗雷格羅素的自然數(shù)定義”。 B小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論教科書。 CG.皮亞諾的關(guān)于自然數(shù)的五條公理?！締栴}提出】A12 自然數(shù)的“基數(shù)意義”和“序數(shù)意義”有什么不同？ 【釋問參考】 當(dāng)自然數(shù)0，1，2，用來表示有限集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，這樣的數(shù)叫做“基數(shù)”。如“這幢住宅樓是5層樓”，這里的“5”就是基數(shù)。當(dāng)自然數(shù)被用來表示事物的排列次序時(shí)，這樣的數(shù)就叫做“序數(shù)”。如“我住在這幢住宅樓的5樓”，這里的“5”就是序數(shù)，表示“第5”的意思。 在一個(gè)句子里出現(xiàn)的自然數(shù)究竟是基數(shù)、還是序數(shù)，要根據(jù)語言環(huán)境來判定（如上文）。 【思考練習(xí)】 體育課上，同學(xué)們排成一列橫隊(duì)“報(bào)數(shù)”，排頭從“1”開始，報(bào)到排尾是“35”，這個(gè)“35”（C ）。A表示這一隊(duì)學(xué)生共有35人。 B表示排尾的學(xué)生是第35個(gè)。 C既表示這一隊(duì)學(xué)生共有35人，也表示排尾的學(xué)生是第35個(gè)。 【問題提出】A13 自然數(shù)、正整數(shù)和整數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么？ 【釋問參考】 正整數(shù)：一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)東西而產(chǎn)生的、用來表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)1，2，3，也叫正整數(shù)。當(dāng)我們數(shù)每一棵蘋果樹上有多少個(gè)蘋果時(shí)，可能遇到一個(gè)蘋果也沒有的情形。要數(shù)的東西一個(gè)也沒有，就用“0”表示。0與正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)。 負(fù)整數(shù)：為了表示現(xiàn)實(shí)世界中具有相反意義的量，人們引入了正數(shù)與負(fù)數(shù)。如“盈利5元”用“5元”表示，“虧損5元”就用“5元”表示。 這種在一個(gè)數(shù)前添加的用來表示它的“正”、“負(fù)”的符號叫做性質(zhì)符號。添加了性質(zhì)符號“”或“”的數(shù)分別稱為正數(shù)和負(fù)數(shù)?！?”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。正數(shù)中的正號可以省略不寫。添加了負(fù)號“”的正整數(shù)叫做負(fù)整數(shù)。 整數(shù)：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)。 正整數(shù) 自然數(shù)整數(shù) 零 負(fù)整數(shù)【思考練習(xí)】 自然數(shù)、正整數(shù)和整數(shù)這三個(gè)數(shù)概念中，（C ）的范圍最大。 A、自然數(shù)B、正整數(shù)C、整數(shù) 【問題提出】A14 為什么以前規(guī)定“0不是自然數(shù)”，現(xiàn)在又規(guī)定“0是自然數(shù)”？ 【釋問參考】 1891年，意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾在建立自然數(shù)的公理化體系時(shí)，給出的一個(gè)公理就是“0是一個(gè)自然數(shù)”。而在我國流傳甚廣的范氏大代數(shù)的第一編中，則明確提出：所謂自然數(shù)，就是用符號1,2,3，分別表示并稱為一，二，三的數(shù)?？梢姡诟鲊膶W(xué)術(shù)界，“0是自然數(shù)”與“0不是自然數(shù)”的觀點(diǎn)并存?，F(xiàn)在看來，“0不是自然數(shù)”在應(yīng)用中有其方便之處，而“0是自然數(shù)”就數(shù)的產(chǎn)生歷史而言更為“自然”。作為數(shù)學(xué)列強(qiáng)的俄羅斯數(shù)學(xué)界一直堅(jiān)持“0不是自然數(shù)”。 1949年，中華人民共和國成立后，我國許多學(xué)科的教學(xué)大綱和教科書都是參照蘇聯(lián)的版本翻譯的。M.K.格列本卡所著的高等學(xué)校教學(xué)用書算術(shù)（第6頁）中明確指出：數(shù)（sh）樹上的蘋果時(shí)，可能某一棵樹一只蘋果也沒有，這時(shí)我們就說這棵樹上的蘋果數(shù)目為0。0就是沒有東西可數(shù)。0作為一個(gè)數(shù)，不屬于自然數(shù)。于是，“0不是自然數(shù)”的判斷在我國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中廣為傳播。 20世紀(jì)80年代以來，我國實(shí)行對外開放，為了便于國際交流，在科技與教育上和國際接軌，1993年頒布的中華人民共和國歸家標(biāo)準(zhǔn)（GB3100-3102-93）“量和單位”（11-29）第311頁規(guī)定：自然數(shù)包括0。隨后，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材在進(jìn)行修訂時(shí)，根據(jù)上述國家標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了修改。數(shù)物體時(shí)如果一個(gè)物體也沒有，就用0表示。0也是自然數(shù)。 1994年11月國家技術(shù)監(jiān)督局發(fā)布的中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)物理科學(xué)和技術(shù)中使用的數(shù)學(xué)符號中，將自然數(shù)集記為N=0,1,2,3，而將原自然數(shù)集稱為非零自然數(shù)集N+（或N*）=1,2,3，。 我國國家標(biāo)準(zhǔn)局的專家們是從世界各國的兩種不同的規(guī)定中取其一，希望更有利于國家交流。 規(guī)定“0是自然數(shù)”后，自然數(shù)按約數(shù)個(gè)數(shù)的分類也發(fā)生了變化，分為這樣四部分： （1）質(zhì)數(shù)（有且只有2個(gè)約數(shù)） （2）合數(shù)（有3個(gè)或3個(gè)以上的約數(shù)） （3）1（只有1個(gè)約數(shù)） （4）0（0以外的任何數(shù)都是它的約數(shù)） 【思考練習(xí)】 下面說法中，（A ）是最恰當(dāng)?shù)摹?A、以前規(guī)定“0不是自然數(shù)”，現(xiàn)在規(guī)定“0是自然數(shù)” B、0是自然數(shù) C、0不是自然數(shù)【問題提出】A15 “自然數(shù)集”、“自然數(shù)列”、“擴(kuò)大的自然數(shù)列”和“非零自然數(shù)集”有哪些區(qū)別和聯(lián)系？自然數(shù)列有哪些基本性質(zhì)？ 【釋問參考】 自然數(shù)集：所有的自然數(shù)組成的集合叫做“自然數(shù)集”?！白匀粩?shù)”和“自然數(shù)集”是兩個(gè)不同的概念。我們可以說“3是自然數(shù)”，但不能說“3是自然數(shù)集”。因?yàn)椤白匀粩?shù)集”是一個(gè)集合概念，即從整體上反映一個(gè)集合體的概念?！白匀粩?shù)”則是非集合概念。 自然數(shù)列：將所有的自然數(shù)按照從小到大的順序排成一列 0，1，2，3 這樣的一列數(shù)叫做自然數(shù)列。“自然數(shù)列”的項(xiàng)和“自然數(shù)集”中的元素是一樣的，都必須包括所有的自然數(shù)，它們的區(qū)別就在于自然數(shù)集不講究所含元素的順序，而自然數(shù)列中所有的自然數(shù)都必須按照從小到大的順序排列。只要有一處違反了這樣的排列順序，如0，2，1，3，它就不是自然數(shù)列。當(dāng)然，少了一個(gè)自然數(shù)的數(shù)集或數(shù)列也不再是自然數(shù)集或自然數(shù)列。 擴(kuò)大的自然數(shù)列：這是一個(gè)應(yīng)該消亡的數(shù)學(xué)名詞。當(dāng)我們認(rèn)為“0不是自然數(shù)”時(shí)，把1，2，3叫做“自然數(shù)列”；而將0，1，2，3稱為“擴(kuò)大的自然數(shù)列”?，F(xiàn)在，國家標(biāo)準(zhǔn)重新規(guī)定“0是自然數(shù)”，因此，后者順理成章地應(yīng)該稱之為“自然數(shù)列”?！皵U(kuò)大的自然數(shù)列”作為一個(gè)數(shù)學(xué)名詞已經(jīng)不再需要。 非零自然數(shù)列：認(rèn)為0是自然數(shù)后，0除外的自然數(shù)組成的數(shù)列叫做非零自然數(shù)列。 自然數(shù)列有以下的性質(zhì)： （1）有始。自然數(shù)列是從0開始的。0不是任何其他自然數(shù)的后繼； （2）有序。每一個(gè)自然數(shù)都有且只有一個(gè)后繼；除了0，每個(gè)自然數(shù)都有且只有一個(gè)先行數(shù)（即緊挨在其前面的一個(gè)數(shù)）； （3）無限。自然數(shù)列是一個(gè)無限數(shù)列。沒有最后的或者說最大的自然數(shù)。 【思考練習(xí)】 下面的這一列數(shù)（B ）自然數(shù)列。 0，1，2，4，5， A、是 B、不是【問題提出】A16 “計(jì)數(shù)”、“記數(shù)”、“數(shù)數(shù)”、“寫數(shù)”各指什么？什么是計(jì)數(shù)的基本原理？為什么我們的計(jì)數(shù)制和記數(shù)制都是十進(jìn)制的？ 【釋問參考】 “計(jì)數(shù)”“數(shù)數(shù)”: “計(jì)數(shù)”就是“數(shù)數(shù)”。指的是把一些事物與非零自然數(shù)列里的數(shù)1，2，3，建立一一對應(yīng)的過程。 計(jì)數(shù)的基本原理是：只要不遺漏、不重復(fù)，計(jì)數(shù)的結(jié)果與計(jì)數(shù)的順序無關(guān)。 十進(jìn)制計(jì)數(shù)法：計(jì)數(shù)時(shí)，可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，也可以幾個(gè)幾個(gè)地?cái)?shù)。如兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，等等。用一（個(gè)）、十、百、千、萬作為計(jì)數(shù)單位的計(jì)數(shù)方法，叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。這時(shí)，每十個(gè)較低的計(jì)數(shù)單位等于一個(gè)較高的計(jì)數(shù)單位。 “記數(shù)”“寫數(shù)”：“記數(shù)”就是“寫數(shù)”。指的是如何用數(shù)字符號將一個(gè)數(shù)N（或者計(jì)數(shù)的結(jié)果）記錄下來。 十進(jìn)制記數(shù)法：當(dāng)我們用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法弄清了一個(gè)數(shù)的組成后，就可以按照十進(jìn)制記數(shù)法用數(shù)字符號0,1,2,，9把這個(gè)數(shù)記錄下來。 由于自然數(shù)有無限多個(gè)，要對每一個(gè)自然數(shù)都給一個(gè)獨(dú)立的名稱和記號是不可能的?，F(xiàn)在國際上通用的記數(shù)方法是用0，1，2，9分別表示自然數(shù)列里的前十個(gè)數(shù)。其他自然數(shù)則用這些數(shù)字按“位值原則”表示。即每個(gè)數(shù)字占有一個(gè)位置，叫做“數(shù)位”。每個(gè)數(shù)位表示一種計(jì)數(shù)單位。同一個(gè)數(shù)字（0除外）在所記的數(shù)里位置不同，所表示的數(shù)值也不同。 在所記的數(shù)里，從右往左，第一位是個(gè)位，第二位是十位，第三位是百位個(gè)位的計(jì)數(shù)單位是一，十位的計(jì)數(shù)單位是十，百位的計(jì)數(shù)單位是百因?yàn)槊績蓚€(gè)相鄰數(shù)位的計(jì)數(shù)單位的進(jìn)率都是十，所以這種記數(shù)的方法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。 【思考練習(xí)】 自然數(shù)5023中的數(shù)字“2”根據(jù)“位值原則”表示2個(gè)（B）。 A、一 B、十 C、百D、千【問題提出】A17 “數(shù)”和“數(shù)字”的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【釋問參考】 用來記數(shù)的符號叫做“數(shù)字”。數(shù)和數(shù)字是兩個(gè)不同的概念。數(shù)或?yàn)閱螖?shù)，或?yàn)殡p數(shù)；或?yàn)橘|(zhì)數(shù)，或?yàn)楹蠑?shù)。數(shù)字或?yàn)榱_馬數(shù)字，或?yàn)榘⒗當(dāng)?shù)字；或?yàn)槭謱懙臄?shù)字，或?yàn)橛∷⒌臄?shù)字。事實(shí)上，數(shù)字并不是數(shù)，而是表示數(shù)的記號。數(shù)是數(shù)字所表達(dá)的內(nèi)容而不是數(shù)字本身。我國是世界上的文明古國之一。在我國，用文字記數(shù)已有悠久的歷史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已經(jīng)記有數(shù)字。其中記載的最大的數(shù)是“三萬”，最小的數(shù)是“一”。一、十、百、千、萬各有專名。特別是當(dāng)時(shí)已經(jīng)采用了十進(jìn)制的記數(shù)方法，這和現(xiàn)在世界通用的“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”是一致的?！舅伎季毩?xí)】用來記數(shù)的符號叫做（C ）。A、數(shù)B、數(shù)位 C、數(shù)字【問題提出】A18 說“43”是數(shù)而不是數(shù)字對嗎？【釋問參考】 表示數(shù)的符號叫做數(shù)字。因?yàn)椤?3”是一個(gè)數(shù)學(xué)符號，在十進(jìn)制記數(shù)法中，用來表示由四個(gè)十與三個(gè)一組成的自然數(shù)，所以它是數(shù)字，而且是由數(shù)字“4”與“3”排成一列組成的“復(fù)合數(shù)字”。同時(shí)，“43”也表示一個(gè)數(shù)，由四個(gè)十與三個(gè)一組成的數(shù)。另一方面，在一定的語言環(huán)境中出現(xiàn)的數(shù)字“43”，也可以用來表示一個(gè)k進(jìn)制的自然數(shù)，即四個(gè)k與三個(gè)一組成的數(shù)。在這里，因?yàn)槌霈F(xiàn)了數(shù)字“4”，所以k5。總之，“43”既是一個(gè)數(shù)，也是一個(gè)數(shù)字。同樣，對于任一個(gè)用符號表示的自然數(shù)來說，它既是一個(gè)數(shù)，也是一個(gè)數(shù)字。當(dāng)它在一個(gè)語句中出現(xiàn)時(shí)，究竟何所指，要看特定的語言環(huán)境?！舅伎季毩?xí)】從上文的分析看來，“43”是（C）。A、一個(gè)數(shù) B、一個(gè)數(shù)字 C、既是一個(gè)數(shù)，也是一個(gè)數(shù)字【問題提出】A19 “數(shù)的組成”、“數(shù)的名稱”和“數(shù)的讀寫”有什么聯(lián)系？【釋問參考】 數(shù)的組成：在認(rèn)識某個(gè)范圍內(nèi)的自然數(shù)時(shí)，首先要認(rèn)識這些數(shù)的組成。如認(rèn)識一個(gè)千以內(nèi)的數(shù)，要弄清它是由幾個(gè)百、幾個(gè)十與幾個(gè)一組成的。為此，可以先用計(jì)數(shù)單位“百”，一百一百地?cái)?shù)；剩下的不足一百時(shí)，再用計(jì)數(shù)單位“十”，十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)；最后，如果剩下的不足十個(gè)，再一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)。即用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法弄清數(shù)的組成。每一個(gè)自然數(shù)的名稱都是根據(jù)它的十進(jìn)制組成規(guī)定的。為此，制定了根據(jù)自然數(shù)的十進(jìn)制組成來為它命名的規(guī)則。一個(gè)數(shù)由幾個(gè)百、幾個(gè)十和幾個(gè)億組成，就稱之為“幾百幾十幾”（中間有0時(shí)如何命名另有規(guī)定）。同時(shí)，也制定了按十進(jìn)制位值原則用數(shù)字符號0，1,2，9來表示一個(gè)自然數(shù)的規(guī)則“寫數(shù)規(guī)則”，這就是“十進(jìn)制記數(shù)法”。所謂“讀數(shù)”，就是根據(jù)一個(gè)數(shù)的符號，說出它的名稱；所謂“寫數(shù)”，就是根據(jù)一個(gè)數(shù)的名稱寫出表示這個(gè)數(shù)的數(shù)字符號?！白匀粩?shù)的讀寫”就是一個(gè)數(shù)的自然語言和符號語言兩種表述之間的相互改寫?？傊?，數(shù)的十進(jìn)制組成是用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法計(jì)數(shù)的結(jié)果，是給這個(gè)數(shù)命名的依據(jù)，是用數(shù)字符號表示這個(gè)數(shù)的依據(jù)，因而也是數(shù)的讀寫的基礎(chǔ)?？梢?，數(shù)的組成是認(rèn)數(shù)教學(xué)的核心問題?！舅伎季毩?xí)】我們的日常生活中所用的自然數(shù)的名稱通常是根據(jù)它的（A ）進(jìn)制組成規(guī)定的。A、十B、八 C、二【問題提出】A110 “十進(jìn)制”和“二進(jìn)制”的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)有哪些？【釋問參考】 如果在所用的一系列計(jì)數(shù)單位中，每十個(gè)某單位都組成一個(gè)和它相鄰的較高的單位，即所謂“滿十進(jìn)一”，那么這種計(jì)數(shù)制就是“十進(jìn)制”。如果是“滿二進(jìn)一”，就是“二進(jìn)制”。十進(jìn)制和二進(jìn)制都是“進(jìn)位制”。十和二分別叫做這兩種進(jìn)位制的基數(shù)。進(jìn)位制的基數(shù)可以是大于1的任何自然數(shù)。在十進(jìn)制記數(shù)法中，我們用十種不同的數(shù)字0，1，2，9按照位值記數(shù)法來表示不同的自然數(shù)。在二進(jìn)制記數(shù)法中，只用兩個(gè)同的數(shù)字0，1就能表示任何自然數(shù)。十進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表：十進(jìn)制數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二進(jìn)制數(shù) 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 可見，作為記數(shù)法，十進(jìn)制與二進(jìn)制運(yùn)用的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)不同；表示同一個(gè)自然數(shù)（0，1除外）時(shí)，所需數(shù)位的個(gè)數(shù)不同?！舅伎季毩?xí)】把十進(jìn)制數(shù)8改寫成二進(jìn)制數(shù)是（ C ）。A、111 B、1001 C、1000【問題提出】A111“準(zhǔn)確數(shù)”和“近似數(shù)”、“絕對誤差”和“相對誤差”以及“有效數(shù)字”和“可靠數(shù)字”有什么區(qū)別？什么是科學(xué)技術(shù)法？ 【釋問參考】在計(jì)數(shù)和計(jì)算過程中，有時(shí)能得到與實(shí)際完全相符的數(shù)，這樣的數(shù)叫準(zhǔn)確數(shù)，如某校的數(shù)學(xué)教師有15人，61.27.2等等。但在生產(chǎn)生活和計(jì)算中得到的某些數(shù)，常常只是接近于準(zhǔn)確數(shù)，這種數(shù)叫近似數(shù)。如“某市約有人口75萬”，75萬就是近似數(shù)，因?yàn)樵诮y(tǒng)計(jì)一個(gè)城市的人口時(shí)，由于居民的遷入和遷出，出生和死亡，人口數(shù)隨時(shí)都在變化，很難得出準(zhǔn)確的人口數(shù)?？梢?，準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的主要區(qū)別，就在于是否與實(shí)際情況完全相符。其中，小于準(zhǔn)確數(shù)的近似值，叫不足近似值；大于準(zhǔn)確數(shù)的近似值叫做過剩近似值。 準(zhǔn)確數(shù)A與它的近似值a之差A(yù)a，叫做這個(gè)近似數(shù)的誤差；誤差的絕對值A(chǔ)a，叫做這個(gè)近似數(shù)的絕對誤差。近似數(shù)的絕對誤差除以準(zhǔn)確數(shù)所得的商，叫做這個(gè)近似數(shù)的相對誤差（常用百分率表示）。實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于準(zhǔn)確數(shù)往往不得而知，所以只能用近似數(shù)代替準(zhǔn)確數(shù)來計(jì)算誤差。 一個(gè)近似數(shù)，如果絕對誤差不超過它末位的半個(gè)單位，則從左端第一個(gè)非零數(shù)字起到末位數(shù)字為止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。一個(gè)近似數(shù)，如果絕對誤差不超過它末位的一個(gè)單位，則從左端第一個(gè)非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都叫做這個(gè)近似數(shù)的可靠數(shù)字。因此，用“四舍五入”取得的近似數(shù)，從左端第一個(gè)不是零的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是有效數(shù)字，也都是可靠數(shù)字。用“進(jìn)一法”或“去尾法”取得的近似數(shù)，從左端第一個(gè)不是零的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是可靠數(shù)字；在這些可靠數(shù)字中，除末位外，都是有效數(shù)字。例如，取3.14，因?yàn)?.140.012，所以圓周率的近似數(shù)3.14有三個(gè)有效數(shù)字；如果取3.1416，則3.14160.00012，所以近似數(shù)有5個(gè)有效數(shù)字。 任何一個(gè)近似數(shù)都可以寫成aa10k的形式，其中a是由近似數(shù)a的有效數(shù)字組成的數(shù)，且滿足1a10,k是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)技術(shù)法。 【思考練習(xí)】 1小于準(zhǔn)確數(shù)的近似數(shù)叫做（B ）。 A、過剩近似數(shù) B、不足近似數(shù) 2把5698“四舍五入”到十位是5700，其中有效數(shù)字有（B）個(gè)。 A、2 B、3C、4 【問題提出】A112截取近似數(shù)時(shí)，“去尾法”、“進(jìn)一法”與“四舍五入法”的主要區(qū)別是什么？為什么常用“四舍五入法”？ 【釋問參考】 去尾法：截取近似數(shù)時(shí)，不論去掉的尾數(shù)的最高位是否小于5，留下的數(shù)都不變，這樣截取近似數(shù)的方法，叫做“去尾法”。 進(jìn)一法：截取近似數(shù)時(shí)，不論去掉的尾數(shù)的最高位是否小于5，留下的數(shù)的末位都加1，這樣截取近似數(shù)的方法，叫做“進(jìn)一法”。 四舍五入法：在截取近似數(shù)時(shí)，通常這樣規(guī)定：（1）如果去掉的尾數(shù)中，最高位是5或比5大，那么就在留下的數(shù)的末位加1；（2）如果去掉的尾數(shù)中，最高位數(shù)小于5（即是4或比4?。?，那么留下的數(shù)不變。像這樣的截取近似數(shù)的方法，叫做“四舍五入法”。 三者區(qū)別：用“四舍五入法”截取近似數(shù)時(shí)，誤差不超過保留部分的末位的半個(gè)單位；而用“去尾法”或“進(jìn)一法”截取近似數(shù)時(shí)，誤差不超過保留部分的末位的一個(gè)單位。 【思考練習(xí)】 用“四舍五入法”截取的近似數(shù)是3.14，那么準(zhǔn)確數(shù)的范圍應(yīng)該是（B）。 A、3.1303.139 B、3.1353.144 C、3.1403.149【問題提出】A113在截取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)時(shí)，為什么不能連續(xù)兩次運(yùn)用“四舍五入法”？ 【釋問參考】例如，要把724600“四舍五入”到萬位，下面兩種做法的得數(shù)為什么不同？ 方法一：724600720000 方法二：724600725000730000 方法一符合“四舍五入法”的操作規(guī)范，所得近似數(shù)的誤差不會超過保留部分的末位的半個(gè)單位（即0.5萬）；方法二連續(xù)兩次運(yùn)用了“四舍五入法”，不符合操作規(guī)范，所得近似數(shù)的誤差已超過保留部分的末位的半個(gè)單位。事實(shí)上，730000并不是724600“四舍五入”到萬位的近似數(shù)，而是725000“四舍五入”到萬位的近似數(shù)。 因此，在截取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)時(shí)，不能連續(xù)兩次運(yùn)用“四舍五入法”。 【思考練習(xí)】 把724600“四舍五入”到萬位，下面兩種做法正確的是（A）。 方法一：724600720000 方法二：724600725000730000 A、方法一 B、方法二 C、兩種方法都對【問題提出】A114小數(shù)概念如何定義和分類？ 【釋問參考】把單位“1”平均分成10份，100份，1000份，這樣的1份或幾份，可以用分母是10，100，1000，的分?jǐn)?shù)來表示，我們把這種分母是10的正整數(shù)冪的分?jǐn)?shù)叫做十進(jìn)分?jǐn)?shù)。因?yàn)檫@些分?jǐn)?shù)每相鄰兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位之間的進(jìn)率都是10，所以可以仿照整數(shù)的寫法，寫在整數(shù)個(gè)位的右邊，并用小圓點(diǎn)“.”隔開，用這種形式把分母是10、100、1000，的十進(jìn)分?jǐn)?shù)，改寫成的不帶分母的數(shù)，叫做小數(shù)。 分類一：根據(jù)一個(gè)小數(shù)的整數(shù)部分是不是0，可以把小數(shù)分為純小數(shù)和帶小數(shù)； 分類二：根據(jù)小數(shù)部分的位數(shù)是不是有限，分為有限小數(shù)和無限小數(shù)，其中，無限小數(shù)又可分為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)。 【思考練習(xí)】小數(shù)可以分成（C ） A、純小數(shù)和帶小數(shù) B、無限小數(shù)和有限小數(shù) C、都可以 【問題提出】A115整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位有哪些？其中有沒有最小和最大的？為什么“整數(shù)的數(shù)位順序表”與“小數(shù)的小數(shù)部分的數(shù)位順序表”可以統(tǒng)一起來？ 【釋問參考】在十進(jìn)制中，整數(shù)的數(shù)位有個(gè)位、十位、百位、千位、萬位它們的計(jì)數(shù)單位分別是一、十、百、千、萬10個(gè)一是十，10個(gè)十是百，10個(gè)百是千，10個(gè)千是萬最小的計(jì)數(shù)單位是一，沒有最大的計(jì)數(shù)單位。 在十進(jìn)制小數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)位依次是十分位、百分位、千分位它們的計(jì)數(shù)單位分別是十分之一、百分之一、千分之一其中，最大的計(jì)數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計(jì)數(shù)單位。 因?yàn)?0個(gè)十分之一是一，所以小數(shù)點(diǎn)右邊的十分位的計(jì)數(shù)單位與小數(shù)點(diǎn)左邊的計(jì)數(shù)單位之間也是“滿十進(jìn)一”的關(guān)系。因此，整數(shù)的數(shù)位順序表和小數(shù)的小數(shù)部分的數(shù)位順序表可以統(tǒng)一起來。 【思考練習(xí)】下列說法錯誤的是（A）。 A、整數(shù)部分、小數(shù)部分都有最大的計(jì)數(shù)單位和最小的計(jì)數(shù)單位；B、整數(shù)最小的計(jì)數(shù)單位是一，沒有最大的計(jì)數(shù)單位；C、小數(shù)部分最大的計(jì)數(shù)單位是十分之一，沒有最小的計(jì)數(shù)單位。【問題提出】A116“一位數(shù)”、“兩位數(shù)”、“三位數(shù)”與“一位小數(shù)”、“兩位小數(shù)”、“三位小數(shù)”各是怎樣定義的？為什么0不是一位數(shù)？ 【釋問參考】在非零自然數(shù)集N中，用一個(gè)十進(jìn)制數(shù)字表示的叫一位數(shù)，如1，2，3，49；用兩個(gè)十進(jìn)制數(shù)字表示的叫兩位數(shù)10,11,1299；依此類推。 小數(shù)部分只有一個(gè)數(shù)字的小數(shù)叫一位小數(shù)，小數(shù)部分有兩個(gè)數(shù)字的小數(shù)叫兩位小數(shù)，小數(shù)部分有三個(gè)數(shù)字的小數(shù)叫三位小數(shù)依此類推。 實(shí)際上，一位數(shù)、兩位數(shù)等自然數(shù)都可以用更多的數(shù)字來表示。如兩位數(shù)48可以表示為048；一位數(shù)6可以表示為006。為了分化出一位數(shù)、兩位數(shù)等概念，我們約定：在一個(gè)自然數(shù)中，從計(jì)數(shù)單位最大的、不是零的數(shù)字起到個(gè)位為止的數(shù)字有幾個(gè)，這個(gè)自然數(shù)就稱之為幾位數(shù)。數(shù)0不論用多少個(gè)0來表示都行，但其中沒有0以外的數(shù)字，所以0不是一位數(shù)。當(dāng)然也不是兩位數(shù)、三位數(shù) 由于0不是一位數(shù)，一位數(shù)只有1,2,3，9共9個(gè)，所以最大的一位數(shù)是9；最小的一位數(shù)是1，而不是0【思考練習(xí)】 1.最小的一位數(shù)是（A ）。 A、1 B、0 C、沒有 2. 048是（B）位數(shù)。 A、三 B、兩 C、048不是一個(gè)數(shù)【問題提出】A117怎樣認(rèn)識“小數(shù)”和“分?jǐn)?shù)”的關(guān)系？ 【釋問參考】小學(xué)生最初認(rèn)識的“小數(shù)”僅僅是有限小數(shù)。有限小數(shù)相當(dāng)于十進(jìn)分?jǐn)?shù)，即分母中不含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)。這時(shí)，可以說“小數(shù)”是“分?jǐn)?shù)”的種概念，“分?jǐn)?shù)”是“小數(shù)”的屬概念?！胺?jǐn)?shù)”與“小數(shù)”是屬種關(guān)系。當(dāng)人們試圖用分子除以分母的方法將分母中含有2、5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)化為小數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)會出現(xiàn)相同的余數(shù)，致使商中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)。這時(shí)，商的小數(shù)部分的位數(shù)是無限的，于是“小數(shù)”概念從“有限小數(shù)”發(fā)展為包括“有限小數(shù)”和“無限小數(shù)”。分?jǐn)?shù)化小數(shù)，要么化為有限小數(shù)，要么化為（無限）循環(huán)小數(shù)；而無限不循環(huán)小數(shù)則不可能由分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化而來，它們是分?jǐn)?shù)以外的另一類數(shù)。 對于擴(kuò)充以后的“小數(shù)”概念，其中包括的有限小數(shù)與（無限）循環(huán)小數(shù)的部分相當(dāng)于“分?jǐn)?shù)”，此外，還有一種不可能由分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化而來的無限不循環(huán)小數(shù)。因此，我們可以說這時(shí)“分?jǐn)?shù)”是“小數(shù)”的種概念。 【思考練習(xí)】 下面說法錯誤的是（C ）。 A、有限小數(shù)相當(dāng)于十進(jìn)分?jǐn)?shù) B、“分?jǐn)?shù)”是“小數(shù)”的種概念，“小數(shù)”是“分?jǐn)?shù)”的屬概念 C、所有的小數(shù)都可以由分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化而來【問題提出】A118分?jǐn)?shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義有什么不同？ 【釋問參考】分?jǐn)?shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義： 在整數(shù)的有序?qū)Γ╬，q）（q0）的集合上定義如下等價(jià)關(guān)系： 設(shè)p1，p2Z，q1,q2Z0。如果p1 q2p2 q1, 則稱（p1，q1）（p2，q2），Z（Z0）關(guān)于這個(gè)等價(jià)類稱為有理數(shù)。（p，q）所屬的有理數(shù)記為。在有理數(shù)集中，整數(shù)以外的數(shù)稱為分?jǐn)?shù)。 分?jǐn)?shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義： 把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的一半形式是。 兩者區(qū)別： “分?jǐn)?shù)”在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的定義和在小學(xué)數(shù)學(xué)中的定義基本上是一致的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中給出的“分?jǐn)?shù)”的定義實(shí)質(zhì)上是正有理數(shù)的定義，其中，q2。整數(shù)p可以表示為，不能說明“整數(shù)也是分?jǐn)?shù)”，僅僅表示“整數(shù)是有理數(shù)”。因?yàn)椴⒉皇欠謹(jǐn)?shù)所特有的表示形式。 【思考練習(xí)】在小學(xué)數(shù)學(xué)中“分?jǐn)?shù)”的定義實(shí)質(zhì)上是（ B）范圍內(nèi)的定義。 A、有理數(shù) B、正有理數(shù)【問題提出】A119“因?yàn)?，所以3也是分?jǐn)?shù)”對嗎？整數(shù)是不是分?jǐn)?shù)？整數(shù)和分?jǐn)?shù)是什么關(guān)系？分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、繁分?jǐn)?shù)的關(guān)系是不是屬種關(guān)系？ 【釋問參考】根據(jù) 3 只能得出“3是有理數(shù)”，不能得出“3是分?jǐn)?shù)”的結(jié)論。 事實(shí)上，有理數(shù)當(dāng)p能被q整除時(shí)，是整數(shù)；當(dāng)p不能被q整除時(shí)，才是分?jǐn)?shù)。 可見，整數(shù)不是分?jǐn)?shù)。由于“整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”的外延是互相排斥的，并且它們的并集就是鄰近的屬概念“有理數(shù)”的外延，所以“整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”這兩個(gè)概念間的關(guān)系是矛盾關(guān)系。 【思考練習(xí)】 下面說法（B ）是正確的。 A、因?yàn)?，所以3也是分?jǐn)?shù) B、整數(shù)不是分?jǐn)?shù) C、整數(shù)分為正整數(shù)和負(fù)整數(shù)【問題提出】A120說“自然數(shù)1不同于單位1對嗎？自然數(shù)“1”和分?jǐn)?shù)定義中的單位“1”的現(xiàn)實(shí)原型有什么不同？ 【釋問參考】自然數(shù)“1”是非零自然數(shù)中最小的一個(gè)，是自然數(shù)的最基本的單位。作為自然數(shù)“1”的現(xiàn)實(shí)原型，可以是一個(gè)蘋果，也可以是一堆蘋果。這個(gè)蘋果或這堆蘋果都可以平均分為若干份，而用分?jǐn)?shù)表示其中的一份或幾份。它們也是分?jǐn)?shù)定義中所說的平均分的對象，分?jǐn)?shù)定義中所說的單位“1”，實(shí)質(zhì)上就是自然數(shù)“1”。所以，說自然數(shù)“1”不同于單位“1”的理由是不充分的。 任何一個(gè)物體都可以作為自然數(shù)“1”的現(xiàn)實(shí)原型，但作為分?jǐn)?shù)定義中的單位“1”的現(xiàn)實(shí)原型，受到更多的條件限制。如一塊蛋糕可以平均分給兩位小朋友，每人分得這塊這塊蛋糕的二分之一，但一只小白兔無法平均分給兩位小朋友。但現(xiàn)實(shí)原型的差異不能作為自然數(shù)“1”不同于單位“1”的理由。 【思考練習(xí)】自然數(shù)1不同于單位“1”，對嗎？（ B ） A、對 B、不對【問題提出】A121分?jǐn)?shù)可以分為“真分?jǐn)?shù)”“假分?jǐn)?shù)”與“帶分?jǐn)?shù)”嗎？ 【釋問參考】 可約分?jǐn)?shù)最簡分?jǐn)?shù)既約分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)可以按照不同的標(biāo)準(zhǔn)來分類。如：按照分子與分母有沒有1以外的公約數(shù)，可以把分?jǐn)?shù)分為可約分?jǐn)?shù)和最簡分?jǐn)?shù)。分子與分母有1以外的公約數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做可約分?jǐn)?shù)；分子分母沒有1以外的公約數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)。 真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)還可以按照分子是否小于分母，分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，分子小于分母的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)；分子不小于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。 帶分?jǐn)?shù)根據(jù)定義，“帶分?jǐn)?shù)”是一個(gè)整數(shù)和一個(gè)真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)。實(shí)際上是一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和。它是一個(gè)和式，而不是一個(gè)分?jǐn)?shù)。 【思考練習(xí)】 分?jǐn)?shù)可以分為（A） A真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù) B真分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù) C真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù) 【問題提出】A122說“假分?jǐn)?shù)的分子大于分母”錯在哪里？ 【釋問參考】 根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)對假分?jǐn)?shù)所下的定義，分子等于或大于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)?？梢?，假分?jǐn)?shù)有兩類：分子大于分母的假分?jǐn)?shù)和分子等于分母的假分?jǐn)?shù)。如果一個(gè)分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)，那么它的分子大于分母或分子等于分母。這時(shí)，我們可以根據(jù)“一個(gè)分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)”推出“它的分子大于分母或分子等于分母”，但我們推不出“分子大于分母”，也推不出“分子等于分母”。 【思考練習(xí)】 下面說法錯誤的是（A） A假分?jǐn)?shù)的分子大于分母 B真分?jǐn)?shù)的分子小于分母 C分子大于分母的分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)【問題提出】A123“分?jǐn)?shù)單位”和“單位分?jǐn)?shù)”“最簡分?jǐn)?shù)”和“既約分?jǐn)?shù)”有沒有區(qū)別？ 【釋問參考】 分?jǐn)?shù)的分母不同，分?jǐn)?shù)單位也就不同。如七分之四的分?jǐn)?shù)單位是七分之一，分母越大，分?jǐn)?shù)單位就越小。 最簡分?jǐn)?shù)、既約分?jǐn)?shù)：分子與分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)叫最簡分?jǐn)?shù)，也叫既約分?jǐn)?shù)?！白詈啞笔菑幕喌慕嵌忍岢龅囊?，“既約”是從約分的角度給出的標(biāo)準(zhǔn)。分?jǐn)?shù)要化簡。分子、分母就得約分，分子分母約分的目的是分?jǐn)?shù)。兩者最終統(tǒng)一到“分子分母互質(zhì)”這一點(diǎn)上。 【思考練習(xí)】 十分之七的分?jǐn)?shù)單位是（A） A十分之一 B七分之一 C十七分之一【問題提出】A124“百分?jǐn)?shù)”是不是一種數(shù)？“百分?jǐn)?shù)就是分母是100的分?jǐn)?shù)”嗎？“百分?jǐn)?shù)”“百分比”和“百分率”有什么不同？“成數(shù)”“千分?jǐn)?shù)”“ppm”“bpm”各指什么？ 【釋問參考】 “百分?jǐn)?shù)”“百分比”“百分率”表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)（或一個(gè)量是另一個(gè)同類量）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)通常用來表示兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)同類量）的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。 百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別區(qū)別在于：分?jǐn)?shù)既可以表示兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)同類量的倍比關(guān)系，也可以表示具體的數(shù)量；而百分?jǐn)?shù)只用于表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。當(dāng)需要用百分?jǐn)?shù)表示數(shù)量時(shí)，往往稱之為“a個(gè)百分點(diǎn)”。 “成數(shù)”“幾成”就是十分之幾。 “ppm”“bpm”在科學(xué)技術(shù)研究和運(yùn)用上，為了表示微量元素的含量，還用到更小的單位“百萬分之一”（即ppm），和“十億分之一”（即bpm）。 【思考練習(xí)】 下面說法正確的是（B） A今天班級人數(shù)出勤率為101%。 B今年農(nóng)產(chǎn)品比去年增長了八成。 C有一籃子雞蛋200%千克?！締栴}提出】A125自然數(shù)大小的“基數(shù)意義”和“序數(shù)意義”有什么區(qū)別和聯(lián)系？怎樣證明自然數(shù)沒有最大的？ 【釋問參考】 “自然數(shù)大小的基數(shù)意義”：每個(gè)自然數(shù)都是所有可以建立一一對應(yīng)的有限集組成的集，或者說是一類可以建立一一對應(yīng)的有限集的共同性質(zhì)。 “自然數(shù)大小的序數(shù)意義”自然數(shù)的序數(shù)理論中，自然數(shù)大小是根據(jù)自然數(shù)列中的前后位置來定義的。 自然數(shù)沒有最大的，自然數(shù)列是無限的。 【思考練習(xí)】 上體育課，20個(gè)人排成一排，那么20指（B） A只表示“一共有20個(gè)人”；B一共有20個(gè)人，也可以表示，最后一個(gè)是第20個(gè)；C只表示“最后一個(gè)是第20個(gè)人”?！締栴}提出】A126怎樣構(gòu)造最小的（或最大的）一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)n位數(shù)？ 【釋問參考】 在一位數(shù)1、2、39中，顯然，最小的是1，最大的是9。 兩位數(shù)中，最小的是10，最大的是99。 一般地，在n位數(shù)中，最小的是10n1，最大的是10n1。 【思考練習(xí)】 最大的五位數(shù)是（A），最小的六位數(shù)是（B ） A99999 B100000 C100001【問題提出】A127為什么多位數(shù)大小的比較法則推廣到小數(shù)大小的比較，只適用于有限小數(shù)，不適用于無限小數(shù)？“0.59(9循環(huán))0.6”對嗎？ 【釋問參考】 “多位大小的比較”多位數(shù)大小的比較法則如下：（1）如果兩個(gè)多位數(shù)的位數(shù)不同，則位數(shù)多的數(shù)較大；（2）如果兩個(gè)多位數(shù)的位數(shù)相同，則最高位上的數(shù)較大的數(shù)較大；（3）如果最高位上的數(shù)又相同，則比下一位數(shù)。下一位數(shù)較大的數(shù)較大，依次類推；（4）如果兩個(gè)多位數(shù)的位數(shù)相同，并且各個(gè)相同數(shù)位上的數(shù)也分別相等，那么這兩個(gè)多位數(shù)相等。 “有限小數(shù)大小的比較”：（1）如果兩個(gè)有限小數(shù)的整數(shù)部分相等，則比十分位上的數(shù)，十分位上的數(shù)大則大；（2）如果兩個(gè)有限小數(shù)的十分位上也相等，就比較百分位上數(shù)，依次類推。 “無限小數(shù)大小的比較”：多位數(shù)大小的比較不能推廣到無限小數(shù)大小的比較。應(yīng)該把無限小數(shù)改寫成分?jǐn)?shù)來比較。而0.59(9循環(huán))0.6。 【思考練習(xí)】 下列比較錯誤的是（C） A0.9（9循環(huán)）1 B0.69（9循環(huán)）0.7 C0.9（9循環(huán)）1【問題提出】A28分?jǐn)?shù)的大小如何定義和判定？【釋問參考】 “兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小的定義及判定”：兩個(gè)正分?jǐn)?shù)q分之p與s分之r,當(dāng)ps=rq時(shí)，就說這兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等；如果psrq，說明兩個(gè)分?jǐn)?shù)不相等；如果psrq，有q分之ps分之r；如果psrq，有q分之ps分之r?！舅伎季毩?xí)】下面比較正確的是（B）A六十六分之六十五七十七分之七十六B六十六分之六十五七十七分之七十六C六十六分之六十五七十七分之七十六【問題提出】A129最小的計(jì)數(shù)單位是什么？最大的計(jì)數(shù)單位是什么？真分?jǐn)?shù)有沒有最小的？有沒有最大的？ 【釋問參考】 “自然數(shù)的單位和計(jì)數(shù)單位”：“1”是自然數(shù)的單位，任何一個(gè)自然數(shù)都是由若干個(gè)“1”組成的?！?”也是自然數(shù)的最小的計(jì)數(shù)單位，因?yàn)橐?、十、百、千、萬等等都是自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位，其中最小的計(jì)數(shù)單位是一，沒有最大的計(jì)數(shù)單位。 “真分?jǐn)?shù)”：分子小于分母的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。因?yàn)樽匀粩?shù)沒有最大的，所以分?jǐn)?shù)單位沒有最小的，而最小的真分?jǐn)?shù)就是最小的分?jǐn)?shù)單位，所以真分?jǐn)?shù)既沒有最小的，也沒有最大的。 【思考練習(xí)】 下列分?jǐn)?shù)中，分?jǐn)?shù)單位最大的是（A） A七分之八 B七十七分之八十八 C一千分之九百九十九 【問題提出】A21怎樣定義四則運(yùn)算？怎樣得出四則運(yùn)算中各部分間的關(guān)系？ 【釋問參考】 “自然數(shù)的基數(shù)理論中加法的定義”：設(shè)A、B分別表示以a、b為基數(shù)，且無公共元素的集合，C是A、B并集，則C的基數(shù)c稱為a、b的和，記為cab。 小數(shù)數(shù)學(xué)中講“把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法”是不妥的。實(shí)際上，合并的是兩個(gè)集合，而不是兩個(gè)數(shù)。 “在自然數(shù)的基數(shù)理論中減法的定義”：設(shè)a、b兩個(gè)自然數(shù)。如果有一個(gè)這樣的自然數(shù)c，能使b+c=a，就說c是a與b的差，記作a-b=c。 “在自然數(shù)基數(shù)理論中乘法的定義”：b個(gè)相同加數(shù)a的和叫做a與b的積。 “在自然數(shù)基數(shù)理論中除法的定義”：設(shè)a、b是兩個(gè)自然數(shù)，b0。如果有一個(gè)這樣的自然數(shù)c，能使bc=a，就說c是a與b的商。 【思考練習(xí)】 下面表示加法、乘法、減法、除法中各部分關(guān)系錯誤的是（C） A加數(shù)加數(shù)和 B被減數(shù)減數(shù)差 C積加數(shù)加數(shù)【問題提出】A2-2 “運(yùn)算”、“計(jì)算”、“演算”有什么不同？【釋問參考】運(yùn)算：定義在集合A上的運(yùn)算是指從直積集合AA到集合A的一種對應(yīng)。如果對于集合A中的任何兩個(gè)元素的序偶，即AA的一個(gè)元素（a,b），集合A中都有唯一確定的元素c和它對應(yīng)，就說在集合A上定義了一種運(yùn)算。例如，對于自然數(shù)集N中的任何兩個(gè)自然數(shù)a,b，都有這樣一個(gè)唯一確定的自然數(shù)c，使ab=c。所以加法是定義在自然數(shù)集N上的一種運(yùn)算。然后，加法被推廣到整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集。四則運(yùn)算和算術(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除四種運(yùn)算統(tǒng)稱為四則運(yùn)算或算術(shù)運(yùn)算。小學(xué)數(shù)學(xué)中所說的“運(yùn)算”通常就是指四則運(yùn)算或算術(shù)運(yùn)算，計(jì)算機(jī)中的運(yùn)算器就是進(jìn)行四則運(yùn)算的裝置。計(jì)算：根據(jù)算式中所給的數(shù)據(jù)和運(yùn)算，按照一定的程序操作，以求出運(yùn)算結(jié)果的過程叫做“計(jì)算”。演算：在小學(xué)數(shù)學(xué)中，人們常常用“演算”表示求一個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果的操作過程。除了四則運(yùn)算，“演算”還包括約分、通分之類的等值變換，以及求最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法等操作。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，“演算”還用以表示某種理論體系。如命題演算、類演算等。此外，“演算”的英文單詞”calculus”還用來表示“微積分學(xué)”【思考練習(xí)】32（3的平方）這是一種（A ）A.運(yùn)算 B.計(jì)算C.演算【問題提出】A2-3 “口算”、“心算”、“簡算“、”速算“、”驗(yàn)算“有什么不同？ 【釋問參考】 口算：不借助計(jì)算工具，直接通過思考算出得數(shù)的一種計(jì)算方法。口算是筆算、估算和簡算的基礎(chǔ)，也是計(jì)算能力的重要組成部分。 心算：口算也稱心算。 簡算：即“簡便計(jì)算”，又稱“速算”，指的是一類快速、巧妙的計(jì)算。 簡算有多種不同的方法和不同的理論依據(jù)。它與各種計(jì)算法則所包含的“程序性操作“不同，沒有常規(guī)的思維模式可套，也沒有現(xiàn)成的操作程序可循。它需要具有對數(shù)據(jù)、運(yùn)算以及運(yùn)算順序的敏感和對算式整體上的洞察力和敏銳的直覺，要求人們探索和發(fā)現(xiàn)，以找出簡算的途徑。如：615411=67694 速算：“簡算”又稱“速算”。 驗(yàn)算：式題計(jì)算或解答問題后，為了確保結(jié)果正確，采用一定的方法核對。這種核對的過程叫做“驗(yàn)算”。 【思考練習(xí)】 先算一算，再根據(jù)規(guī)律口算出下面幾題的答案。 1515= 2525= 3535= 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律口算：6565= 7575= 9595=【問題提出】A2-4 為什么口算都是從高位算起，而豎式筆算只有除法是從高位算起，加、減、乘的豎式筆算都是從低位算起？【釋問參考】多位數(shù)的四則計(jì)算總是被歸結(jié)為各個(gè)數(shù)位上的一位數(shù)的計(jì)算?？谒慵瓤梢詮母呶凰闫穑部梢詮牡臀凰闫稹Ｖ徊贿^從高位算起更有利于抓住數(shù)的主要部分，使計(jì)算結(jié)果不至于過分偏離正確的得數(shù)。加、減、乘的豎式筆算既可以從低位算起，也可以從高位算起。但從高位算起會增加處理進(jìn)位的麻煩。用除法豎式求商必須從高位算起。以便從高位到低位，一次求出商的每一位上的數(shù)?！舅伎季毩?xí)】用豎式計(jì)算時(shí)，從高位算起的運(yùn)算是（ D）A.加法B.減法 C.乘法D.除法【問題提出】A2-5 在數(shù)的計(jì)算中，“橫式”、“豎式”、“遞等式”各指什么？ 【釋問參考】 橫式：用運(yùn)算符號把參與運(yùn)算的數(shù)連接起來，從左往右排列的式子叫做橫式。橫式可以筆算，也可以口算，并把算出的得數(shù)寫在等號的后面。如5324=77. 豎式：把需要計(jì)算的數(shù)和運(yùn)算符號按規(guī)定的格式寫出，再按運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，并把計(jì)算的中間過程與最后結(jié)果記錄下來。這樣的算式叫做豎式。豎式通常運(yùn)用筆算進(jìn)行。 豎式計(jì)算的實(shí)質(zhì)，是將當(dāng)前對于兩個(gè)數(shù)的計(jì)算歸結(jié)為它們各個(gè)數(shù)位上數(shù)的計(jì)算，以求出得數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)。 遞等式：在進(jìn)行四則混合運(yùn)算時(shí)，要按所要求的運(yùn)算順序逐步計(jì)算，并用計(jì)算結(jié)果代替原式中的部分算式，用等號與原式相聯(lián)，直至求出最后結(jié)果。這樣的書寫形式叫做遞等式。 一般情況下，豎式用于數(shù)目較大、數(shù)位較多的四則計(jì)算的筆算，用于口算比較困難的場合。遞等式則用于四則混合運(yùn)算。 【思考練習(xí)】 四則混合運(yùn)算所采用的計(jì)算方式是（C） A.橫式B.豎式C.遞等式【問題提出】A2-6“精確計(jì)算”、“近似計(jì)算”和“估算”的主要區(qū)別是什么？ 【釋問參考】 精確計(jì)算：為解決實(shí)際問題而進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，有時(shí)需要得到與實(shí)際情況完全符合的準(zhǔn)確數(shù)，有時(shí)只需要或只能得到與準(zhǔn)確數(shù)相差不多的近似數(shù)。如：購物時(shí)該付多少錢，就是需要精確計(jì)算才能回答的問題。而根據(jù)購物計(jì)劃，大致要準(zhǔn)備多少錢，只需通過估算求得。 為了通過計(jì)算得到準(zhǔn)確數(shù)，首先要求計(jì)算的原始數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無誤。其次，所用的計(jì)算公式要能準(zhǔn)確表達(dá)有關(guān)的幾個(gè)數(shù)量間的關(guān)系（而不是“近似公式”），并且，計(jì)算過程中的每一步都必須按相關(guān)的計(jì)算法則正確進(jìn)行。 近似計(jì)算：在工程技術(shù)的相關(guān)計(jì)算中，所用的原始數(shù)據(jù)大多不是準(zhǔn)確數(shù)。許多數(shù)據(jù)也不要求完全準(zhǔn)確，允許有一定的誤差，只要誤差不超出規(guī)定的范圍就可以了。為了使計(jì)算結(jié)果的誤差不超過允許的范圍，計(jì)算過程必須遵守相應(yīng)的規(guī)則。這就是近似計(jì)算。 估算：估算是根據(jù)具體條件和有關(guān)知識，對事物的數(shù)量或計(jì)算的結(jié)果作出估計(jì)或大概的推斷。如：參加一次旅游，大概需要多少費(fèi)用？就是一個(gè)需要通過估算來解決的問題。 總之，精確計(jì)算得到的是準(zhǔn)確數(shù)；近似計(jì)算得到的是誤差不超出指定范圍的近似數(shù)；如果對計(jì)算結(jié)果的誤差范圍也沒用提出要求，那就可以用估算來解決。 估算與近似計(jì)算的比較：“估算”是粗略的口算；“近似計(jì)算”則是不完全精確的筆算或機(jī)算。 估算和近似計(jì)算的計(jì)算結(jié)果可以是接近準(zhǔn)確得數(shù)的某一個(gè)數(shù)；也可以使包含準(zhǔn)確得數(shù)的某個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)。 估算與近似計(jì)算的主要差異有兩點(diǎn)： “近似計(jì)算”對計(jì)算結(jié)果的精確程度有一定 要求，計(jì)算結(jié)果的絕對誤差或相對誤差不允許超出某個(gè)界限；但對“估算”結(jié)果的精確程度一般沒有提出明確的要求。 估算一般用口算進(jìn)行；而近似計(jì)算往往用筆算或機(jī)算完成。 科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的復(fù)雜計(jì)算，大多數(shù)是要求達(dá)到一定精確度的近似計(jì)算。計(jì)算結(jié)果一般不可能完全準(zhǔn)確，主要原因是在計(jì)算的原始數(shù)據(jù)有許多是實(shí)驗(yàn)或測量所得的近似數(shù)。而且，計(jì)算所依據(jù)的公式或所用的方法，有些也只是近似公式或近似的方法。 【思考練習(xí)】 要求做一個(gè)長方體鐵皮盒子所需要的材料，我們一般采用（B） A.精確計(jì)算 B.近似計(jì)算 C.估算【問題提出】A2-7怎樣處理好“算法多樣化”與“算法系列化”之間的關(guān)系？ 【釋問參考】 2001年頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提倡“算法多樣化”和“解題策略多樣化”。這對于拓展學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)造性都是有益的。不過，多種不同的算法往往反映了不同的思維水平。盡管在訓(xùn)練學(xué)生掌握一種算法的初期，應(yīng)該允許學(xué)生達(dá)到不同的思維水平，允許學(xué)生運(yùn)用其自身理解得最快的某種算法，但從不斷提高學(xué)生的理性思維水平的根本目標(biāo)來看，一個(gè)個(gè)引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握思維水平更高的算法，而不應(yīng)該以學(xué)生主觀上的“喜歡”作為選擇算法的主要依據(jù)。 此外，多樣化的算法或解決問題的方法往往是以學(xué)生已經(jīng)掌握的某種算法或解題方法為基礎(chǔ)的。例如，20以內(nèi)退位減的“平十法”和“破十法”都是以10以內(nèi)的減法及20以內(nèi)數(shù)的組成為基礎(chǔ)的。 而“算減想加”則是對一年級小學(xué)生進(jìn)行的一次典型的推理訓(xùn)練。它是根據(jù)加、減法的關(guān)系（或者說根據(jù)減法的意義）進(jìn)行的推理，把20以內(nèi)退位減的計(jì)算歸結(jié)為20以內(nèi)的進(jìn)位加。 許多數(shù)學(xué)法則的實(shí)質(zhì)都是將當(dāng)前有待解決的問題轉(zhuǎn)化和歸結(jié)為以前已經(jīng)能