東南大學(xué)-數(shù)字信號處理-吳鎮(zhèn)揚(yáng)-3-2.ppt

二 雙線性變換法 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆 這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換z esT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的 為了克服這一缺點(diǎn) 設(shè)想變換分為兩步 第一步 將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里 第二步 通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去 由此建立S平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系 消除多值性 也就消除了混淆現(xiàn)象 為了將S平面的j 軸壓縮到S1平面j 1軸上的 T到 T一段上 可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) 這里C是待定常數(shù) 下面會講到用不同的方法確定C 可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字源波器的頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對應(yīng)關(guān)系 經(jīng)過這樣的頻率變換 當(dāng) 由時 1由 T經(jīng)過 變化到 T 即S平面的整個j 軸被壓縮到S1平面的2 T一段 通常取C 2 T 考慮z ej 再將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面 即令 將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個S平面 則得到S平面到S1平面的映射關(guān)系 最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系 雙線性變換法的主要優(yōu)點(diǎn)是S平面與Z平面一一單值對應(yīng) S平面的虛軸 整個j 對應(yīng)于Z平面單位圓的一周 S平面的 0處對應(yīng)于Z平面的 0處 對應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終止于折疊頻率處 所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng) 現(xiàn)在我們看看 這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器時 從S平面到Z平面映射變換的二個基本要求 當(dāng)時 得 對單位圓 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓 時 即s左半平面映射在單位圓內(nèi) s右半平面映射在單位圓外 因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后 所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的 如圖1 圖雙線性變換的頻率非線性關(guān)系 小結(jié) 1 與脈沖響應(yīng)不變法相比 雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn) S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系 靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到的 即整個j 軸單值的對應(yīng)于單位圓一周 關(guān)系式為 可見 和 為非線性關(guān)系 如圖2 圖2雙線性變換的頻率非線性關(guān)系由圖中看到 在零頻率附近 接近于線性關(guān)系 進(jìn)一步增加時 增長變得緩慢 終止于折疊頻率處 所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象 2 雙線性變換缺點(diǎn) 與 成非線性關(guān)系 導(dǎo)致 a 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變 使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變 例如 一個模擬微分器 它的幅度與頻率是直線關(guān)系 但通過雙線性變換后 就不可能得到數(shù)字微分器 b 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后 得到的數(shù)字濾波器為非線性相位 c 要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段恒定的 故雙線性變換只能用于設(shè)計低通 高通 帶通 帶阻等選頻濾波器 雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn) 但它目前仍是使用得最普遍 最有成效的一種設(shè)計工具 這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性 如低通 高通 帶通和帶阻等 它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性 在阻帶部分要求逼近一個衰減為 的常數(shù)特性 這種特性的濾波器通過雙線性變換后 雖然頻率發(fā)生了非線性變化 但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性 例如 一個考爾型的模擬濾波器Ha s 雙線性變換后 得到的H z 在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性 只是通帶截止頻率 過渡帶的邊緣頻率 以及起伏的峰點(diǎn) 谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線性變化 即畸變 這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正 預(yù)畸變 即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變 然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上 利用關(guān)系式 將所要設(shè)計的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn) 變換成對應(yīng)的模擬域頻率 利用此設(shè)計模擬濾波器 再通過雙線性變換 即可得到所需的數(shù)字濾波器 其臨界頻率正是 如圖所示 雙線性變換時頻率的預(yù)畸 計算H Z 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計計算更直接和簡單 由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系 所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) 置換過程 頻響 這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多 一般 當(dāng)著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應(yīng)時 采用脈沖響應(yīng)不變法較好 而其他情況下 對于IIR的設(shè)計 大多采用雙線性變換 3 2常用模擬低通濾波器特性 為了方便學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器 先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計方法 高通 帶通 帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法 由低通濾波器變換得到 模擬濾波器的設(shè)計就是根據(jù)一組設(shè)計規(guī)范設(shè)計模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha s 使其逼近某個理想濾波器特性 因果系統(tǒng)中式中ha t 為系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 是實(shí)函數(shù) 不難看出 定義振幅平方函數(shù)式中Ha s 模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha j 濾波器的頻率響應(yīng) Ha j 濾波器的幅頻響應(yīng)又S j 2 S2 A 2 A S2 S j 問題 由A S2 Ha S 對于給定的A S2 先在S復(fù)平面上標(biāo)出A S2 的極點(diǎn)和零點(diǎn) 由 1 式知 A S2 的極點(diǎn)和零點(diǎn)總是 成對出現(xiàn) 且對稱于S平面的實(shí)軸和虛軸 選用A S2 的對稱極 零點(diǎn)的任一半作為Ha s 的極 零點(diǎn) 則可得到Ha s 為了保證Ha s 的穩(wěn)定性 應(yīng)選用A S2 在S左半平面的極點(diǎn)作為Ha s 的極點(diǎn) 零點(diǎn)可選用任一半 N為濾波器階數(shù) 如圖1 其幅度平方函數(shù) 特點(diǎn) 具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性 且隨f 幅頻特性單調(diào) 三種模擬低通濾波器的設(shè)計 1 巴特沃茲濾波器 Butterworth濾波器 巴特沃茲逼近 圖1巴特沃茲濾波器振幅平方函數(shù) 通帶 使信號通過的頻帶阻帶 抑制噪聲通過的頻帶過渡帶 通帶到阻帶間過渡的頻率范圍 c 通帶邊界頻率 過渡帶為零 阻帶 H j 0通帶內(nèi)幅度 H j const H j 的相位是線性的 理想濾波器 圖1中 N增加 通帶和阻帶的近似性越好 過渡帶越陡 在過渡帶內(nèi) 階次為 的巴特沃茲濾波器的幅度響應(yīng)趨于斜率為 6NdB 倍頻程的漸近線 通帶內(nèi) 分母 c1 c 2N 1 增加 A 2 快速減小 c 幅度衰減 相當(dāng)于3dB衰減點(diǎn) 振幅平方函數(shù)的極點(diǎn) 令分母為零 得可見 Butterworth濾波器的振幅平方函數(shù)有2N個極點(diǎn) 它們均勻?qū)ΨQ地分布在 S c的圓周上 例 為N 3階BF振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布 如圖 圖2三階A S2 的極點(diǎn)分布 考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性 知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(diǎn) SP3 SP4 SP5 組成的 它們分別為 系統(tǒng)函數(shù)為 令 得歸一化的三階BF 如果要還原的話 則有 MATLAB設(shè)計模擬Butterworthfilter 例 設(shè)計滿足下列條件的模擬Butterworth低通濾波器fp 1kHz fs 5kHz Ap 1dB As 40dB Wp 2 pi 1000 Ws 2 pi 5000 Ap 1 As 40 N Wc buttord Wp Ws Ap As s num den butter N Wc s omega 0 200 12000 pi h freqs num den omega gain 20 log10 abs h plot omega 2 pi gain xlabel FrequencyinHz ylabel GainindB 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 50 40 30 20 10 0 FrequencyinHz G a i n i n d B N 4Ap 0 1098dBAs 40 0000dB 2 切比雪夫 chebyshev 濾波器 切比雪夫多項(xiàng)式逼近 特點(diǎn) 誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化 巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的 如果階次一定 則在靠近截止頻率處 幅度下降很多 或者說 為了使通常內(nèi)的衰減足夠小 需要的階次 N 很高 為了克服這一缺點(diǎn) 采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的 切比雪夫?yàn)V波器的在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的 所以同樣的通帶衰減 其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小 可根據(jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量 波動范圍 提出要求 如要求波動范圍小于1db 振幅平方函數(shù)為 有效通帶截止頻率 與通帶波紋有關(guān)的參量 大 波紋大 0 1VN x N階切比雪夫多項(xiàng)式 定義為 如圖1 通帶內(nèi)變化范圍1 c 隨 c 0 迅速趨于零 當(dāng) 0時 N為偶數(shù) min N為奇數(shù) max 切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性 給定通帶波紋值分貝數(shù)后 可求 有關(guān)參數(shù)的確定 a 通帶截止頻率 c 預(yù)先給定b 通帶波紋為 c 階數(shù)N 由阻帶的邊界條件確定 A事先給定 MATLAB設(shè)計模擬typeIChebyshevfilter 例 設(shè)計滿足下列條件的模擬CBI型低通濾波器 fp 1KHz fs 5kHz Ap 1dB As 40dB Wp 2 pi 1000 Ws 2 pi 5000 Ap 1 As 40 N Wc cheb1ord Wp Ws Ap As s num den cheby1 N Ap Wc s omega WpWs h freqs num den omega fprintf Ap 4f n 20 log10 abs h 1 fprintf As 4f n 20 log10 abs h 2 omega 0 200 12000 pi h freqs num den omega gain 20 log10 abs h plot omega 2 pi gain xlabel FrequencyinHz ylabel GainindB Ap 1 0000As 47 8467 3 橢圓濾波器 考爾濾波器 特點(diǎn) 幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的 對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求 橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬 就這點(diǎn)而言 橢圓濾波器是最優(yōu)的 其振幅平方函數(shù)為RN L 雅可比橢圓函數(shù)L 表示波紋性質(zhì)的參量 N 5 的特性曲線可見 在歸一化通帶內(nèi) 1 1 在 0 1 間振蕩 而超過 L后 在間振蕩 這一特點(diǎn)使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù)橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)圖中 和A的定義同切比雪夫?yàn)V波器 r r 當(dāng) c r 和A確定后 階次N的確定方法為 式中 為第一類完全橢圓積分 MATLAB設(shè)計橢圓低通濾波器 N Wc ellipord Wp Ws Ap As s 確定橢圓濾