如何數(shù)復(fù)雜圖形中三角形個(gè)數(shù).doc

如何數(shù)復(fù)雜圖形中三角形的個(gè)數(shù)作者姓名：曾祥云 電子郵箱： QQ：164105250我們常常會遇到數(shù)一個(gè)圖中有多少個(gè)基本圖形的問題，比如一個(gè)圖中有多少個(gè)長方形、正方形、三角形等。對于長方形和正方形來說，由于規(guī)律性比較強(qiáng)學(xué)生覺得比較容易，但對于三角形則往往覺得比較復(fù)雜，有時(shí)甚至無從下手。拙文從有規(guī)律圖形和復(fù)雜圖形兩方面來探討數(shù)三角形個(gè)數(shù)的方法，重點(diǎn)通過一個(gè)實(shí)例展示數(shù)復(fù)雜圖形中三角形個(gè)數(shù)的一種方法。一、有規(guī)律圖形中三角形的個(gè)數(shù)的計(jì)算方法。如圖1所示，這種圖形中三角形的個(gè)數(shù)可用公式來表示，其中為BC上的頂點(diǎn)數(shù)。其實(shí)質(zhì)就是數(shù)BC邊上線段的條數(shù)，每條線段對應(yīng)一個(gè)三角形。圖2所示的圖形中三角形的個(gè)數(shù)則可以用來表示，的含義同上，為端點(diǎn)分別在AB和AC上的連線的數(shù)量。以上兩種情況比較常見，在后面的方法中也常常要用到。二、復(fù)雜圖形中三角形個(gè)數(shù)的計(jì)算方法。在圖3所示的圖形中，常用的方法是先按圖2的方法計(jì)算出有頂點(diǎn)在A的那部分三角形個(gè)數(shù)，再加上沒有頂點(diǎn)在A的三角形的個(gè)數(shù)。這樣圖3中三角形的個(gè)數(shù)為：對于圖4中有多少個(gè)三角形，則會讓人產(chǎn)生一種無從下手的感覺！對于這種圖形，我們可以采用一種暫且命名為“相關(guān)擦除法”的方法來計(jì)算，下面以圖4為例詳細(xì)介紹“相關(guān)擦除法”的使用方法。首先計(jì)算一個(gè)頂點(diǎn)在A的三角形的個(gè)數(shù)，也就是與A點(diǎn)相關(guān)的三角形的個(gè)數(shù)：（1）然后擦除原圖中其它部分與A點(diǎn)的連線，將它變成圖4-1，已擦除的連線用虛線表示，也就虛線應(yīng)視為不存在的線，只是為了便于聯(lián)系原圖而畫出來的，下同。上述個(gè)數(shù)加上圖4-1中三角形的個(gè)數(shù)就是圖4中所有三角形的個(gè)數(shù)。因?yàn)?，?）式中的三角形個(gè)數(shù)是與A點(diǎn)有關(guān)的，而圖4-1中三角形的個(gè)數(shù)則是原圖中與A點(diǎn)無關(guān)的。圖4-1中與B點(diǎn)相關(guān)的三角形的個(gè)數(shù)為：（2）計(jì)算出與B點(diǎn)有關(guān)的數(shù)據(jù)后就可以擦除與B點(diǎn)有關(guān)的連線，簡化成圖4-2。依此類推，計(jì)算與C點(diǎn)有關(guān)的三角形個(gè)數(shù)后，再變成圖4-3。由于圖4-2是一個(gè)不規(guī)則的圖形，其三角形的個(gè)數(shù)不方便用前面的公式來計(jì)算，因此，我們有必要找一種數(shù)三角形的方法，而不再是公式?？梢赃@樣數(shù)，從C點(diǎn)出發(fā)按順時(shí)針或逆時(shí)針方向，數(shù)一數(shù)一共可以構(gòu)成多少條三角形回路就行了。現(xiàn)在用逆時(shí)針方向來數(shù)，從C向A，第一條邊有2種選擇，分別有2條三角形回路，共4個(gè)三角形；再從C向D，第一條邊會有5種選擇，共有個(gè)三角形；再從C向E走，則有2個(gè)三角形。這樣，圖4-2中與C點(diǎn)相關(guān)的三角形個(gè)數(shù)為：（3） 圖4-3再去掉無三角形的相關(guān)點(diǎn)則變成了圖4-4。在圖4-4中，我們可以繼續(xù)用上述方法將圖形簡化下去，也可以直接數(shù)出個(gè)數(shù)。我們用前面的方法，得到圖4-4中與實(shí)線大三角形三個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)的三角形總數(shù)為：（4）并將圖簡單化為圖4-5。而圖4-5中三角形的個(gè)數(shù)為：4（5）由（1）（5）式，我們得圖4中三角形的總個(gè)數(shù)為： 上述做法只是為了用盡量少的步驟來完成計(jì)算，如果為了更加簡單地完成全部三角形的個(gè)數(shù)的計(jì)算，則可以從連線少的點(diǎn)進(jìn)行簡化，比如在計(jì)算與C點(diǎn)相關(guān)的三角形個(gè)數(shù)這一步，改為先計(jì)算與D或E點(diǎn)相關(guān)的三角形個(gè)數(shù)并擦除，再從某個(gè)連線較少的頂點(diǎn)來計(jì)算相關(guān)三角形個(gè)數(shù)并擦除這樣的步驟可能會多一些，