空間向量與立體幾何基礎(chǔ)知識.doc

空間向量與立體幾何基礎(chǔ)知識 本單元是全章的重點，主要學習空間向量及其在立體幾何中的初步應(yīng)用，共有4個知識點：空間向量及其線性運算、共線向量與共面向量、空間向量的分解定理、兩個向量的數(shù)量積. 本單元的重點是：空間向量的運算和運算律；空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點的向量公式；空間向量基本定理及其推論；兩個向量的數(shù)量積的計算方法及其應(yīng)用；空間右手直角坐標系；向量的坐標運算和向量的夾角公式、距離公式. 本單元的難點有：理解與運用空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點的向量公式；空間作圖；兩個向量數(shù)量積的幾何意義以及把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量計算問題；向量坐標的確定和向量夾角公式、距離公式的應(yīng)用等. 本單元把空間的平行(平移）性質(zhì)轉(zhuǎn)為向量表達式（共線、共面向量定理、向量數(shù)量積運算）和向量運算，使學習重點轉(zhuǎn)到使用向量代數(shù)方法解決立體問題上來，這旨在培養(yǎng)使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題的能力. 在第一單元空間平行（平移）概念的基礎(chǔ)上，引入向量來解決立體幾何問題，是綜合推理訓(xùn)練轉(zhuǎn)向代數(shù)推理訓(xùn)練，即用代數(shù)方法來研究解決立幾問題，因此，要重視空間向量的概念、運算方法及其應(yīng)用，側(cè)重掌握向量這一工具的性質(zhì)和用途. 本單元所學的空間向量的知識容量大, 涉及的概念多, 公式多，因此，要抓住空間向量與平面向量之間存在的類似關(guān)系，能通過類比、比較，將所學的平面向量知識推廣到空間，并通過應(yīng)用逐步理解與掌握. 本單元的主要知識有：1共線向量共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b (b 0 ), ab的充要條件是存在實數(shù) l使a = lb.推論：如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a 的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充分條件是存在實數(shù)t，滿足等式=+ta. 其中向量a叫做直線l的方向向量，等式=+ta稱為空間直線的向量參數(shù)表示式，若在l上取= a，則等式可化為=（1 t )+t.2共面向量稱平行于同一平面的向量為共面向量. 共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量p與向量a,b 共面的充要條件是存在實數(shù)對x,y，使p = xa + yb. 推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x, y，使= x+ y或?qū)臻g任一點O，有=+ x+ y.3空間向量基本定理定理：如果三個向量a，b ,C 不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y , z, 使p = xa + yb + zc.該定理表明：在空間，任意一個向量都可以由三個不共面的向量表示（生成）， a ，b ，c叫做空間的一個基底，a ，b ，c都叫基向量. 推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x, y , z，使= x + y + z.4. 兩個向量的數(shù)量積空間兩個向量非零向量a，b 的夾角定義與平面向量類似，但記作，通常規(guī)定0 p. 空間兩個非零向量a，b 的數(shù)量積定義與平面向量也類似，但表達形式略有不同. ab = |a|b |cos.當= 時，稱向量a 與 b互相垂直，記作a b. 空間兩個向量的數(shù)量積有類似于平面向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律. 5空間向量的坐標運算 與平面向量的坐標運算類似，引入空間向量的坐標運算. 取空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫單位正交基底，常常用 i ，j ，k 表示； 在空間取右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向的右手直角坐標系，設(shè)原點為O； 在右手直角坐標系中，取一個單位正交基底 i ，j ，k ，使基向量 i ，j ，k 的方向分別為x, y , z軸的正方向，由空間向量的基本定理可得：給定空間任意向量a, 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組( a1 , a 2 , a 3）使a= a1i + a 2 j + a 3k ，有序數(shù)組( a1 , a 2 , a 3）叫做向量a在空間直角坐標系中的坐標，可簡記為a = ( a1 , a 2 , a 3）. 對空間任一點A，對應(yīng)一個向量，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y , z使= xi + yj + zk . 在單位正交其底i ，j ，k 中與向量 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（ x , y , z )，叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A（x , y , z ), 其中x, y , z 分別叫做點A的橫坐標，縱坐標與堅坐標. 設(shè)a = ( a1 , a 2 , a 3）， b= ( b1 , b 2 , b 3）, 則有 ab = ( a1b1 , a 2b2 , a 3b 3 ); la = ( la1 , la 2 , la 3） (l R) ; ab = a1b 1 + a 2b2 + a 3b 3 ; ab a1 = lb 1 , a 2= lb2 , a 3 = lb 3(l R), 或=； a b a1b 1 + a 2b2 + a 3b 3 = 0 |a| = ; cos =. 在空間直角坐標系中，若設(shè)A ( a1 , a 2 , a 3），B ( b1 , b 2 , b 3），則AB兩點之間的距離d A, B = .7. 平面的法向量垂直于平面的向量稱為平面的法向量，即若向量a平面a, 則a稱為a的法向量. 例題解析（例1）例1 設(shè)O為空間任意一點, 點G是ABC的重心, 設(shè)= a , = b , = c, 求證: =(a + b + c). 證: 如圖，設(shè)AM是ABC的一條中線, 則 = = (+)=(b a + c a). =+= a + = a +(b a + c a ) =(a + b + c). 說明 本題解決是空間問題, 但所用的則是平面向量的知識, 將空間問題分解為幾個平面問題, 并在各個平面內(nèi)分別使用平面向量知識，綜合起來達到解決問題的目的，這是用向量知識解決空間問題的基本思路之一. 例2 求證：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行. （例2）已知 如圖，AAa，BBb，A, B分別為垂足，求證：AABB 證：在平面a內(nèi)過點A作互相垂直的向量，作基底向量，用基底表示得：= x+y+z （ x, y , z R),= x+y+z (1), = x+y+z (2). BBAC, BBAD, AAAC, AAAD,=0, = 0, = 0, = 0.代入（1）（2）得x = 0, y = 0, = z, AABB. 說明 由空間不共面的三個向量構(gòu)成一個基底，則空間任意一個向量均可用這個基底表示（生成），這是空間向量基本定理的作用，也是解決本題的突破口.兩條向量(直線)垂直對應(yīng)向量數(shù)量積為零, 為運用這個條件，需要在等式= x+y+z兩邊同時 “點乘”、，這一方法在高一推導(dǎo)余弦定理時曾經(jīng)接觸過，也是解決本題的關(guān)鍵.例3 已知向量 a = ( 2 , 2, 1)，求與a平行的向量的單位向量. 分析：設(shè)與a平行的單位向量為a0，則有 a = | a |a0， | a | = = 3, a0 = (,)或a0 = (,). 注意 與向量a平行的向量的方向有兩個，故需要添“”號.例4 已知向量a = ( 4 , 3 , 2 ), 向量b與三坐標軸成相等的銳角, 求向量a在向量b上的射影. 解: 設(shè)向量b與三坐標軸所成的角均為a, 由3cos2 a= 1, 得cosa = , a為銳角, cosa = , b的單位向量b 0 = (, , ). 向量a在向量b上的射影 a b0 = + = .說明 設(shè)向量a與b的夾角為q，則向量a在向量b上的射影等于| a |cosq. 又設(shè)向量b的單位向量為b0，則有b = | b|b0，則a b0 = a =| a |b |cosq = | a |cosq, 因此有“向量a在向量b上的射影為 a b0”的結(jié)論. 理解這個結(jié)論有助于提高解題速度. 例5 設(shè)點O為空間任意一點，點A，B，C是空間不共線的三點，又點P滿足等式：= x + y + z, 其中x, y , z R, 求證： P，A，B，C四點共面的充要條件是x + y + z = 1. 分析：需要分兩方面來證，必要性即證: 若x + y + z = 1，則P，A，B，C四點共面，充分性即證: 若P, A, B, C四點共面, 則有 x + y + z = 1.必要性證明考慮到x + y + z = 1可以減少一個變量, 而O點可以通過向量減法消去,從而由向量共面定理獲證. 充分性只需證向量= l+m (l , m R ), 注意到點O的作用, 故有= 等,證: 先證必要性: x + y + z = 1, z = 1 x y , = x + y + ( 1 x y ) = x ( ) + y ( ) + = x + y+ . 即= x + y, 由共面向量定理知P, A, B , C四點共面. 再證充分性: 設(shè)x + y + z = k, 由條件 = x + y + z,得: = x + y + ( k x y ) = x() + y() + k = x() + y() + + (k 1) . = x() + y() + (k 1),即= x+ y+ (k 1), P, A, B , C四點共面, 點O為空間任意一點, 只能k = 1, 即x + y + z = 1.綜合上述, 命題成立. 說明 本例所證的是一個用空間向量解決立幾問題時常用的結(jié)論.例6 設(shè)有一個質(zhì)點位于P1 ( 1 , 3, 2)處, 現(xiàn)有大小為200g, 方向向量為 (cos60, cos60, cos45)的力作用于該點. 求該質(zhì)點由P1位移到P2 ( 3 , 4 , 2 + 2)時, 力所作的功(長度單位為cm).分析：設(shè)P1到P2的位移為, 那么力所作的功為W = . 解: 力的方向向量= ( cos60, cos60, cos45) = (,) ，而 | = 200, 且有= |= 200. = (100, 100, 100), 又 = ( 3 1 , 4 3 , 2 + 2 +2 ) = ( 2, 1 , 2).W = = 200 + 100 + 400 = 700 ( g cm ) .例7設(shè)以空間直角坐標系的原點O為始點的向量= a與x軸，y軸，z軸的交角分別為a，b，g，稱l= cosa , m = cosb , n = cosg, 為向量a 的方向余弦，試證：l2 + m2 + n2=1.分析：即證：cos2a + cos2b + cos2g = 1, 因此如何表示出cosa, cosb, cosg 是關(guān)鍵，注意到I = = | I |cosa, 若設(shè)= a =（a1 , a2 , a3 ) , 則有a1 1+ a20+ a30= |a |coaa ， 可得coaa = a1 , 同理可得coab， coag.證：設(shè)x, y , z上的單位向量分別為： I = (1,0,0) , j = ( 0,1,0 ) , k = (0 , 0 ,1)(例7） 又設(shè)= a =（a1 , a2 , a3 ) ，由i = |a | | i| cosa = |a |coaa, 得 a1 1+ a20+ a30= |a |coaa , a1= |a |coaa , coaa = a1 ,同理 coab = a2 , coag = a3 . cos2a + cos2b + cos2g = ( a12+ a22+ a32)= =1 即l2 + m2 + n2=1.請思考：若題設(shè)條件改為： 設(shè)以空間直角坐標系的原點O為始點的向量= a與x軸，y軸，z軸的交角分別為a，b，g，令l = pcosa , m = pcosb , n = pcosg. 則可證得什么結(jié)論？課堂訓(xùn)練1設(shè)a = ( 3, 2 , 4 ), b = ( 2 , 0 , 1 ), c = ( 1, 1, 2 ). 則 3a 4b 2c等于 （ A ） (A) ( 3, 8 , 4 ). (B) (4, 1, 6 ) . (C) (3, 4, 4 ). (D) (1, 8, 4).（第3題）2給定點A ( 3, 1, 0 )和向量= ( 2, 5 , 3), 則點B的坐標是 ( B ). (A) ( 1, 6, 3). (B) ( 5 , 4 , 3) . (C) (1, 6, 3) . (D) ( 2, 5, 3) .3如圖ABCD A1B1C1D1是平行六面體，給出下列命題: (1) = +. (2) = +.(3) = +. (4) = +. 其中真命題的個數(shù)是 ( A ) (A)4 (B)3 (D)2 (D)14在平行六面體ABCD A1B1C1D1中, 必有 ( C ) (A) = . (B) + = 0.(C) + = +. (D) + = + .（第5題）5如圖：已知ABCD是平行四邊形，點O為空間任意一點，設(shè)= a，= b ，= c ， 則向量用a、b、 c表示為 （ A ）. （A）a b + c. （B）a b c. (C) a b + c . (D) a+ b c.6已知三個力= ( 1, 2 , 1 ), = (1, 2, 3 ), = ( 2, 2, 1), 則這三個力的合力為 ( A ). (A) (2, 2, 3 ). (B) ( 0 , 0 , 0 ). (C) . (D) 0.7在下列給出的各組向量中, 向量a與b共線的一組是 ( C ) (A) a = ( 1, 3, 2 ), b = (3, 2 , 1 ). (B) a = ( 4, 12, 3 ), b = (1, 3 , 1 ) . (C) a = ( 1, 1, 2 ), b = (, 1 ). (D) a = (, 3), b = (,). 8已知向量 a = ( 2, 5, 4 ), b = (6, 0 , 3 ) , 則的值等于 ( B )(A). (B). (C) . (D) .9已知向量a = 8i + 3k ，b = i + 5j 4k , 則ab 等于 ( A ) (A) 20 . (B) 7 . (C) 11. (D) 23 . 10已知a=（1, 2, 3 ) , b = ( 3, 0 , 1), c = (, 1, ), 則在以下結(jié)論中：（1）| a + b + c |=| a b c | ； （2）（a + b + c = a2 + b 2+ c 2；（3）（ab）c = a （bc）； （4）（a + b）c a（b c）, 不正確的有（ A ）. （A）4個. （B）3個 . （C）2個 . （D）1個.11已知向量a= ( 2, 4, 3 ), b = ( 7 , 1, 2), 則a b = ( 5, 3 , 5) .12已知點O是正方體ABCD A1B1C1D1的中心, 若= a，= b, = c，則= ( a+b +c) . 13已知ABCD A1B1C1D1是平行六面體, 若= a，= b, = c，則= b+ c a . 14已知向量a = ( 8, 4, 1 ), b = (2 , 2 , 1 ),.則的值等于 arccos .15平行六面體ABCD A1B1C1D1中，AB = AD = AA1 = 1，BAD = BAA = DAA = 60，則AC1的長度等于 .16已知點P ( 2, 5, 3), 求(1) 點P在三坐標軸上射影的坐標;(2) 點P在坐標面xOy, yOz, zOx上射影的坐標. ( (1) x軸 ( 2, 0 , 0 ); y軸( 0 , 5, 0 ); z軸 ( 0 , 0 3 ). (2) xOy: ( 2 , -5, 0 ); yOz : ( 0 , 5,3); zOx: ( 2 , 0 , 3 ). )17用向量證明頂點為A (5 , 2 , 1), B ( 1 , 3. 4 ), C 9 2 , 1 , 3 ), D ( 2 , 6 , 2)的四邊形是平行四邊形. 18空間四邊形OABC中，M，N分別是邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG = 2GN，用基底，表示向量.（ =+ ）19(1)已知|a | = 3, | b | = 2, = , 求a b . ( 3 )(2) 已知a = ( 1, 3, 5 ), b = ( 1, 3, 4 ), 求a b . ( 10 )課后練習1已知a = ( 2, 1, 2 ), b = (2, 2 , 1 ), 則以a, b 為鄰邊的平行四邊形的面積是 ( C ) (A) . (B). (C) 4 . (D) 8.2在單位正交基底 i ，j ，k 下, 點A ( 2, 3, 1), 且存在唯一的有序?qū)崝?shù)組( 7, 2, 3)使得向量= 7i 2 j + 3k，則向量= ( A ) (A) ( 9 , 5 , 2 ). (B) (9, 5 , 1 ). (C) (2, 3, 1 ). (D) ( 7, 2, 3 ).3若向量a = ( 1, l, 2 ), b = (2, 1, 2 ), cos = , 則實數(shù)l的值為 ( D ) (A) 2. (B) 2. (C)2或. (D) 2或 .4下列各組向量中, 向量a , b, c 共面的一組是 ( B ) (A) a = ( 4, 2, 1 ), b = (1, 2 , 2 ), c = ( 1, 1 ; 5 ). (B) a = ( 1, 2, 3 ), b = (2, 4 , 6 ) , c = ( 1, 0 ; 5 ).(C) a = ( 0, 0, 1 ), b = (1, 0 , 0 ), c = ( 0, 1 ; 0 ).(D) a = ( 2, 3, 1 ), b = (3, 2 , 2 ), c = ( 1, 0 ; 2 ).5已知非零向量 m= ( a2 , 2 , a2 + c2 ) , n = ( b2, a2b, 1 ) , 則mn的充要條件是 ( C ) (A) a = c = 0且b = 1. (B) a = 0或c = 0 且b = 1. (C) a = 0或b = 1且c = 0 . (D) c = 0或b = 1且a = 0.6如圖, ABCD A1B1C1D1是平行六面體，則下列錯誤的一個命題是( B )（第6題） (A) 存在唯一的實數(shù)對(x, y )使得 = x+y. (B) 存在唯一的實數(shù)對(x, y )使得 = x+y.(C) 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組( x, y , z ), 使得= x+y+z.(D) 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組( x, y , z ), 使得= x+y+z.7已知向量a = (1