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安徽省阜陽(yáng)市第三中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次調(diào)研考試試題 理一、單選題（每小題5分，共計(jì)60分）1命題“(0，+)，”的否定為（ ）A.(0，+)，B.(0，+)，C.(-，0，D.(-，0，2若復(fù)數(shù)，則（ ）A.B.C.D.3若, 則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4函數(shù)與兩條平行線，及軸圍成的區(qū)域面積是（ ）A.B.C.D.5若曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A.B.C.D.6函數(shù)的圖象大致是（ ）A.B.C.D.7觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（ ）A3125B5625C0625D81258已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）A.B.C.D.9若與有兩個(gè)公共點(diǎn)，則范圍為（ ）A. B. C. D.10多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標(biāo)系，已知、.若為平行四邊形，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）ABCD11點(diǎn)、為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，、為橢圓短軸的端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，若面積的最大值為8，面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（ ）A.B.C.D.12如圖，已知直線：與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足，則的值是（ ）A B C D二、填空題（每小題5分，共計(jì)20分）13已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值為_14設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則_15已知橢圓，雙曲線.若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓與雙曲線的離心率之積為_16若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_三、解答題（17題10分，其他每題各12分，共計(jì)70分）17設(shè)aR，函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a.（1）求f(x)的極值；（2）若x-1，2，求函數(shù)f(x)的值域.18（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）用反正法證明：已知，且，求證：和中至少有一個(gè)小于19已知點(diǎn)滿足,設(shè)點(diǎn)M的軌跡是曲線C（1）求曲線C的方程（2）過點(diǎn)且斜率為1的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A,B,求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積.20已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明：.21如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，.（1）證明：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長(zhǎng).22如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C:經(jīng)過點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓C與A、B兩點(diǎn)(A在軸下方). (1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)M、N，求的值；(3)記直線與軸的交點(diǎn)為P，若，求直線斜率的值.2019-2020學(xué)年度阜陽(yáng)三中高二二調(diào)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第I卷（選擇題)一、單選題1命題“(0，+)，”的否定為（ ）A.(0，+)，B.(0，+)，C.(-，0，D.(-，0，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，以及量詞和不等號(hào)的變化，即可得到所求命題的否定【詳解】解：由特稱命題的否定為全稱命題，可得命題“(0，+)，”的否定為“(0，+)，”，故選：【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，注意特稱命題的否定為全稱命題，以及量詞和不等號(hào)的變化，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題2若復(fù)數(shù)，則（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出，利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出【詳解】因?yàn)楣蔬x：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則的應(yīng)用以及共軛復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用3若, 則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證方程滿足雙曲線的要求，充分性得證；根據(jù)，可求得當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)的取值范圍，得到必要性不成立，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，則方程表示雙曲線，充分條件成立；若方程表示雙曲線，則，解得：或必要條件不成立綜上所述：“”是“方程表示雙曲線”的充分而不必要條件故選：【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，關(guān)鍵是能夠明確方程表示雙曲線的基本要求，屬于基礎(chǔ)題.4函數(shù)與兩條平行線，及軸圍成的區(qū)域面積是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)定積分的幾何意義直接求出在區(qū)間的定積分，即可得出答案?！驹斀狻?故選B【點(diǎn)睛】本題考查定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題。5若曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，取切線斜率列方程，求解參數(shù)，再求解單調(diào)區(qū)間?！驹斀狻浚髮?dǎo)解得，則當(dāng)時(shí)，。則的單調(diào)遞增區(qū)間是。故選A【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率。已知兩點(diǎn)坐標(biāo)也可求斜率。本題還考察了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用。6函數(shù)的圖象大致是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行排除，即可得到函數(shù)的圖象【詳解】當(dāng)x0， g(4)=0，即f（x）0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，當(dāng)x（，+），g(x)0，即f（x）0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，B不正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，一般通過函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)以及變化趨勢(shì)判斷7觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（ ）A3125B5625C0625D8125【答案】D【解析】【分析】先求，尋找周期性規(guī)律，結(jié)合周期可求.【詳解】可以看出后四位呈周期出現(xiàn)，且周期為4，所以的末四位數(shù)字為8125，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，一般是利用所給項(xiàng)的特點(diǎn)推測(cè)目標(biāo)項(xiàng)的特點(diǎn),注意規(guī)律的總結(jié).8已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法得，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得，解方程組得，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，則的中點(diǎn)為，由且，得 ， ，即，聯(lián)立，解得，故所求雙曲線的方程為故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.9若與有兩個(gè)公共點(diǎn)，則范圍為（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得有兩個(gè)根，等價(jià)于有兩個(gè)根，令，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，通過和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可得出的范圍.【詳解】若與有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，等價(jià)于，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標(biāo)系，已知、.若為平行四邊形，則點(diǎn)到平面的距離為ABCD【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，結(jié)合，利用空間向量夾角余弦公式求出與所求法向量的夾角余弦，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，為平行四邊形， 由得，設(shè)為平面的法向量，顯然不垂直于平面，故可設(shè)，即，所以，又，設(shè)與的夾角為，則，到平面的距離為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)面距離，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.11點(diǎn)、為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，、為橢圓短軸的端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，若面積的最大值為8，面積的最小值為1，則橢圓的離心率為A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求得定點(diǎn)M的軌跡方程，可得，解得a，b即可.【詳解】設(shè)，.動(dòng)點(diǎn)滿足，則，化簡(jiǎn)得.面積的最大值為8，面積的最小值為1，解得，橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率，動(dòng)點(diǎn)軌跡的求解方法，考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題12如圖，已知直線：與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足，則的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程可知直線恒過定點(diǎn)，過A、B分別作于M，于N，根據(jù)，推斷出，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，進(jìn)而可知，由此求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可得，最后利用點(diǎn)B在直線上求得直線的斜率【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為，直線恒過定點(diǎn)，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，則，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為把代入直線，解得故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查直線斜率的計(jì)算，屬于中檔題第II卷（非選擇題)請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明二、填空題13已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則的值為_.【答案】4【解析】【分析】利用向量共線定理即可得出【詳解】解：，存在實(shí)屬使得解得：。故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題14設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則_【答案】.【解析】【分析】根據(jù)平面和空間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形的面積類比立體圖形的體積，結(jié)合三角形面積的求法求出三棱錐的體積，進(jìn)而求出內(nèi)切球的半徑為.【詳解】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個(gè)面的距離都為，所以四棱錐的體積等于以為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的四個(gè)小三棱錐的體積之和，則四面體的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查了類比推理.類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知一類的數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去.15已知橢圓，雙曲線.若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓與雙曲線的離心率之積為_【答案】【解析】【分析】利用條件求出正六邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率，利用漸近線的夾角求雙曲線的離心率，從而得出答案?！驹斀狻咳鐖D正六邊形中，直線即雙曲線的漸近線方程為，由橢圓的定義可得，所以橢圓的離心率，雙曲線的漸近線方程為，則，雙曲線的離心率，所以橢圓與雙曲線的離心率之積為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和離心率，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于一般題。16若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由，利用導(dǎo)數(shù)再分情況討論當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)函數(shù)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，要使，則只需，求得，由， 當(dāng)時(shí)，即函數(shù)為減函數(shù)，即，要使，則只需，即，當(dāng)時(shí)，有，即函數(shù)為增函數(shù)，要使，則只需，即，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即，要使，則只需，即，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬綜合性較強(qiáng)的題型.三、解答題17設(shè)aR，函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a.（1）求f(x)的極值；（2）若x-1，2，求函數(shù)f(x)的值域.【答案】（1）極大值是，極小值是（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，先求導(dǎo)數(shù)得，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求函數(shù)f(x)的值域；（2）函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較端點(diǎn)值及極值即可，結(jié)合（1）運(yùn)算端點(diǎn)值及極值，再比較大小即可得解.【詳解】解:（1），若，則當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：x1+0-0+極大值極小值所以的極大值是，極小值是 （2）因?yàn)椋桑?）知，函數(shù)在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)， 又，易得， ，則的值域?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，主要考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.18（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（2）已知，且，求證：和中至少有一個(gè)小于【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）先驗(yàn)證當(dāng)時(shí)成立，假設(shè)時(shí)等式成立，再證明當(dāng)時(shí)成立即可；（2）假設(shè)，由不等式運(yùn)算及性質(zhì)推出矛盾即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊假設(shè)時(shí)等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，等式成立綜上，（2）假設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，故，這與矛盾，所以原假設(shè)不成立，故和中至少有一個(gè)小于【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法及反證法證明，熟記證明步驟，準(zhǔn)確推理是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題19已知點(diǎn)滿足,設(shè)點(diǎn)M的軌跡是曲線C（1）求曲線C的方程（2）過點(diǎn)且斜率為1的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A,B,求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，以及式子的意義，可以判斷出點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，從而求得，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求得，利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由已知得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線所以曲線的方程為（2）聯(lián)立得.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)定義求曲線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)三角形的面積公式，屬于簡(jiǎn)單題目.20已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)式子進(jìn)行因式分解，結(jié)合函數(shù)的定義域，對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行討論，從而利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值，根據(jù)函數(shù)的最小值大于等于零，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上遞減，在遞增時(shí)，在上遞增，在遞減（2）設(shè)則，時(shí)，遞減，遞增，設(shè)，,則時(shí)，時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，即【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，注意分類討論思想的應(yīng)用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，注意構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合最值得到結(jié)果.21如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，.（1）證明：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在四棱錐中， 平面，得到，由四邊形為直角梯形，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到（2）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解（3）由（2），設(shè)，利用換元法求得，結(jié)合在上的單調(diào)性，即可計(jì)算得到結(jié)論【詳解】（1）由題意，在四棱錐中，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又由四邊形為直角梯形，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得,由題意，可得，又由，可得平面，所以是平面的一個(gè)法向量，又由，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，所以，所以平面與平面所成二面角的余弦值為（3）由（2）可得，設(shè)，又，則，又，從而，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線與所成的角取得最小值，又因?yàn)?，所? 【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直及線面的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在軸上的鞘園C:經(jīng)過點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓C與A