高二數(shù)學(xué)直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程知識(shí)精講人教實(shí)驗(yàn)B

高二數(shù)學(xué)直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程知識(shí)精講一. 本周教學(xué)內(nèi)容：3.2.1 直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示二. 教學(xué)目的：1、掌握用向量表示直線(xiàn)的方法及確定點(diǎn)在直線(xiàn)上的位置的方法；會(huì)用向量的方法證明線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行；能通過(guò)向量計(jì)算求證兩條直線(xiàn)垂直或求兩條直線(xiàn)所成的角。2、（1）理解平面的法向量的概念，并會(huì)求平面的法向量；（2）了解平面法向量的應(yīng)用，并能用法向量論證相關(guān)的立體幾何問(wèn)題；（3）掌握正射影的概念，并能作出簡(jiǎn)單圖形F在某一平面內(nèi)的正射影F0，并說(shuō)出其圖形的形狀；（4）掌握三垂線(xiàn)定理及其逆定理，并能應(yīng)用此定理解題。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：（1）直線(xiàn)的方向向量，平行關(guān)系的論證，用向量運(yùn)算求證兩條直線(xiàn)垂直或求兩條直線(xiàn)所成的角。（2）平面法向量的概念及其應(yīng)用，正射影的概念，三垂線(xiàn)定理及逆定理；難點(diǎn)：（1）直線(xiàn)的方向向量，平面的共面向量的選取及其表示。 （2）對(duì)平面法向量的理解及靈活運(yùn)用，三垂線(xiàn)定理的證明思路及三垂線(xiàn)定理的應(yīng)用。四. 知識(shí)分析321 直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的向量方程1、思考：如何確定空間中的點(diǎn)的位置？分析：確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置，通常采用兩個(gè)方法“平面直角坐標(biāo)系”或“該點(diǎn)相對(duì)于某一已知點(diǎn)的方向及距離”。那么，空間內(nèi)呢？我們也可以用“該點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系（x，y，z）”或“在空間中該點(diǎn)相對(duì)于某一已知點(diǎn)的方向及距離”來(lái)描述。注意：兩個(gè)詞“方向”、“距離”，給我們什么啟示？結(jié)論：在空間我們可以用向量確定空間一點(diǎn)的位置或點(diǎn)的集合?！疚恢孟蛄俊?已知向量，在空間固定一個(gè)基點(diǎn)O，再作向量，則點(diǎn)A在空間的位置就被向量所惟一確定了。這時(shí)，我們稱(chēng)這個(gè)向量為位置向量。注：“基點(diǎn)”是必需的；相對(duì)于確定的基點(diǎn)來(lái)說(shuō)，空間內(nèi)的點(diǎn)與向量有了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。2、思考：如何確定空間中的直線(xiàn)？分析：在平面內(nèi)確定直線(xiàn)通常采用的是“點(diǎn)向”和“兩點(diǎn)”，那么空間中呢？探究：通過(guò)實(shí)際觀察，在空間中我們?nèi)耘f可以采用“點(diǎn)向”或“兩點(diǎn)”來(lái)確定直線(xiàn)。問(wèn)題是如何操作呢？方案：求軌跡的一般步驟（1）點(diǎn)向：過(guò)點(diǎn)A，且平行于向量 設(shè)P為直線(xiàn)上任一點(diǎn)，則有，故存在，使 ，這樣直線(xiàn)上每一個(gè)點(diǎn)P都與惟一的一個(gè)實(shí)數(shù)t相對(duì)應(yīng)，向量方程就是過(guò)A且方向向量為的直線(xiàn)的參數(shù)方程，每一個(gè)確定的t都對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)Pl。這個(gè)方程也可以表示成（直線(xiàn)的點(diǎn)向式參數(shù)方程）這個(gè)方程的幾何意義如圖1所示。（2）兩點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B （可以看成過(guò)點(diǎn)A，方向向量為） 這樣，我們可得方程（兩點(diǎn)式） 這個(gè)方程的幾何意義如圖2所示。探究：觀察到方程中的系數(shù)滿(mǎn)足1 t t 1, 這與點(diǎn)A , P , B三點(diǎn)共線(xiàn)有關(guān)系嗎？（1）若令t0或1，則點(diǎn)P在直線(xiàn)AB的什么位置？（2）若令t或2，則點(diǎn)P在直線(xiàn)AB的什么位置？（t時(shí)得出線(xiàn)段AB中點(diǎn)的向量表達(dá)式）（3）若令t或3，則點(diǎn)P在直線(xiàn)AB的什么位置？（4）若令t1，則點(diǎn)P在直線(xiàn)AB的什么位置？【應(yīng)用基礎(chǔ)】1、怎樣用向量的方法證明線(xiàn)線(xiàn)平行？分析：設(shè)直線(xiàn)l1的方向向量為，直線(xiàn)l2的方向向量為，則由向量共線(xiàn)的條件得：（或l1與l2重合）2、怎樣用向量的方法證明線(xiàn)線(xiàn)垂直？分析：設(shè)直線(xiàn)l1的方向向量為，直線(xiàn)l2的方向向量為，則有（3、怎樣用向量的方法求兩直線(xiàn)的夾角？分析：考慮到兩向量夾角與兩直線(xiàn)夾角定義的區(qū)別,有 4、怎樣用向量的方法證明線(xiàn)面平行？分析：已知兩個(gè)不共線(xiàn)向量，與平面共面，一條直線(xiàn)l方向向量為，則由共面向量定理，可得：l/或l在內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使另外，如果A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，則點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)的充分必要條件是，存在一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使向量表達(dá)式成立。322 平面的法向量與平面的向量表示1、平面法向量的定義：已知平面，如果向量的基線(xiàn)與平面垂直，則就叫做平面的一個(gè)法向量或說(shuō)向量與平面正交。2、平面法向量的性質(zhì)：平面的一個(gè)法向量垂直于與平面共面的所有向量；一個(gè)平面的所有法向量共線(xiàn)（或平行）3、怎樣求平面的法向量？首先我們利用向量的方法證明線(xiàn)面垂直判定定理，證明中一定要注意共面向量定理的應(yīng)用?！揪€(xiàn)面垂直判定定理】如果一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面已知a, b是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，且直線(xiàn)na，nb（如圖）求證：n.證明：設(shè)m是內(nèi)的任一條直線(xiàn)。在n，a，b，m上分別取非零向量。因?yàn)閍與b相交，由共面向量定理可知，存在惟一的數(shù)對(duì)(x，y)，使，由已知條件，可推知.因此，得nm.因?yàn)橹本€(xiàn)n垂直于平面內(nèi)的任一直線(xiàn)，所以直線(xiàn)n垂直于平面。線(xiàn)面垂直判定定理啟發(fā)我們，如果已知兩個(gè)不共線(xiàn)向量，與平面共面，那么我們只要找到一個(gè)向量與向量，都垂直，則向量就是平面的一個(gè)法向量。舉例如下： 例1. 已知點(diǎn)A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c），其中abc0，如圖所示，求平面ABC的一個(gè)法向量。解：由已知可得（0，b，0）（a，0，0）（a，b，c），（0，0，c）（a，0，0）（a，0，c）。設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則由，解得不妨令，則因此，可取（bc，ac，ab）為平面ABC的一個(gè)法向量。4、借助平面的法向量判斷兩平面的平行與垂直 設(shè)分別是平面的法向量，則有或與重合5、平面的向量表示探究：我們知道，在空間中過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直，那么過(guò)一點(diǎn)有幾個(gè)平面與已知向量垂直呢？（結(jié)論：有且只有一個(gè)）問(wèn)題：過(guò)點(diǎn)A與向量垂直的平面該如何表示呢？分析：我們不妨仿照求曲線(xiàn)方程的一般步驟，用“求平面方程的一般步驟”來(lái)試試。過(guò)程：設(shè)點(diǎn)M為平面上任一點(diǎn)，則向量于是就應(yīng)有。這個(gè)式子就是平面的一個(gè)向量表示式，我們也可以把它看成是平面的一個(gè)向量方程。6、三垂線(xiàn)定理已知平面和一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作平面的垂線(xiàn)l與平面相交于點(diǎn)，則就是點(diǎn)A在平面內(nèi)的正射影，以下簡(jiǎn)稱(chēng)射影由上述定義可知，平面內(nèi)的任一點(diǎn)在內(nèi)的射影都是它自身圖形F上所有的點(diǎn)在平面內(nèi)的射影所成的集合，叫做圖形F在平面內(nèi)的射影（如圖）如果一條直線(xiàn)AB和平面相交于點(diǎn)B，但不和平面垂直，那么直線(xiàn)AB叫做這個(gè)平面的斜線(xiàn)斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)B叫做斜足，斜線(xiàn)上一點(diǎn)A與斜足B之間的線(xiàn)段叫做斜線(xiàn)段AB【三垂線(xiàn)定理】如果在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)與平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線(xiàn)垂直已知：AB，AC分別是平面的垂線(xiàn)和斜線(xiàn)，BC是AC在平面內(nèi)的射影，求證：證明：取向量，因?yàn)樗?又因?yàn)?所以因此, 得.類(lèi)似地可以證明：【三垂線(xiàn)定理的逆定理】如果平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，則它也和這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直想一想，如果在三垂線(xiàn)定理中，已知條件改為：直線(xiàn)l / 平面，并且直線(xiàn)l垂直于斜線(xiàn)AC在平面內(nèi)的射影BC，直線(xiàn)l是否還垂直于斜線(xiàn)AC？注意：三垂線(xiàn)定理與它的逆定理的區(qū)別。例1. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，且底面ABCD,PD與底面成30角，E為垂足。（1）求證：（2）求異面直線(xiàn)AE與CD所成角的大小。解析：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在的直線(xiàn)為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖，則A(0，0，0)、B(a，0，0)、C(a，a，0)、D(0，2a，0)。底面ABCD，是PD與底面ABCD所成的角。過(guò)E作EFAD于F，那么在RtAEF中，于是（1）（2）設(shè)與的夾角為，則即AE與CD所成角的大小為。點(diǎn)評(píng)：恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確地求出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，采用向量的數(shù)量積運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵。例2. 如圖，已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D不共面，而AEEB，BFFC，CGGD，DHHA，（1）用向量證明：E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）用向量證明：BD/面EFGH；（3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O有解析：證明：（1）連結(jié)BG則由共面向量定理推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面。（2）EH/BD又面EFGH，BD面EFGH。BD/面EFGH。（3）連OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG。由（2）知同理EG、FH交于一點(diǎn)M且被M平分點(diǎn)評(píng)：注意證明線(xiàn)面平行的向量方法。例3. 已知三個(gè)非零向量，且p，q，r不全為零，求證：、共面。解析：（1）若共面，設(shè)該平面為。考慮到，同理共面。（2）若不共面，則向量 所以p, q , r 不全為零，不妨設(shè)r0，則，于是、共面。點(diǎn)評(píng)：證明三向量共面的理論是共面向量定理，簡(jiǎn)記為其中一個(gè)向量可用其余兩個(gè)向量線(xiàn)性表示出來(lái)，如（2），難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)例4. 正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，求平面ADB1的一個(gè)法向量。解析：建立如圖所示坐標(biāo)系。從而A(1，0，0)，B(0，0，0)，C(1，1，1)，D(1，1，0)那么設(shè)是平面ADB1的法向量，那么解得：x 0 , y z，不妨令z 1，得點(diǎn)評(píng)：給z賦不同的值，就可得到不同的法向量，一個(gè)平面的法向量不惟一，但這些法向量都共線(xiàn)。 1. 已知：a（2，4，x），b（2，y，2），若，且ab，則x+y（ ）A. 3或1B. 3或1C. 3D. 1 2. 正方體中，分別為上的點(diǎn)，且，則與所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 3. 平行六面體中，則（ ）A. B. C. D. 4. 在下列各對(duì)向量中，互相垂直的一對(duì)為（ ）A. B. 與C. D. 5. 在下列各結(jié)論中，不正確的是（ ）A. 兩非零向量垂直的充要條件為B. 若向量，則C. 已知是兩非零向量，則D. 是的充要條件 6. 已知向量，若，設(shè)，則與x軸正方向夾角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 7. 兩個(gè)非零向量平行的充要條件是（ ）A. B. C. 存在非零實(shí)數(shù)k，使D. 存在非零實(shí)數(shù)k，使 8. 已知（1，2，3），（3，0，1），（），給出下列等式：；其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 9. 已知a、b為兩條不同直線(xiàn)，、為兩個(gè)不同的平面，且a，b，則下列命題中假命題是（ ）A. 若/b，則/B. 若，則bC. 若a、b相交，則，相交D. 若、相交，則a，b也相交 10. 若x、y、z表示不同的直線(xiàn)或平面，命題“若xy，xz，則y/z”針對(duì)下面說(shuō)法：x、y、z都表示平面。x、y、z都表示直線(xiàn)。x表示直線(xiàn)，y、z表示平面。x表示平面，y、z表示直線(xiàn)。其中正確命題的個(gè)數(shù)有（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 11. 已知a（2，1，3），b（4，2，x），且ab，則x_。 12. “直線(xiàn)l垂直于a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”是“l(fā)a”的_。 13. 已知A（1，0，3），B（1，2，1），B（0，2，1），則平面ABC的一個(gè)單位法向量為_(kāi)。 14. 已知點(diǎn)A（1，1，1），平面，且點(diǎn)A在平面內(nèi)，則點(diǎn)M（x，y，z）在平面內(nèi)的條件為_(kāi)。 15. 已知：M、N分別為正方體的棱BB1和B1C1的中點(diǎn)。求：（1）MN與CD所成的角；（2）MN與AD所成的角。 16. 正三棱柱，所有棱長(zhǎng)都為2，P為上一點(diǎn)。（1）求證：不可能與平面垂直；（2）當(dāng)時(shí)求AP的長(zhǎng)。 17. 已知P是正方形ABCD平面外一點(diǎn)，M、N分別是PA、BD上的點(diǎn)，且PM：MABN：ND5：8，求證：直線(xiàn)MN/平面PBC。 18. 已知：PA矩形ABCD，M、N分別為AB、PC中點(diǎn)。（1）求證：MN/平面PAD；（2）求證：MNCD；（3）若PDA45，求證MN平面PCD。參考答案 1. A2. A3. A4. C5. D 6. A7. D8. A9. D10. C 11. 12. 必要不充分條件 13. （0，） 14. 15. 解：（1）由正方體的性質(zhì)可知：CD面BC1，CDMN。即CD與MN成90的角。（2）AD/BC，MN與BC所成的角即為AD與MN所成的角，顯然為45 16. 證明：（1）取AC中點(diǎn)O，連BO，則BOAC，又BOAA1，BO面AC1，而點(diǎn)P在棱AA1上，故PB不可能與面AC1垂直