高中數(shù)學(xué) 6.6直接證明與間接證明課件 文 新人教A版.ppt

第六節(jié)直接證明與間接證明 1 本考點(diǎn)在歷年高考中均有體現(xiàn) 主要以直接證明中的綜合法為主 2 分析法的思想應(yīng)用廣泛 反證法僅作為客觀題的判斷方法 一般不會單獨(dú)命題 3 題型以解答題為主 主要在與其他知識點(diǎn)交匯處命題 1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 經(jīng)過一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出 的證明方法 所要證明的結(jié)論成立 框圖表示 p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等 q表示所要證明的結(jié)論 文字表示為 因為 所以 或 由 得 思維過程 由因?qū)Ч?2 分析法 定義 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為 已知條件 定理 定義 公理等 為止的證明方法 框圖表示 q表示要證明的結(jié)論 文字表示為 要證 只需證 即證 思維過程 執(zhí)果索因 判定一個明顯成立的 條件 即時應(yīng)用 1 思考下列思維特點(diǎn) 從 已知 逐步推向 未知 即逐步尋找已知成立的必要條件 從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 即逐步尋找結(jié)論成立的充分條件 滿足綜合法的是 滿足分析法的是 請?zhí)顚懴鄳?yīng)序號 2 已知t a 2b s a b2 1 則s t的大小關(guān)系是 3 在正項等比數(shù)列 an 和正項等差數(shù)列 bn 中 a1 b1 a3 b3 a1 a3 則a5與b5的大小關(guān)系為 解析 1 由分析法 綜合法的定義可判斷 滿足綜合法 滿足分析法 2 由s t a b2 1 a 2b b2 2b 1 b 1 2 0 故s t 3 由a1 a3 得b1 b3 所以b1 b5 且b1 0 b5 0 又即又a1 b1 所以a5 b5 答案 1 2 s t 3 a5 b5 2 間接證明 1 反證法的定義假設(shè)原命題不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明 的證明方法 2 利用反證法證題的步驟 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 即假設(shè)結(jié)論的反面成立 由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理 直到推出矛盾為止 由矛盾斷言假設(shè)不成立 從而肯定原命題的結(jié)論成立 簡言之 否定 歸謬 斷言 假設(shè)錯誤 原命題成立 即時應(yīng)用 1 判斷下列說法是否正確 請在括號內(nèi)打 或 綜合法是由因?qū)Ч?綜合法是順推法 分析法是執(zhí)果索因法 分析法是逆推法 反證法是間接證法 2 用反證法證明 如果a b 那么 其中假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 3 用反證法證明命題 三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60 時 應(yīng)假設(shè) 解析 1 由分析法 綜合法 反證法的定義可知 都正確 2 否定結(jié)論 的否定是 3 因為 至少有一個 的反面是 一個也沒有 所以 三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60 的否定是 三角形三個內(nèi)角一個也沒有不大于60 即 三角形三個內(nèi)角都大于60 答案 1 2 3 三角形三個內(nèi)角都大于60 綜合法的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 利用綜合法證題的基本思路 例1 已知x y z 1 求證 解題指南 由基本不等式x2 y2 2xy 得到關(guān)于x y z的三個不等式 將三式相加整理變形 然后利用x y z 1得 x y z 2 1從而可證 規(guī)范解答 x2 y2 2xy x2 z2 2xz y2 z2 2yz 2x2 2y2 2z2 2xy 2xz 2yz 3x2 3y2 3z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 即3 x2 y2 z2 x y z 2 x y z 1 x y z 2 1 3 x2 y2 z2 1 即x2 y2 z2 反思 感悟 利用綜合法證明不等式是不等式證明的常用方法之一 即充分利用已知條件與已知的基本不等式 經(jīng)過推理論證推導(dǎo)出正確結(jié)論 是順推法或由因?qū)Ч?其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法 這就需保證前提正確 推理合乎規(guī)律 這樣才能保證結(jié)論的正確 變式訓(xùn)練 設(shè)a 0 b 0 a b 1 求證 證明 方法一 a 0 b 0 a b 1 又方法二 a b 1 故等號成立的條件是 分析法的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 分析法的特點(diǎn)與思路分析法的特點(diǎn)和思路是 執(zhí)果索因 即從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 或本身已經(jīng)成立的定理 性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等 通常采用 欲證 只需證 已知 的格式 在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范 例2 2012 南通模擬 已知m 0 a b r 求證 解題指南 利用分析法 去分母后移項作差 最后變形可證 規(guī)范解答 m 0 1 m 0 所以要證原不等式成立 只需證明 a mb 2 1 m a2 mb2 即證m a2 2ab b2 0 即證 a b 2 0 而 a b 2 0顯然成立 故原不等式得證 反思 感悟 1 逆向思考是用分析法證題的主要思想 通過反推 逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件 正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵 2 在求解實際問題時 對于較復(fù)雜的問題 可以采用兩頭湊的辦法 即通過分析法找出某個與結(jié)論等價 或充分 的中間結(jié)論 然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論 使原命題得證 變式訓(xùn)練 已知a b 0 求證 證明 因為a b 0 要證原不等式成立 只需證即證 a3 b3 2 a2 b2 3 即證a6 2a3b3 b6 a6 3a4b2 3a2b4 b6 只需證2a3b3 3a4b2 3a2b4 因為a b 0 所以即證2ab 3 a2 b2 而a2 b2 2ab 3 a2 b2 6ab 2ab成立 以上步驟步步可逆 所以 綜合法 分析法的綜合應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 綜合法與分析法的應(yīng)用技巧綜合法與分析法各有特點(diǎn) 在解決實際問題時 常把分析法與綜合法綜合起來運(yùn)用 通常用分析法分析 綜合法書寫 這一點(diǎn)在立體幾何中應(yīng)用最為明顯 同時 在三角 解析幾何中也大多是利用分析法分析 用綜合法證明的辦法來證明相關(guān)問題 提醒 綜合法是從已知條件出發(fā) 逐步推向未知 每步尋找的是必要條件 分析法是從待求結(jié)論出發(fā) 逐步靠攏已知 每步尋找的是充分條件 例3 如圖 四邊形abcd是正方形 pb 平面abcd ma 平面abcd pb ab 2ma 求證 1 平面amd 平面bpc 2 平面pmd 平面pbd 解題指南 1 欲證平面amd 平面bpc 只需證am pb ad bc從而得am 平面pbc ad 平面pbc 從而得證 2 欲證平面pmd 平面pbd 只需連接ac交bd于e 取pd中點(diǎn)為f 連接mf ef 即證ae 平面pbd 而ae與mf又平行從而得證 規(guī)范解答 1 因為pb 平面abcd ma 平面abcd 所以pb ma 因為pb 平面bpc ma 平面pbc 所以ma 平面bpc 同理 da 平面bpc 又ma 平面amd ad 平面amd ma ad a 所以平面amd 平面bpc 2 連接ac 設(shè)ac bd e 取pd中點(diǎn)f 連接ef mf 因為四邊形abcd為正方形 所以e為bd的中點(diǎn) 因為f為pd中點(diǎn) 所以 p m d b f a e c 又所以四邊形aefm為平行四邊形 所以mf ae 因為pb 平面abcd 所以pb ae 又因為abcd是正方形 所以ae bd 所以ae 平面pbd 又因為mf ae 所以mf 平面pbd 又因為mf 平面pmd 所以平面pmd 平面pbd 互動探究 在本例中條件不變的情況下 如何證明平面pdc 平面mad 證明 ma 平面abcd ma dc 又 abcd是正方形 dc ad 又 ad ma a dc 平面mad 又 dc 平面pdc 平面pdc 平面mad 反思 感悟 利用分析法分析結(jié)論成立的充分條件 探究面面平行需具備的條件 面面垂直所要具備的條件 找到條件后 再用綜合法書寫證明過程 這是此類問題的常規(guī)解法 需要靈活掌握 變式備選 abc的三個內(nèi)角a b c成等差數(shù)列 三條邊為a b c 求證 a b 1 b c 1 3 a b c 1 證明 abc三個內(nèi)角a b c成等差數(shù)列 b 60 由余弦定理 有b2 c2 a2 2cacos60 得c2 a2 ac b2 兩邊同加上ab bc 得c b c a a b a b b c 兩邊同除以 a b b c 得 即 a b 1 b c 1 3 a b c 1 反證法的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 1 反證法的解題原則反證法的原理是 正難則反 即如果正面證明有困難時 或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時 可以考慮用反證法 2 反證法中常見詞語的否定形式 例4 若a b c均為實數(shù) 且a x2 2y c z2 2x 求證 a b c中至少有一個大于0 解題指南 否定結(jié)論 至少有一個大于0的否定是都不大于0 只需證a b c 0不成立即可 而后下結(jié)論 規(guī)范解答 假設(shè)a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 則a b c 0 而a b c x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 3 0 且 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 a b c 0 這與a b c 0矛盾 因此a b c中至少有一個大于0 反思 感悟 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 矛盾可以是 與已知條件矛盾 與假設(shè)矛盾 與定義 公理 定理矛盾 與事實矛盾等方面 反證法常常是解決某些 疑難 問題的有力工具 是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器 變式訓(xùn)練 在 abc中 a b c的對邊分別為a b c 若a b c三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列 求證 ba b c 相加得這與矛盾 故 b 90 不成立 因此 b 90 變式備選 已知a 1 求證三個方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0中至少有一個方程有實數(shù)根 證明 假設(shè)三個方程都沒有實數(shù)根 則 這與已知a 1矛盾 所以假設(shè)不成立 故原結(jié)論成立 滿分指導(dǎo) 不等式證明題的規(guī)范解答 典例 12分 2012 鄂州模擬 已知a b c d r 用分析法證明并指明等號何時成立 解題指南 由于a b c d r 故ac bd 0或ac bd 0 要分兩種情況分析 可證 規(guī)范解答 1 當(dāng)ac bd 0時 2分故不等式顯然成立 此時a b c d 0時等號成立 4分 2 當(dāng)ac bd 0時 要證原不等式成立 只需證 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 6分即證a2c2 2abcd b2d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 8分即證2abcd a2d2 b2c2 即0 bc ad 2 10分 a b c d r 上式恒成立 故不等式成立 此時等號成立的條件為bc ad 由 1 2 知原不等式成立 12分 閱卷人點(diǎn)撥 通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2012 泉州模擬 用反證法證明 如果a b 則a3 b3 假設(shè)的內(nèi)容是 a a3 b3 b a3 b3 c a3 b3且a3 b3 d a3 b3或a3 b3 解析 選d 反證法應(yīng)否定結(jié)論即a3 b3 即為a3 b3或a3 b3 2 2012 南陽模擬 在證明命題 對于任意角 cos4 sin4 cos2 的過程 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 中應(yīng)用了 a 分析法 b 綜合法 c 分析法和綜合法綜合使用 d 間接證法 解析 選b 從已知條件出發(fā) 推出要證的結(jié)論 滿足綜合法 3 2012 黃岡模擬 已知則以下結(jié)論正確的是 a a b b a b c a b d a b大小不定 解析 選b 4 2012 棗莊模擬 若a 0 b 0 那么必有 a a3 b3 a2b ab2 b a3 b3 a2b ab2 c a3