雙曲線知識點總結.doc

. . . .雙曲線知識點 指導教師：鄭軍一、 雙曲線的定義：1. 第一定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡（為常數）這兩個定點叫雙曲線的焦點 要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|. 當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支； 當|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支； 當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；當2a|F1F2|時，動點軌跡不存在. 2. 第二定義：動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數e(e1)時，這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線二、 雙曲線的標準方程： （a0，b0）(焦點在x軸上)； （a0，b0）(焦點在y軸上)；1. 如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上. a不一定大于b.2. 與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是3. 雙曲線方程也可設為：例題：已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且過點，求雙曲線的軌跡方程。三、 點與雙曲線的位置關系，直線與雙曲線的位置關系：1 點與雙曲線：點在雙曲線的內部點在雙曲線的外部點在雙曲線上2 直線與雙曲線： （代數法）設直線，雙曲線聯立解得1) 時，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）； ，或k不存在時直線與雙曲線沒有交點；2) 時，存在時，若，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若， 時，直線與雙曲線相交于兩點；時，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；若不存在，時，直線與雙曲線沒有交點； 直線與雙曲線相交于兩點； 3. 過定點的直線與雙曲線的位置關系：設直線過定點，雙曲線1).當點在雙曲線內部時：，直線與雙曲線兩支各有一個交點；，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；或或不存在時直線與雙曲線的一支有兩個交點；2).當點在雙曲線上時： 或，直線與雙曲線只交于點；直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；（）或 （）或或不存在，直線與雙曲線在一支上有兩個交點；當時，或不存在，直線與雙曲線只交于點；或時直線與雙曲線的一支有兩個交點；直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；3).當點在雙曲線外部時：當時，直線與雙曲線兩支各有一個交點；或或不存在，直線與雙曲線沒有交點；當點時， 時，過點的直線與雙曲線相切 時，直線與雙曲線只交于一點；幾何法：直線與漸近線的位置關系例：過點的直線和雙曲線，僅有一個公共點，求直線的方程。四、 雙曲線與漸近線的關系：1. 若雙曲線方程為漸近線方程：2. 若雙曲線方程為（a0，b0）漸近線方程：3. 若漸近線方程為雙曲線可設為, .4. 若雙曲線與有公共漸近線則雙曲線的方程可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）五、 雙曲線與切線方程：1. 雙曲線上一點處的切線方程是.2. 過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.3. 雙曲線與直線相切的條件是.六、 雙曲線的性質： 雙曲線標準方程（焦點在軸）標準方程（焦點在軸）定義第一定義：平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數（小于）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。PP第二定義：平面內與一個定點和一條定直線的距離的比是常數，當時，動點的軌跡是雙曲線。定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數（）叫做雙曲線的離心率。PPPP范圍，對稱軸軸 ，軸；實軸長為,虛軸長為對稱中心原點焦點坐標 焦點在實軸上，；焦距：頂點坐標（,0） (,0)(0, ,) (0，)離心率1)， ， e越大則雙曲線開口的開闊度越大準線方程準線垂直于實軸且在兩頂點的內側；兩準線間的距離：頂點到準線的距離頂點（）到準線（）的距離為頂點（）到準線（）的距離為焦點到準線的距離焦點（）到準線（）的距離為焦點（）到準線（）的距離為漸近線方程 () ()共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關系：利用轉化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項系數為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長通徑：過雙曲線上一點的切線 或利用導數 或利用導數七、 弦長公式： 若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則。通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點，則弦長。若弦AB所在直線方程設為，則。特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解，例：直線與雙曲線相交于兩點，則=_八、焦半徑公式：雙曲線（a0，b0）上有一動點當在左支上時,當在右支上時,注：焦半徑公式是關于的一次函數，具有單調性，當在左支端點時，當在左支端點時，九、等軸雙曲線：（a0，b0）當時稱雙曲線為等軸雙曲線；則：1. ；2.離心率；3.兩漸近線互相垂直，分別為y=；4.等軸雙曲線的方程，；5. 等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。 十、共軛雙曲線： 1.定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線 2.方程： 3.性質：共軛雙曲線有共同的漸近線； 共軛雙曲線的四個焦點共圓它們的離心率的倒數的平方和等于1。 （a0;b0）的焦點為與，且p為曲線上任意一點，。則的面積焦點三角形面積公式：雙曲線1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內角.2. PT平分PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1，F 2，點P為雙曲線上任意一8. 點，則雙曲線的焦點角形的面積為.9. 設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF.10. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內，則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 目 錄14. 雙曲線知識點215. 1 雙曲線定義：216. 2.雙曲線的標準方程：217. 3.雙曲線的標準方程判別方法是：218. 4.求雙曲線的標準方程219. 5.曲線的簡單幾何性質220. 6曲線的內外部321. 7曲線的方程與漸近線方程的關系322. 8雙曲線的切線方程323. 9線與橢圓相交的弦長公式324. 高考題型解析425. 題型一：雙曲線定義問題426. 題型二：雙曲線的漸近線問題427. 題型三：雙曲線的離心率問題428. 題型四：雙曲線的距離問題529. 題型五：軌跡問題530. 高考例題解析631. 練習題1032.學習參考1. 若不給自己設限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經病。既