彈塑性力學-第九章

彈塑性力學 重慶大學土木工程學院 第九章塑性極限分析 第九章塑性極限分析 9 1梁的彈塑性分析9 2梁和剛架的極限分析9 3梁和剛架極限荷載的上下限定理 9 0緒論 荷載增加到某一數(shù)值不再繼續(xù)增加 而結構的變形仍會繼續(xù)產(chǎn)生的狀態(tài) 極限狀態(tài)的重要性質 1 應變率的彈性部分恒為零 即塑性流動時的應變率是純塑性應變率 2 極限狀態(tài)的唯一性 即極限狀態(tài)與加載歷史無關 也與初始狀態(tài)無關 1 當加載方式確定時 極限荷載是唯一確定的 2 當極限荷載給定時 極限狀態(tài)是唯一的 極限狀態(tài) 極限荷載 極限狀態(tài)相應的荷載 極限承載能力 9 1梁的彈塑性分析 兩個基本假定 1 平截面假定 梁的橫截面變形之后仍然保持平面 2 只有截面上的正應力是主要的 其它應力分量都可忽略 問題就轉化為簡單應力狀態(tài)問題 9 1梁的彈塑性分析 一 矩形截面梁的理想彈塑性純彎曲 9 1 9 2 截面上的應力關系 離中性軸距離為y的一點的應變 9 3 曲率 小變形情況 9 3 撓度 ydy ydy 9 1梁的彈塑性分析 1 截面先處于彈性階段 圖a 9 5 截面慣性矩 9 6 代入 9 2 代回 9 5 9 7 9 1梁的彈塑性分析 2 上下最外層的應力最先達到屈服 圖 b 代回 9 5 9 8 彈性極限彎矩 曲率 9 9 9 10 9 1梁的彈塑性分析 3 M Me 塑性區(qū)向截面內擴展 圖 c 9 11 彈塑性交界 即 9 12 9 13 9 1梁的彈塑性分析 3 M Me 塑性區(qū)向截面內擴展 圖 c 9 14 4 0 截面全部進入塑性狀態(tài) 圖 d 常見的截面形狀系數(shù) 截面形狀系數(shù) 9 1梁的彈塑性分析 引入無量綱的量 9 14 9 16 簡化 當截面全部進入塑性狀態(tài) m 1 5 后 曲率可以任意增長 這時可將截面看作一個鉸 稱為塑性鉸 塑性鉸的待征 1 鉸上作用彎矩 彎矩值保持為極限彎矩 2 鉸的轉角 可以任意增大 但必須同彎矩的方向一致 9 1梁的彈塑性分析 二 卸載情形 殘余曲率和殘余應力 9 17 9 18 M K完全服從彈性規(guī)律 殘余曲率 卸載前一時刻的曲率與M 的關系 卸載過程中的M K彈性規(guī)律 9 15 9 1梁的彈塑性分析 9 19 殘余應力 圖9 5梁內的殘余應力 9 1梁的彈塑性分析 三 橫向彎曲的彈塑性分析 9 20 A點B點將首先進入塑性 P Pe后 在x 處梁分為兩段考慮 交界線為 x 0處的彈性域 9 1梁的彈塑性分析 三 橫向彎曲的彈塑性分析 進入塑性區(qū)域的梁段占整梁的1 3 固定端的彈性區(qū)域完全消失 Ps即梁的極限荷載 求撓度 各 9 1梁的彈塑性分析 三 橫向彎曲的彈塑性分析 曲率方程 懸臂梁達到塑性極限荷載時 撓度還是彈性量級的 9 2梁和剛架的極限分析 一 梁的極限分析 M K曲線假設 圖9 8 圖9 8理想剛塑性模型 開始梁內彎矩按彈性超靜定梁計算 最大彎矩截面A處 9 2梁和剛架的極限分析 一 梁的極限分析 最大正彎矩截面B處 點A B都變成塑性鉸 Ps是塑性極限荷載 對于一個n次的超靜定梁 當梁內出現(xiàn)n十1個塑性鉸時 就可成為一個幾何可變機構 對應的荷載即是極限荷載 9 2梁和剛架的極限分析 一 梁的極限分析 1 機動法 假設可能破損的機構 令外載在這個機構運動過程中所做的功與塑性鉸在同一過程中所做的內力功相等 可以求得要形成這個機構所需的外載 內力功 外力功 內力功 外力功 2 靜力法 在彎矩可能是最大的一些截面處 使彎矩達到屈服條件 M Ms 使結構成為一個機構 然后利用平衡方程求得整個結構的彎距分布 9 2梁和剛架的極限分析 二 剛架的極限分析 右圖是一個平面框架 設各截面的塑性極限彎矩Ms相同 受水平力3P及豎直力2P的作用 求結構能承受的最大荷載P值 9 2梁和剛架的極限分析 二 剛架的極限分析 機動法 9 2梁和剛架的極限分析 對機構 a 對機構 b 對機構 c 對機構 d 取最小的P為Ps 9 2梁和剛架的極限分析 二 剛架的極限分析 靜力法 先取2 3及4成鉸作為機構 按虛功原理得 點5處水平力 考慮柱45的平衡 再考慮柱12的平衡 違反屈服條件 減小P至原值的1 12 結構很安全 不成為機構 9 2梁和剛架的極限分析 二 剛架的極限分析 取1 2及4成鉸作為機構 考慮柱45的平衡 沒有超過屈服條件 按虛功原理 9 3梁和剛架極限荷載的上下限定理 尋求結構所能承受外力P的最大乘子S 機動場 運動可能場 是一組滿足運動約束條件的位移場 和截面轉角 i 并且外力P在 上做正功 機動乘子 靜力場 靜力許可場 它是一組滿足平衡方程和不違背屈服條件的彎炬分布Mi0 與它平衡的外力為S0P S0稱為靜力乘子 真實極限狀態(tài)的外力 SP 9 3梁和剛架極限荷載的上下限定理 上限定理 真實的安全乘子S是最小的機動乘子 下限定理 真實的安全乘子S是最大的靜力乘子 9 21 如果找到一個乘子既滿足機動場 也滿足靜力場 則上述定理保證它是真實的安全乘子 SP是極限荷載 否則可以分別求得它的上限和下限 并改進這些上下限 以得到極限荷載的一個可靠估計 9 3梁和剛架極限荷載的上下限定理 上限定理證明 9 22 9 23 以機動場為虛位移 將真實應力和外力場作用在機動場 按虛功原理 按機動乘