第6章--彈性體的一維振動題解

習(xí)題6-1 一等直桿沿縱向以等速v向右運(yùn)動，求下列情況中桿的自由振動(1) 桿的左端突然固定；桿的右端突然固定；桿的中點(diǎn)突然固定。解；(1)桿的左端突然固定；桿的初始條件為： 由式(8-15),(8-16)可知,由歸一化條件得即正則振型為由式（8-39）得正則坐標(biāo)表示的初始條件為，i=1，3，5，由式（）得，進(jìn)而有： (2)桿的右端突然固定；桿的初始條件為：由式(8-15),(8-16)可知,由歸一化條件得即正則振型為由式（8-39）得正則坐標(biāo)表示的初始條件為，i=1，3，5，由式（）得，進(jìn)而有： 6-2 求下列情況中當(dāng)軸向常力突然移去時兩端固定的等直桿的自由振動。(1) 常力F作用于桿的中點(diǎn)，如題6-2(a) 圖所示；(2) 常力F作用于桿的三分之一點(diǎn)處，如題6-2(b) 圖所示；題6-2圖(3) 兩個大小相等、方向相反的常力F作用于桿的四分之一點(diǎn)及四分之三點(diǎn)處如題圖6-2(c)所示。解： （1） 根據(jù)題意 ，時桿內(nèi)的應(yīng)變 桿的初始條件為 因為桿兩端固定，可解得固有頻率及主振型為 將主振型代入歸一化條件，得 得到正則振型 得到以正則坐標(biāo)表示的初始條件為 得到以正則坐標(biāo)表示的對初始條件的響應(yīng) 于是桿的自由振動 （2） 根據(jù)題意 ，時桿內(nèi)的應(yīng)變 桿的初始條件為 因為桿兩端固定，可解得固有頻率及主振型為 將主振型代入歸一化條件，得 得到正則振型 得到以正則坐標(biāo)表示的初始條件為 得到以正則坐標(biāo)表示的對初始條件的響應(yīng) 于是桿的自由振動 （3） 根據(jù)題意 ，時桿內(nèi)的應(yīng)變 桿的初始條件為 因為桿兩端固定，可解得固有頻率及主振型為 將主振型代入歸一化條件，得 得到正則振型 得到以正則坐標(biāo)表示的初始條件為 得到以正則坐標(biāo)表示的對初始條件的響應(yīng) 于是桿的自由振動 題6-3圖6-3 如題6-3圖所示，一端固定一端自由的等直桿受到均勻分布力的作用，求分布力突然移去時桿的響應(yīng)。解：桿左端固定端，右端為自由端邊界條件 得固有頻率，主振型 i=1,2,桿在x處的應(yīng)變初始條件由，得 再利用三角函數(shù)正交性 得解二：用直接法。因為= 其中，桿的初始條件為 =由于此題為一端自由一端固定，則由公式可直接得出桿的固有頻率及主振型將主振型代入歸一化條件得得得到正則振型為 i=1,3,5則得到正則坐標(biāo)表示的初始條件為= i=1,3,5以正則坐標(biāo)表示對初始條件的響應(yīng)為得到桿對初始條件的總響應(yīng) 即 6-4 假定一軸向常力F突然作用于題6-2的等直桿的中點(diǎn)處，初始時刻桿處于靜止平衡狀態(tài)，求桿的響應(yīng)。解：由題意知，邊界條件為由此解出固有頻率 將主振型代入歸一化條件，得 得到正則振型 由因為為集中力，不是分布力所以由上式得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（i=1，2，3）6-5 假定題6-3的等直桿上作用有軸向均勻分布的干擾力，求該桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動。解：因為桿是一端固定，可得固有頻率和主振型為 將主振型代入歸一化條件，得 得到正則振型 又第i個正則方程為 所以可得正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振動為u（x，t）其中。6-6 一根兩端自由的等直桿，中央作用有一軸向力，其中F1、t1為常數(shù)，假設(shè)起初桿處于靜止，求桿的響應(yīng)。解： 由題意知，邊界條件為 由這些邊界條件得，所以 所以 由 所以 所以 由 由于集中力，而非分布力所以 ，因為是在中央作用力，所以所以 ，由上式求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 當(dāng)時，當(dāng)時，所以 6-7 一根等直圓軸的兩端連接著兩個相同的圓盤，如題6-7圖所示，已知軸長l，軸及圓盤對軸中心線的轉(zhuǎn)動慣量分別為Is及I0，求系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的頻率方程。題6-7圖解： （）設(shè)代入運(yùn)動微分方程得上式的解可表示為其邊界條件當(dāng)x=0時， 當(dāng)x=l時， U（0）=U( l ) , 其中 題6-8圖6-8 題6-8圖中的等直圓軸一端固定，另一端和扭轉(zhuǎn)彈簧相連，已知軸的抗扭剛度為GJp，質(zhì)量密度為，長度為l，彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度為，求系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)的頻率方程。解： 一維振動波方程為 （）設(shè)代入運(yùn)動微分方程得： (為波動頻率)上式的解可表示為 （a）其邊界條件為 ：在x = 0 處 ， （b）在處 （c）將（a）代入（b）得： （d）將（d）代入（c）得：得關(guān)于頻率的頻率方程為 , 其中 6-9 寫出題6-9圖所示系統(tǒng)的縱向振動頻率方程，并寫出主振型的正交性表達(dá)式。題6-9圖解： 該題中桿的振動方程為：其中由于邊界條件中U（0）=0代入U（x）中得C=0再將U（x）代入中 ，由知：=再由邊界知：EA得：即： 已知方程由乘并對桿積分得所以由得： 所以，其解為正交。6-10 試求具下列邊界條件等截面梁的橫向彎曲振動頻率方程及主振型(1) 兩端固定；一端固定、一端簡支；一端簡支、一端自由。6-11 求下列情況中常力F突然移去時等截面簡支梁的自由振動(1) 常力F作用于x = a處，如題圖6-11(a)所示；(2) 兩個大小相等、方向相反的常力F作用于梁的四分之一點(diǎn)及四分之三點(diǎn)處，如題圖6-11(b)所示。題6-11圖6-12 假定上題的簡支梁承受強(qiáng)度為p0的均勻分布力，求分布力突然移去時梁的響應(yīng)。6-13 一簡支梁在t = 0時除兩端點(diǎn)外梁上所有點(diǎn)都得到橫向速度v，求梁的響應(yīng)。6-14 一常力F突然加在簡支梁的中點(diǎn)，求梁的響應(yīng)。6-15 一簡支梁在距左端和處作用有兩個橫向干擾力，求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-16 一簡支梁在左半跨上作用有強(qiáng)度為的分布力，求梁中央處的振幅。6-17 試求簡支梁在正弦分布的橫向干擾力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-18 簡支梁受分布干擾力作用，求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-19 簡支梁受分布干擾力的作用，求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-20 一簡支梁在x = l端的支座有的橫向運(yùn)動，求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。6-21 如題6-21圖所示，等截面懸臂梁的自由端有一彈性支撐，其彈簧剛度為k，求頻率方程和主振型的正交性條件。6-22 試求兩端附有集中質(zhì)量m的自由等截面梁的頻率方程及主振型正交性條件。題6-21圖 題6-23圖6-23 如題6-23圖所示，簡支梁上附有兩個相等的集中質(zhì)量m，m值等于全梁質(zhì)量的一半，試用瑞利法求系統(tǒng)的基頻，并用里茲法求基頻和第二階固有頻率。6-24 如題6-24圖所示，一根矩形截面桿一端固定一端自由，其長度為l，厚度為b，橫截面積A按直線規(guī)律變化，其中為自由端的截面積，試用里茲法求縱向振動的第一及第二階固有頻率。假設(shè)基頻函數(shù)題6-25圖題6-24圖 題6-26圖6-25 兩端固定的等