2013考研之概率統(tǒng)計(jì)總結(jié)筆記.doc

2013概率統(tǒng)計(jì)強(qiáng)化講義第一章 事件和概率一 基本概念1 隨機(jī)試驗(yàn)()樣本點(diǎn)()樣本空間()隨機(jī)事件(事件).2 事件：不可能事件()、必然事件()、基本事件(單點(diǎn)集).二 事件的關(guān)系1 包含：. 概率含義：發(fā)生, 必然發(fā)生. 若且, 則2 和事件：. 概率含義：,至少有一發(fā)生.3 積事件：. 概率含義：,同時發(fā)生.4 差事件：. 概率含義：發(fā)生且不發(fā)生.5 互不相容(互斥)：. 概率含義：,不可能同時發(fā)生. 特例: 且, 稱,互為對立事件, 記為.注：對立互不相容(互斥).三 事件的運(yùn)算和事件概率的計(jì)算 1事件的運(yùn)算(1)分配律：.(2) 對偶律：，.2 概率的定義 (1) (2) (3)3 概率的性質(zhì)(1) 加法公式：特殊情形： (2) 減法公式：當(dāng)， 一般情形：推論：若，即(3) 對立公式：(4) , .5 抽象事件概率的計(jì)算：先用運(yùn)算律進(jìn)行化簡, 然后利用概率性質(zhì)計(jì)算.四 三種概率模型 1 古典概型：樣本空間為一個有限集，且每個樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有等可能性， 2幾何概型：為歐氏空間中的一個有界區(qū)域, 樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有等可能性，3 伯努利概型(1) 如果一個隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果, 則稱為伯努利試驗(yàn)。將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)次稱為重伯努利試驗(yàn)。(2) 設(shè)每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率為,則在這重伯努利試驗(yàn)中事件恰好出現(xiàn)次的概率為： .五 條件概率和乘法公式1 稱為事件發(fā)生的條件下發(fā)生的概率, 計(jì)算方法如下(1) 條件概率公式： ().(2) 壓縮樣本空間法：在新的樣本空間中直接計(jì)算發(fā)生的概率.2 條件概率的性質(zhì)(1) (2) (3) 特別的, 若, 則(4) 特別的, 若, 則3乘法公式(積事件的概率計(jì)算)(1) (2) 六 事件的獨(dú)立性1 兩事件的獨(dú)立性(1) 獨(dú)立 () () 注：獨(dú)立 () ()(2) 獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立獨(dú)立.(3) 一般情形下, 獨(dú)立與互斥沒有蘊(yùn)含關(guān)系;當(dāng)時, 獨(dú)立與互斥不能同時成立.2 三事件的獨(dú)立性(1) 相互獨(dú)立注：相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立 (2) 相互獨(dú)立 運(yùn)算得到的事件與運(yùn)算得到的事件獨(dú)立.七 復(fù)雜事件的概率1 完備事件組：, 滿足2 設(shè)為完備事件組： (全概率公式) (Bayes公式) 3 如何應(yīng)用公式：用在兩階段試驗(yàn)中, 第一階段試驗(yàn)的結(jié)果選為完備事件組.第二章 一維隨機(jī)變量及其分布一 分布函數(shù)1 隨機(jī)變量：到上的函數(shù), 用表示.2 分布函數(shù)：即的值為在內(nèi)取值的概率. 有下面的三條性質(zhì)：(1) ，記為；，記為.(2) 是單調(diào)非減，即時，(3) 是右連續(xù)，即注：性質(zhì)（1）（3）是成為分布函數(shù)的充要條件。3 概率計(jì)算： (1)(2) , 二 離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量1 離散型隨機(jī)變量(1)定義：可能取值是有限多個或可數(shù)無窮多個.(2) 設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值是,記分布律：(3) 分布律性質(zhì)：(1) (2) . 2 連續(xù)型隨機(jī)變量 (1)定義：設(shè)的分布函數(shù)，如存在非負(fù)可積函數(shù)，有， 稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，為概率密度.(2) 概率密度性質(zhì)：(1) (2).(3) ; 的連續(xù)點(diǎn)處有.三 常見的離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量1 離散型隨機(jī)變量（1）（01）分布 （2）二項(xiàng)分布 . （3）泊松分布 ， 背景為伯努利概型.(4) 超幾何分布 ，2 連續(xù)型隨機(jī)變量(除正態(tài)分布)(1) 均勻分布 注：均勻分布相當(dāng)于幾何概型(2) 指數(shù)分布 ，四 正態(tài)分布(1) 正態(tài)分布 (2) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的值可通過查表得到. 性質(zhì)：，(3) , 特別的.(4) 概率計(jì)算：.特別的：五 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1離散型： 設(shè)的分布律，,則求法如下(1) 搞清楚的可能取值(2) 2連續(xù)型 (1) 公式法：的密度單調(diào)，導(dǎo)數(shù)不為零可導(dǎo)，是其反函數(shù),則的密度 為 其中是函數(shù)在可能取值的區(qū)間上值域。(1) 分布函數(shù)法： 先求分布函數(shù)后求密度函數(shù), 具體如下 a) 寫出在的取值范圍. b) 若; 若; 若 解不等式, 求. c) 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布一 分布函數(shù)1 二維隨機(jī)變量：均為一維隨機(jī)變量, 稱為二維隨機(jī)變量.2 分布函數(shù)：，有下面的性質(zhì)（1）； （2），；（3）關(guān)于和關(guān)于單調(diào)不減； （4）關(guān)于和關(guān)于右連續(xù).3二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù), 二 二維離散型隨機(jī)變量1 聯(lián)合分布律： 2分布律性質(zhì)：（1）（2）3 邊緣概率分布，4條件概率分布， ， 三 二維連續(xù)型隨機(jī)變量1設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù), 其中，稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱為聯(lián)合概率密度函數(shù).2 概率密度函數(shù)的性質(zhì)：（1）（2）.3 概率計(jì)算: 概率密度：在的連續(xù)點(diǎn), .4 邊緣密度 ， 注：,也就是在分別在直線上的積分.5條件概率密度 若,則 .6 二維均勻分布，的面積注：二維均勻分布相當(dāng)于平面區(qū)域上的幾何概型.四 隨機(jī)變量的獨(dú)立性1 相互獨(dú)立(離散型) (連續(xù)型).2 與獨(dú)立, 為連續(xù)函數(shù) 也獨(dú)立. 3 離散型隨機(jī)變量獨(dú)立 分布律表各行各列成比例; 連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立 概率密度函數(shù)、定義域可分離.五 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1 特殊問題可加性分布 獨(dú)立(1) , 則(2) , 則(3) , 則注：可推廣到個獨(dú)立的隨機(jī)變量.2 一般性問題 (1) 二維離散型 設(shè)的分布律, 則求法如下(a) 搞清楚的可能取值(b) 特別的：(2)二維連續(xù)型 , 則的分布求法如下(a) 公式法 特別獨(dú)立，(b) 分布函數(shù)法具體步驟如下， 做出(固定), 再詳細(xì)考慮從變化時的圖形; 對于不同的區(qū)域求積分得到; 求導(dǎo)得到(c) 特殊函數(shù)最值函數(shù) 設(shè)的分布函數(shù)為,令， 特別的：若獨(dú)立 (3) 混合型： 分布函數(shù)法+全概率公式第四章 數(shù)字特征一 隨機(jī)變量的期望1 離散型(1) ,(2) , 2 連續(xù)型(1) , (2) , 3性質(zhì)（1） （2）（3） （4）相互獨(dú)立，則二 隨機(jī)變量函數(shù)的期望 1 離散型(1), (2) , 2 連續(xù)型(1), (2) , 3 原點(diǎn)矩和中心矩(1) , 則稱為階原點(diǎn)矩;(2) , 則稱為階中心矩.三 隨機(jī)變量的方差1 定義：稱為的方差.2 性質(zhì)：(1)，反之不能得出為常數(shù)；（2）；（3）相互獨(dú)立.注：一般情形下.3 常見分布的期望與方差(1)（01）分布 (2) 二項(xiàng)分布 (3) 泊松分布 (4) 均勻分布 (5) 指數(shù)分布 (6) 正態(tài)分布，四 關(guān)于期望和方差求解的總結(jié)1 公式法： 直接積分或求和.2 性質(zhì)：利用,主要用在隨機(jī)變量的線性組合.3 特殊分布法：先求或其中部分隨機(jī)變量的分布，然后利用公式求解.主要用在可加性分布,見.注：一個不常見的方法叫做隨機(jī)變量分解法, 也即將一個復(fù)雜的隨機(jī)變量寫成, 然后利用期望、方差的性質(zhì)求解.五 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)1 定義： 特別的：2 性質(zhì)：(1) ； (2)； (3) 3 相關(guān)系數(shù)：(1) 不相關(guān)：.相互獨(dú)立不相關(guān)(2) 性質(zhì)：（a）； （b） ；4 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算, 方法有二個(1) 協(xié)方差的性質(zhì), 獨(dú)立性：主要用在隨機(jī)變量線性組合; (2) 公式法：.六 二維正態(tài)分布 ，1 定義：2 性質(zhì)： (1) ，, (2) 相互獨(dú)立的充分必要條件是 (3) 也服從二維正態(tài)分布.注：一般情形下, 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布.七 獨(dú)立與不相關(guān) 1 獨(dú)立：(連續(xù)型); (離散型). 不相關(guān)：2 一般情形下：相互獨(dú)立不相關(guān) 二維正態(tài)：相互獨(dú)立不相關(guān).3 獨(dú)立性與相關(guān)性的判斷.第四章 大數(shù)定律及中心極限定理一 切比雪夫不等式 對于任意二 大數(shù)定律1 切比雪夫大數(shù)定律設(shè)兩兩不相關(guān)，存在且存在常數(shù)，使則2 辛欽大數(shù)定律設(shè)獨(dú)立同分布，則. 注：設(shè)獨(dú)立同分布，則 3 伯努利大數(shù)定律若，則 三 中心極限定理1列維林德伯格定理設(shè)獨(dú)立同分布，,則對任意 2 棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)，則對任意, .第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)一 總體與樣本1總體：所研究對象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)全體, 就是一個隨機(jī)變量.2 樣本：如果相互獨(dú)立且都與總體同分布，則稱為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本.(1)，則的聯(lián)合分布(2) ，則的聯(lián)合密度二 統(tǒng)計(jì)量與其性質(zhì)1 定義：樣本的不含未知參數(shù)的函數(shù).2 常見的統(tǒng)計(jì)量(1) 樣本均值 (2) 樣本方差 ，(3) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (4) 樣本階原點(diǎn)矩 (5) 樣本階中心矩(6) 次序統(tǒng)計(jì)量 注： 要會用分布函數(shù)法球次序統(tǒng)計(jì)量的分布.3 常見統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征(1) (2) (3) 三 常見分布的構(gòu)造模式1 分布(1) 相互獨(dú)立且均服從，則稱 服從自由度為的分布，記.特別的：若, 則.(2)可加性：設(shè),相互獨(dú)立，則.(3)，；(4)上分位點(diǎn)：設(shè)，對于給定的，稱滿足條件的點(diǎn)為分布的上分位點(diǎn)。2 分布(1) 獨(dú)立，則(2)上分位點(diǎn)：其中,性質(zhì)：，3 分布(1) 獨(dú)立，則性質(zhì)：如果 ，則（2）上分位點(diǎn)：，其中，.性質(zhì)：四 正態(tài)分布的抽樣定理1 單個正態(tài)總體 設(shè)(1) 抽樣定理（a）， （b）與相互獨(dú)立(2) 三個基本量 （a） (b)（c）(3) 導(dǎo)出量：2 兩個正態(tài)總體設(shè)，和，分別來自的樣本，相互獨(dú)立，（1），（2）如果，則其中（3）3 求統(tǒng)計(jì)量的分布(主要是單正態(tài)總體)方法如下(1) 由抽樣分布定理得到基本統(tǒng)計(jì)量(2) 利用經(jīng)典的構(gòu)造模式得到統(tǒng)計(jì)量的分布.五 統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征(1) 公式法： 很少用.(2) 期望和方差的性質(zhì)與獨(dú)立性：一般用在樣本的線性組合中.(3) 特殊統(tǒng)計(jì)量 (a) 直接利用, , .(b) 若為正態(tài)總體, 則， 且與相互獨(dú)立.六 點(diǎn)估計(jì)1 定義： 用來估計(jì)未知參數(shù)， 稱為估計(jì)量.2 評價標(biāo)準(zhǔn) (數(shù)學(xué)1)(1) 無偏性：(2) 有效性：如果和都是無偏估計(jì)，且，則稱比更有效(3) 一致性（相合性）：，稱為的一致估計(jì)量3 矩估計(jì)：用樣本矩代替相應(yīng)的理論矩，建立相應(yīng)的方程組(個數(shù)同參數(shù)個數(shù)). , () 重點(diǎn)：單個參數(shù)時，矩估計(jì)方程為.4 最大似然估計(jì)(1) 似然函數(shù)離散型連續(xù)型 (2) 最大似然估計(jì)：使似然函數(shù)達(dá)到最大值的參數(shù)值.(1) 具體求解步驟(a) 寫出似然函數(shù)和對數(shù)似然函數(shù).(b) 求似然方程 或.若方程有唯一解, 則為所求; 若方程無解, 則單調(diào), 必在邊界.七 區(qū)間估計(jì)1置信區(qū)間：如果兩個統(tǒng)計(jì)量滿足為參數(shù)的置信水平（或置信度）為的置信區(qū)間. 分別稱為置信下限和置信上限.2置信區(qū)間的求法(樞軸量法)(1)先得到的一個點(diǎn)估計(jì);(2)利用和, 構(gòu)造樞軸量, 使其滿足特殊分布().(3)求使成立, 將變形得到區(qū)間估計(jì).3 一個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)未知參數(shù)置信區(qū)間已知未知4 兩個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)未知參數(shù)置信區(qū)間已知未知，但八 假設(shè)檢驗(yàn)1 基本概念：對總體的分布或參數(shù)做出假設(shè), 然后根據(jù)所抽到的樣本構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量, 對假設(shè)的正確性進(jìn)行判斷,稱為假設(shè)檢驗(yàn).(1) 推斷的原理：小概率原理即小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不會發(fā)生的.(2) 假設(shè)：原假設(shè), 備擇假設(shè).(3) 拒絕實(shí)際真的假設(shè)（棄真）稱為第一類錯誤；接受實(shí)際不真的假設(shè)（納偽）稱為第二類錯誤.2 顯著性檢驗(yàn)(1) 顯著性水平：在假設(shè)檢驗(yàn)中允許犯第一類錯誤的概率(2) 顯著性檢驗(yàn)：只