函數(shù)周期與對(duì)稱軸.doc

抽象函數(shù)的周期與對(duì)稱軸1.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性（自身）:定理1: 函數(shù)的圖象關(guān)于直對(duì)稱。特殊的有：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱（奇函數(shù)）。函數(shù)是偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱。定理2：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；特殊的有： 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。 函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)）。 函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱。則的圖象，以為對(duì)稱中心。證：方法一：要證原結(jié)論成立只需證令代入 則方法二：設(shè)它的圖象為C; 則P關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 定理3：（性質(zhì)）若的圖像有兩條鉛直對(duì)稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么為周期函數(shù)且2|a-b|是它的一個(gè)周期。若的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心M(m.n)和一條鉛直對(duì)稱軸x=a,那么為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個(gè)周期。若圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A (a ,c)和點(diǎn)B (b ,c)成中心對(duì)稱（ab），則是周期函數(shù)，且2| ab|是其一個(gè)周期。若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。2.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性:函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱.函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.特殊地: 與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的解析式為函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的解析式為3.若是偶函數(shù)，則必有；若是奇函數(shù)，則必有若為偶函數(shù)，則必有；若是奇函數(shù)，則必有2.函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：結(jié)論1：如果（），周期結(jié)論2：如果（），周期證：令 令 由得： 結(jié)論3：如果定義在上的函數(shù)有兩條對(duì)稱軸、對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論4：如果偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論5：如果奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線（）對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論6：如果函數(shù)同時(shí)關(guān)于兩點(diǎn)、（）成中心對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論7：如果奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（）成中心對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論8：如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（）成中心對(duì)稱，且關(guān)于直線（）成軸對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論9：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論10：如果或，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期結(jié)論11：如果，那么是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期4典型例題1：設(shè)是定義在R上的函數(shù)，均有當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)，的解析式。解：由有得設(shè)則 時(shí)例2：已知滿足，當(dāng)時(shí)，且，若，求、的大小關(guān)系？解：，對(duì)稱軸 也為一條對(duì)稱軸 ， 練習(xí)：設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且,當(dāng)1x0，則f(8.6)= _解： x = 0，x =1是y = f (x) 對(duì)稱軸。T=2f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例3：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）（第十二屆希望杯高二 ）(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10x).f (x)有兩條對(duì)稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，x =0即y軸也是f (x)的對(duì)稱軸，因此f (x)還是一個(gè)偶函數(shù)。故選(A) 例4：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)、都有反函數(shù)，并且和函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若那么（C）。 A 1999； B 2000； C 2001； D 2002。 解：和函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱 有例5：若函數(shù)y=f(x)的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心A(a ,c)和一條對(duì)稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個(gè)周期。解析y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A (a ,c) 成中心對(duì)稱，f (x) + f (2ax) =2c，用2bx代x得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（*）又函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對(duì)稱， f (2bx) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2cf 2(ab) + x（*），x=2（ab）x 得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故y = f (x)是周期函數(shù)。練習(xí)1：若函數(shù)有求。解： 知圖象關(guān)于對(duì)稱而的對(duì)稱中心 則2 已知是定義在R上的函數(shù)且滿足，當(dāng)時(shí)有則是周期函數(shù)且周期為2當(dāng)時(shí)，其中正確的是3.對(duì)于，有下列命題。在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。若且均成立，則為偶函數(shù)。若恒成立，則為周期函數(shù)。若為單調(diào)增函數(shù)，則（且）也為單調(diào)增函數(shù)，其中正確的4.定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，求的值。解5.設(shè)定義在R上，有且當(dāng)時(shí)，（1）求證：且當(dāng)時(shí)，（2）求證：在R上遞減。解：1令，得 設(shè)，則+有 （2）設(shè)則 即 在R上遞減【模擬試題】1. 已知滿足，且是奇函數(shù)，若則（B ）A. B. C. D. 2. 已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任何實(shí)數(shù)均成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（C ）A. B. C. D.3. 若函數(shù)，都有則等于（D）A. 0 B. 3 C. D. 3或4. 函數(shù)是（C）A. 周期為的奇函數(shù) B. 周期為的偶函數(shù)C. 周期為的奇函數(shù) D. 周期為的奇函數(shù)5.的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件（C）A. B. C. D.6.如果且則可以是（D）A. B. C. D.7.為偶函數(shù)的充要條件是（B）A.B. C. D.8. 設(shè)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（B）A. 0.5 B. C. 1.5 D.9. 設(shè)，有那么（A）A. B. C. D. 10.定義在R上，則與的圖象關(guān)于（D）A.對(duì)稱 B.對(duì)稱 C.對(duì)稱 D.對(duì)稱11.是R上的奇函數(shù)，且，則 0 。12.圖象的對(duì)稱軸中最靠近y軸的是。13.為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)。14.偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在上是增函數(shù)，則下列正確的是 (2) 。1） 2）3） 4）15 如果函數(shù)的圖象關(guān)于和都對(duì)稱，證明這個(gè)函數(shù)滿足證：令，則 即3.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有，比較與的大小。解：對(duì)稱軸是1 4.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有成立，若方程僅有101個(gè)不同實(shí)根，求所有實(shí)根之和。解：設(shè)即 所有實(shí)根之和為5. 求證:若為奇函數(shù)，則方程=0若有根一定為奇數(shù)個(gè)。高考題：1.已知在R上是奇函數(shù)，且A A.-2 B.2 C.-98 D.982.函數(shù)滿足，若，則( C )A 3.（安徽理數(shù)）若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)=1，f(2)=2則的值為（ ）A、 B、1 C、 D、24.（09江西卷）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，則的值為 ( C )A B C D5.