第二章 第八節(jié)

第八節(jié)函數(shù)與方程1函數(shù)的零點函數(shù)零點的概念對于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點函數(shù)零點的存在性定理函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，若f(a)f(b)0，則yf(x)在(a，b)內(nèi)存在零點2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點的關(guān)系b24ac000)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無零點個數(shù)01判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.()(3)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值()(4)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點()(5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2二次函數(shù)f(x)ax2bxc(xR)的部分對應(yīng)值如下表：x32101234y6m4664n6可以判斷方程ax2bxc0的兩根所在的區(qū)間是()A(3，1)和(2,4)B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2) D(1,3)和(4，)解析：選A由表格可得二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x，a0.由f(3)f(1)0，f(2)f(4)0，可得f(x)的零點所在區(qū)間為(3，1)和(2,4)，即方程ax2bxc0的兩個根所在區(qū)間是(3，1)和(2,4)3函數(shù)f(x)ln x的零點所在的大致區(qū)間是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4，)解析：選B易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)f(3)0，故函數(shù)f(x)的零點所在的大致區(qū)間為(2,3)4函數(shù)f(x)xx的零點個數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：選B函數(shù)f(x)xx的零點個數(shù)是方程xx0的解的個數(shù)，即方程xx的解的個數(shù)，也就是函數(shù)yx與yx的圖象的交點個數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，可得交點個數(shù)為1.5若函數(shù)f(x)axb有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)bx2ax的零點是_解析：由題意知2ab0，即b2a.令g(x)bx2ax0，得x0或x.答案：0，6若函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)1在(1,1)上沒有零點，所以a0.所以函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，要滿足題意，只需f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，所以(a1)(3a1)0，解得a1，所以實數(shù)a的取值范圍是.答案：考什么怎么考高考中對函數(shù)零點所在的區(qū)間的考查主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，體現(xiàn)了基本概念的靈活運(yùn)用，難度不大.1(2018煙臺模擬)函數(shù)f(x)ln(x1)的一個零點所在的區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：選Bf(x)在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)ln 210，f(x)的零點所在區(qū)間為(1,2)，故選B.2設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4) 解析：選B函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點的橫坐標(biāo)所在的范圍作出兩函數(shù)圖象如圖所示，可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)故選B.3若x0是方程xx的解，則x0屬于區(qū)間()A. B.C. D.解析：選C令g(x)x，f(x)x，則g(0)1f(0)0，gf，gf，結(jié)合圖象可得x0.4函數(shù)f(x)x23x18在區(qū)間1,8上_(填“存在”或“不存在”)零點解析：法一：f(1)123118200，f(1)f(8)0)，yln x(x0)的圖象如圖所示由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2.2函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選C當(dāng)x0時，令f(x)0，即x22x0，解得x2或x0(舍去)所以當(dāng)x0時，只有一個零點；當(dāng)x0時，f(x)exx2，而f(x)ex1，顯然f(x)0，所以f(x)在0，)上單調(diào)遞增，又f(0)e00210，f(2)e240，所以當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)有且只有一個零點綜上，函數(shù)f(x)只有兩個零點，故選C.函數(shù)零點的應(yīng)用主要是利用函數(shù)零點的存在性定理求相關(guān)參數(shù)值或范圍.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想，題目難度較大.典題領(lǐng)悟已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)a|x2|a，其中a0，且為 常數(shù)若函數(shù)yf(f(x)有10個零點，則a的取值范圍是_學(xué)審題可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；由f(x)0，得x1或x3；等價于函數(shù)yf(x)的圖象與直線y1和y3共有10個交點解析：當(dāng)x0時，令f(x)0，得|x2|1，即x1或x3.因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)的零點為x1或x3.令f(f(x)0，則f(x)1或f(x)3.因為函數(shù)yf(f(x)有10個零點，所以函數(shù)yf(x)的圖象與直線y1和y3共有10個交點由圖可知1a3.答案：(1,3)解題師說利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的思路方法及步驟(1)常規(guī)思路已知函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，這時圖形一定要準(zhǔn)確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題(2)常用方法(3)一般步驟 沖關(guān)演練1若函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析：選C因為函數(shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，解得0a0，f(2)3log2220，f(4)log240，f(3)0，f(5)0時，f(x)3x1有一個零點x，所以只需當(dāng)x0時，exa0有一個根即可，即exa.當(dāng)x0時，ex(0,1，所以a(0,1，即a1,0)，故選D.7已知函數(shù)f(x)a的零點為1，則實數(shù)a的值為_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：8函數(shù)f(x)exx2的零點有_個解析：f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(0)120，函數(shù)f(x)有且只有一個零點答案：19已知f(x)則其零點為_解析：當(dāng)x0時，由f(x)0，即xln x0得ln x0，解得x1；當(dāng)x0時，由f(x)0，即x2x20，解得x1或x2.因為x0，所以x1.綜上，函數(shù)的零點為1，1.答案：1，110設(shè)函數(shù)yx3與yx2的圖象的交點為(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，則x0所在的區(qū)間是_解析：設(shè)f(x)x3x2，則x0是函數(shù)f(x)的零點，在同一平面直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)yx3與yx2的圖象如圖所示因為f(1)1110，f(2)8070，所以f(1)f(2)0，所以x0(1,2)答案：(1,2)B級中檔題目練通抓牢1已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(x)x4的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選B函數(shù)yf(x)x4的零點個數(shù)，即函數(shù)yx4與yf(x)的圖象的交點的個數(shù)如圖所示，函數(shù)yx4與yf(x)的圖象有兩個交點，故函數(shù)yf(x)x4的零點有2個故選B.2(2018云南第一次統(tǒng)一檢測)已知a，b，c，d都是常數(shù)，ab，cd.若f(x)2 018(xa)(xb)的零點為c，d，則下列不等式正確的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd解析：選Df(x)2 018(xa)(xb)x2(ab)xab2 018，又f(a)f(b)2 018，c，d為函數(shù)f(x)的零點，且ab，cd，所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知cabd，故選D.3(2017山東高考)已知當(dāng)x0,1時，函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是()A(0,12，) B(0,13，)C(0， 2，) D(0， 3，)解析：選B在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)(mx1)2m22與g(x)m的大致圖象分兩種情形：(1)當(dāng)01時，01，如圖，要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個交點，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)綜上所述，m(0,13，)4已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：作出f(x)的圖象如圖所示由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，結(jié)合圖象得0m1，即m(0,1)答案：(0,1)5方程2x3xk的解在1,2)內(nèi)，則k的取值范圍為_解析：令函數(shù)f(x)2x3xk，則f(x)在R上是增函數(shù)當(dāng)方程2x3xk的解在(1,2)內(nèi)時，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k0，f(3)0，f(5)0，根據(jù)零點存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一個零點，故函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,6上的零點至少有3個3.(2018四川雙流中學(xué)必得分訓(xùn)練)函數(shù)f(x)2x2x的零點所處的區(qū)間是()A2，1 B1,0C0,1 D1,2解析：選Bf(2)222(2)0，f(1)212(1)0，由零點存在性定理知，函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間1,0上故選B.4.(2018甘肅天水一中月考)已知函數(shù)f(x)ln xax2ax恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，0) B(0，)C(0,1)(1，) D(，0)1解析：選C由題意，顯然x1是函數(shù)f(x)的一個零點，取a1，則f(x)ln xx2x，f(x)0恒成立則f(x)僅有一個零點，不符合題意，排除A、D；取a1，則f(x)ln xx2x，f(x)，令f(x)0，得x1，則f(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減，f(x)maxf(1)0，即f(x)僅有一個零點，不符合題意，排除B，故選C.5(2018云南第一次統(tǒng)一檢測)已知a，b，c，d都是常數(shù)，ab，cd.若f(x)2 018(xa)(xb)的零點為c，d，則下列不等式正確的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd解析：選Df(x)2 018(xa)(xb)x2(ab)xab2 018，又f(a)f(b)2 018，c，d為函數(shù)f(x)的零點，且ab，cd，所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知cabd，故選D.6函數(shù)f(x)exx2的零點有_個解析：f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(0)120，函數(shù)f(x)有且只有一個零點答案：17已知f(x)則其零點為_解析：當(dāng)x0時，由f(x)0，即xln x0得ln x0，解得x1；當(dāng)x0時，由f(x)0，即x2x20，解得x1或x2.因為x0，所以x1.綜上，函數(shù)的零點為1，1.答案：1，18已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：作出f(x)的圖象如圖所示由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，結(jié)合圖象得0m1，即m(0,1)答案：(0,1)9.已知函數(shù)f(x)x3x2.求證：存在x0，使f(x0)x0.證明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函數(shù)g(x)在上是連續(xù)不斷的曲線，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.10已知yf(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x0，)時，f(x)x22x.(1)寫出函數(shù)yf(x)的解析式(2)若方程f(x)a恰有3個不同的解，求a的取值范圍解：(1)設(shè)x0，則x0，所以f(x)x22x.又因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)(2)方程f(x)a恰有3個不同的解，即yf(x)與ya的圖象有3個不同的交點作出yf(x)與ya的圖象如圖所示，故若方程f(x)a恰有3個不同的解，只需1a1，故a的取值范圍為(1,1)B級拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1.已知x0是f(x)x的一個零點，x1(，x0)，x2(x0,0)，則()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0解析：選C因為x0是函數(shù)f(x)x的一個零點，所以f(x0)0，因為f(x)x在(，0)和(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)，且x1(，x0)，x2(x0,0)，所以f(x1)f(x0)0f(x2)2.設(shè)函數(shù)f(x)exx2，g(x)lnxx23.若實數(shù)a，b滿足f(a)0，g(b)0，則()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0解析：選A因為函數(shù)f(x)exx2在R上單調(diào)遞增，且f(0)120，所以f(a)0時，a(0,1)又g(x)ln xx23在(0，)