高中數(shù)學(xué)第三章3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案新人教選修.docx

3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1了解空間向量坐標(biāo)的定義2掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算3會(huì)利用向量的坐標(biāo)關(guān)系，判定兩個(gè)向量共線(xiàn)或垂直4會(huì)計(jì)算向量的長(zhǎng)度及兩向量的夾角1空間向量的坐標(biāo)表示(1)單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引_向量i，j，k，這三個(gè)互相_的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底i，j，k，這個(gè)基底叫做單位正交基底單位向量i，j，k都叫做_【做一做11】設(shè)e1，e2，e3是空間向量的一個(gè)單位正交基底，則|e1|e2|e3|_.(2)空間向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系中，已知任一向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在_實(shí)數(shù)組(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組_叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)上式可簡(jiǎn)記作a_.【做一做12】向量0的坐標(biāo)為_(kāi)向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法不同，如向量a(x，y，z)，點(diǎn)A(x，y，z)2空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則容易得到ab_；ab_；a_；ab_.(2)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的求法：設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2，y2，z2)(x1，y1，z1)(x2x1，y2y1，z2z1)【做一做2】設(shè)a(1,2,3)，b(1,1,1)，則2ab_.3空間向量平行和垂直的條件設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則(1)ab(b0)_，當(dāng)b1，b2，b3都不為0時(shí)，ab_；(2)ab_.【做一做3】設(shè)a(1,2,3)，b(1，1，x)，ab，則x_.4兩個(gè)向量夾角與向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|_，|b|_，cosa，b_.設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|_.【做一做4】向量a(2，1，1)，b(1，1,0)的夾角余弦值為_(kāi)，_.(1)空間向量的坐標(biāo)是空間向量的一種形式在坐標(biāo)形式下的模長(zhǎng)公式，夾角公式，向量平行和垂直的條件與在普通基底下相同，僅僅是形式不同；(2)空間向量在坐標(biāo)形式下同樣可以用來(lái)求距離(長(zhǎng)度)，夾角，證明垂直和平行關(guān)系等如何理解空間向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算？剖析：(1)注意空間向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系向量的坐標(biāo)是其終點(diǎn)與起點(diǎn)坐標(biāo)的差量只有以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，向量的坐標(biāo)才等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量基本一致，只是多了一個(gè)豎坐標(biāo)(3)坐標(biāo)形式下向量的計(jì)算就是指坐標(biāo)的運(yùn)算題型一 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】設(shè)向量a(3,5,4)，b(2,1,8)，計(jì)算3a2b，(ab)(ab)分析：利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算先求3a,2b，ab，ab；再進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算反思：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算首先進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算然后再進(jìn)行加減運(yùn)算，最后進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，先算括號(hào)內(nèi)的后算括號(hào)外的題型二 空間向量的平行與垂直問(wèn)題【例2】設(shè)向量a(1，x,1x)，b(1x2，3x，x1)，求滿(mǎn)足下列條件時(shí)，實(shí)數(shù)x的值(1)ab；(2)ab.分析：解答本題可先由ab，ab分別建立x的方程，再解方程即可反思：要熟練掌握向量平行和垂直的條件，借助此條件可將立體幾何中的平行垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算在應(yīng)用坐標(biāo)形式下的平行條件時(shí)，一定注意結(jié)論成立的前提條件，在條件不明確時(shí)，要分類(lèi)討論在解答本題時(shí)易出現(xiàn)由abx2的錯(cuò)誤，導(dǎo)致此錯(cuò)誤的原因是忘記了這個(gè)結(jié)論成立的前提條件是1，x,1x都不是0.題型三 空間向量的夾角及長(zhǎng)度公式的應(yīng)用【例3】已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1,1,5)，求以，為鄰邊的平行四邊形面積分析：已知三點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，先求，|，|，再求cos，sin，從而得到結(jié)論反思：運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題的基本思路是：建立空間坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行計(jì)算；將計(jì)算的向量結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論1若A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，令a，b，則ab對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為()A(5,9,2) B(5,9,2)C(5,9,2) D(5,9,2)2下面各組向量不平行的是()Aa(1,0,0)，b(3,0,0)Bc(0,1,0)，d(1,0,1)Ce(0,1,1)，f(0,1,1)Dg(1,0,0)，h(0,0,0)3(2010廣東高考，理10)已知a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)且(ca)2b2，則x的值為()A3 B4 C2 D14若A(2,0,1)，B(3,4，2)，則|_.5向量a(2，3，)，b(1,0,0)，則cosa，b_.6已知向量a(2,2,0)，b(2,0,2)，求向量n使na且nb.答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1(1)單位垂直坐標(biāo)向量【做一做11】3(2)唯一(a1，a2，a3)(a1，a2，a3)【做一做12】(0,0,0)2(1)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3【做一做2】(3,5,7)3(1)aba1b1，a2b2，a3b3(2)ab0a1b1a2b2a3b30【做一做3】4【做一做4】典型例題領(lǐng)悟【例1】解：3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(94,152，1216)(5,13，28)；ab(3,5，4)(2,1,8)(32,51，48)(5,6,4)；ab(3,5，4)(2,1,8)(32，51，48)(1,4，12)，(ab)(ab)(5,6,4)(1,4，12)51644(12)5244819.【例2】解：(1)當(dāng)x0時(shí)，a(1,0,1)，b(1,0,1)，ab，滿(mǎn)足ab.當(dāng)x1時(shí)，a(1,1,0)，b(0，3,2)，不滿(mǎn)足ab，x1.當(dāng)x0，x1時(shí)，由abx2.綜上所述，當(dāng)x0，或x2時(shí)，ab.(2)abab0，(1，x,1x)(1x2，3x，x1)01x23x21x20，解得x.當(dāng)x時(shí)，ab.【例3】解：A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，(2,1,6)(0,2,3)(2，1,3)，(1，1,5)(0,2,3)(1，3,2)|，|，(2，1,3)(1，3,2)2367.cos，sin，以，為鄰邊的平行四邊形的面積S|sin，7.隨堂練習(xí)鞏固1Ba(2，4，1)(3，4,1)(1,0，2)，b(1,5,1)(3，4,1)(4,9,0)，故ab(5,9，2)2BA項(xiàng)中b3a，ab，C項(xiàng)中fe，fe，D項(xiàng)中h0，h