第9章 Matlab在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用.doc

第9章 Matlab在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用從根本上講，復(fù)變函數(shù)的運算是實變函數(shù)運算的一種延伸，但由于其自身的一些特殊的性質(zhì)而顯得不同，特別是當它引進了“留數(shù)”的概念，且在引入了Taylor級數(shù)展開，Laplace變換和Fourier變換之后而使其顯得更為重要了。本章將重點介紹使用Matlab來進行復(fù)變函數(shù)的各種計算；介紹留數(shù)的概念及Matlab的實現(xiàn)；介紹在復(fù)變函數(shù)中有重要應(yīng)用的Taylor展開（Laurent展開、Laplace變換和Fourier變換）。9.1 復(fù)數(shù)及其矩陣的生成在Matlab中，復(fù)數(shù)的單位為i和j，即：i = j =。9.1.1 復(fù)數(shù)的生成在Matlab中，產(chǎn)生復(fù)數(shù)的方法有兩種：1. 由z = x + y*i產(chǎn)生，可簡寫成z = x + y i ；2. 由z = r*exp (i*theta)產(chǎn)生，可簡寫成z = r*exp (theta i )，其中r為復(fù)數(shù)z的模，theta為復(fù)數(shù)z輻角的弧度值。9.1.2 復(fù)數(shù)矩陣的輸入Matlab的矩陣元素允許是復(fù)數(shù)、復(fù)變量和由它們組成的表達式。復(fù)數(shù)矩陣的輸入方法有兩種：1. 與實數(shù)矩陣相同的輸入方法（見第1章）2. 將實部、虛部矩陣分開輸入，再寫成和的形式例9-1 A=1,3;-2,4-5 8;6 -9*iA = 1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i -2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 復(fù)數(shù)的運算9.2.1 復(fù)數(shù)的實部與虛部復(fù)數(shù)的實部和虛部用命令real和imag提取。格式：real (z) %返回復(fù)數(shù)z的實部 imag (z) %返回復(fù)數(shù)z的虛部9.2.2 共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)由命令conj實現(xiàn)。格式：conj (z) %返回復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)9.2.3 復(fù)向量或復(fù)矩陣的轉(zhuǎn)置復(fù)向量或復(fù)矩陣的轉(zhuǎn)置符合兩個規(guī)則：1. 符合實矩陣轉(zhuǎn)置原則2. 轉(zhuǎn)置后的元素均為共軛復(fù)數(shù)格式：Z %Z的共軛轉(zhuǎn)置例9-2 A=1,3;-2,4-5 8;6 -9*iA = 1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i -2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i Aans = 1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i 3.0000 + 8.0000i 4.0000 - 9.0000i若要得Z的非共軛轉(zhuǎn)置，可用Z .或conj (Z)。接上例 A.ans = 1.0000 - 5.0000i -2.0000 - 6.0000i 3.0000 - 8.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2.4 復(fù)數(shù)的模和輻角求復(fù)數(shù)的模和輻角由函數(shù)abs和angle實現(xiàn)。格式：abs (z) %返回復(fù)數(shù)z的模 angle (z) %返回復(fù)數(shù)z的輻角例9-3 求下列復(fù)數(shù)的實部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模、輻角、轉(zhuǎn)置。（1） （2） （3） （4）解：可以將上述4個復(fù)數(shù)組成復(fù)矩陣一并處理。在Matlab編輯器中建立M文件LX0903.m：format rat %有理數(shù)表示Z=1/(2+3i),1/i+3i/(1+i),(2+3i)*(3-4i)/2i,i7-4*i17+ire=real(Z) %求實部im=imag(Z) %求虛部Z1=conj(Z) %求共軛復(fù)數(shù)r=abs(Z) %求模theta=angle(Z) %求輻角Z2=Z %求轉(zhuǎn)置運行結(jié)果為：Z = Columns 1 through 4 2/13 - 3/13i 3/2 +1/2i 1/2 - 9i 0 - 4i re = 2/13 3/2 1/2 0 im = -3/13 1/2 -9 -4 Z1 = Columns 1 through 4 2/13 + 3/13i 3/2 - 1/2i 1/2 + 9i 0 + 4i r = 1369/4936 721/456 11691/1297 4 theta = -971/988 250/777 -941/621 -355/226 Z2 = 2/13 + 3/13i 3/2 - 1/2i 1/2 + 9i 0 + 4i 9.2.5 復(fù)數(shù)的乘除法運算符：* %乘法：模相乘，輻角相加 / %除法：模相除，輻角相減例9-4 z1=4*exp(pi/3i)z1 = 2.0000 - 3.4641i z2=3*exp(pi/5i)z2 = 2.4271 - 1.7634i z3=3*exp(pi/5*i)z3 = 2.4271 + 1.7634i z1/z2ans = 1.2181 - 0.5423i注意：1/5i = 1/(5*i)，而1/5i1/5*i = (1/5)*i9.2.6 復(fù)數(shù)的平方根函數(shù)：sqrt格式：sqrt (z) %返回復(fù)數(shù)z的平方根值9.2.7 復(fù)數(shù)的冪運算運算符：格式： zn %返回復(fù)數(shù)z的n次冪例9-5 計算： 解：在Matlab命令窗口鍵入： z1=(1+i)6z1 = 0 - 8.0000i z2=(-1)(1/6)z2 = 0.8660 + 0.5000i %取k = 0之值 z3=(1-i)(1/3)z3 = 1.0842 - 0.2905i %取k = 0之值9.2.8 復(fù)數(shù)的指數(shù)運算和對數(shù)運算函數(shù)：exp %指數(shù)運算 log%對數(shù)運算格式：exp (z) %返回復(fù)數(shù)z的以e為底的指數(shù)函數(shù)值 log (z) %返回復(fù)數(shù)z的以e為底的對數(shù)函數(shù)值例9-6 計算： 解：在Matlab窗口鍵入： z1=exp(1-i*pi/2)z1 = 0.0000 - 2.7183i z2=exp(i*log(3)z2 = 0.4548 + 0.8906i或 z2=3iz = 0.4548 + 0.8906i z3=(1+i)i %或z3=exp(i*log(1+i)z3 = 0.4288 + 0.1549i z4=log(-3+4i)z4 = 1.6094 + 2.2143i9.2.9 復(fù)數(shù)的三角運算sin (z)、cos (z)、tan (z)、cot (z)、sec (z)、asin (z)、等函數(shù)，返回復(fù)數(shù)z的函數(shù)值。注意：在Matlab中，復(fù)數(shù)運算的結(jié)果都是主值。如上述各例。9.2.10 復(fù)數(shù)方程求根函數(shù)：solve格式：solve (f (x) = 0) %求方程f (x) = 0的根例9-7 求方程x 3+8 = 0所有的根。解：在Matlab命令窗口鍵入： solve(x3+8=0)結(jié)果為：ans = -2 1-i*3(1/2) 1+i*3(1/2)9.3 復(fù)變函數(shù)的積分9.3.1 非閉合路徑的積分非閉合路徑的積分，用函數(shù)int求解，方法同微積分部分的積分。例9-8 計算，（沿1到i的值線段）。解：在Matlab編輯器中編輯M文件LX0908.m：z1=int(exp(2*z),z,-pi*i,3*pi*i)syms zz2=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)z3=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)z4=int(1+tan(z)/cos(z)2,z,1,i)運行結(jié)果為：z1 = 0z2 = -1/3*iz3 = -i*exp(-i)z4 =1/2*(2*i*cos(1)2*sinh(1)*cosh(1)+cos(1)2-2*cosh(1)2*sin(1)*cos(1)-cosh(1)2)/cosh(1)2/cos(1)2說明：在z1中定義表達式為符號；在z2、z3、z4中，先定義符號變量，再進行積分。兩種方法都可行，且結(jié)果一樣。9.3.2 沿閉合路徑積分對沿閉合路徑的積分，先計算閉區(qū)域內(nèi)各孤立奇點的留數(shù)，再利用留數(shù)定理可得積分值。9.3.2.1 留數(shù)計算留數(shù)定義：設(shè)a為f (z)的孤立奇點，C為a的充分小的鄰域內(nèi)一條包含a點的閉路，積分稱為f (z)在a點的留數(shù)或殘數(shù)，記作Resf (z), a。在Matlab中，可由函數(shù)residue實現(xiàn)。函數(shù)：residue %留數(shù)函數(shù)（部分分式展開）格式：R, P, K = residue (B, A)說明： 向量B為f (z)的分子系數(shù)；（以s降冪排列） 向量A為f (z)的分母系數(shù)；（以s降冪排列） 向量R為留數(shù)； 向量P為極點；極點的數(shù)目n = length (A)-1=length (R) = length (P)。 向量K為直接項，如果length (B) r1,p1,k1=residue(1,1,1,-2,0)r1 = 1.5000 -0.5000p1 = 2 0k1 = r2,p2,k2=residue(1 0,1 0 0 0 -1)r2 = 0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000ip2 = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000ik2 = 反之： B,A=residue(0.2500 0.2500 -0.2500 -0.2500,-1 1 i -i,)B = 0 0 1 0A = 1 0 0 0 -19.3.2.2 閉合路徑積分留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1，z2，z n外處處解析，C為D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則 。閉合路徑積分利用留數(shù)定理來計算。例9-10 計算積分 其中C為正向圓周| z | = 2。解：在Matlab編輯器中建立M文件LX0910.m：B=1 0;A=1 0 0 0 -1;r,p,k=residue(B,A) %求被積函數(shù)的留數(shù)I=2*pi*sum(r) %利用留數(shù)定理計算積分值運行結(jié)果為：r = 0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000ip = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000ik = I = 09.4 Taylor級數(shù)展開Taylor級數(shù)展開在復(fù)變函數(shù)中有很重要的地位，如分析復(fù)變函數(shù)的解析性等。函數(shù)：taylor %Taylor級數(shù)展開格式：taylor (f) %返回f函數(shù)的5次冪多項式近似 taylor (f, n) %返回n-1次冪多項式近似 taylor (f, a) %返回a點附近的冪多項式近似 taylor (f, x) %對f中的變量x展開；若不含x，則對變量x = findsym (f)展開。例9-11 求下列函數(shù)在指定點的Taylor級數(shù)展開式。 （1）1/z2，z0 = -1； （2）tan (z)，z0 = pi/4； （3）sinz/z，z0 = 0解：在Matlab中實現(xiàn)為： syms z taylor(1/z2,-1)ans =3+2*z+3*(z+1)2+4*(z+1)3+5*(z+1)4+6*(z+1)5 taylor(tan(z),pi/4)ans = 1+2*z-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)2+8/3*(z-1/4*pi)3+10/3*(z-1/4*pi)4+64/15*(z-1/4*pi)5 taylor(sin(z)/z,10)ans = 1-1/6*z2+1/120*z4-1/5040*z6+1/362880*z8從（3）的展開式可知彼知已z = 0是sinz/z的可去奇點。注意：taylor展開運算實質(zhì)上是符號運算，因此在不久的將來Matlab中執(zhí)行此命令前應(yīng)先定義符號變量syms z，否則Matlab將給出出錯信息！9.5 Laplace變換及其逆變換9.5.1 Laplace變換函數(shù)：laplace格式：L = laplace (F) %返回以默認獨立變量t對符號函數(shù)F的Laplace變換。函數(shù)返回默認為s的函數(shù)。如果 F = F (s)，則Laplace變換返回t的函數(shù)L = L (t)。其中定義L為對t的積分L (s) = int(F (t)*exp (-s*t), 0, inf)。L = laplace (F, t) %以t代替s的Laplace變換。laplace (F, t)等價于L (t) = int(F (x)*exp (-t*x), 0, inf)。L = laplace (F, w, z) %以z代替s的Laplace變換(相對于w的積分)。laplace (F, w, z)等價于L (z) = int (F (w)*exp (-z*w), 0, inf)。例9-12 syms a s t w x laplace(x5)ans = 120/s6 laplace(exp(a*s)ans = 1/(t-a) laplace(sin(w*x),t)ans = w/(t2+w2) laplace(cos(x*w),w,t)ans = t/(t2+x2) laplace(x (3/2),t)ans = 3/4/t(5/2)*pi(1/2) laplace(diff(F(x)ans = s*laplace(F(x),x,s)-F(0)9.5.2 Laplace逆變換函數(shù)：ilaplace格式：F = ilaplace (L) %返回以默認獨立變量s對符號函數(shù)L的Laplace逆變換，默認返回t的函數(shù)。如果L = L (t)，則ilaplace返回x的函數(shù)F = F (x)。F = ilaplace (L, y) %以y代替默認的t的函數(shù)。F = ilaplace (L, y, x) %以x代替t的函數(shù)，求逆變換時對y取積分。例9-13 syms s t w x y ilaplace(1/(s-1)ans = exp(t) ilaplace(1/(t2+1)ans = sin(x) ilaplace(t(-5/2),x)ans = 4/3*x(3/2)/pi(1/2) ilaplace(y/(y2+w2),y,x)ans = cos(w2)(1/2)*x) ilaplace(laplace(F(x),x,s),s,x)ans = F(x)9.6 Fourier變換及其逆變換9.6.1 Fourier變換函數(shù)：fourier格式：F = fourier (f) %返回以默認獨立變量x對符號函數(shù)f的Fourier變換，默認返回w的函數(shù)；如果f = f (w)，則fourier函數(shù)返回t的函數(shù)F = F (t)。F = fourier (f, v) %以v代替默認值w的Fourier變換。F = fourier (f, u, v)