廣東省佛山市中大附中三水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué)《421 直線與圓的位置關(guān)系》課件 新人教A版必修2.ppt

4 2直線 圓的位置關(guān)系4 2 1直線與圓的位置關(guān)系 1 了解直線與圓的位置關(guān)系 有相離 相切 相交三種情形 2 會(huì)用幾何法 d與r的關(guān)系 代數(shù)法 直線方程與圓的方程解的組數(shù) 來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系 問(wèn)題 一個(gè)小島的周圍有環(huán)形暗礁 暗礁分布在以小島的中心為圓心 半徑為30km的圓形區(qū)域 小島中心位于輪船正西70km處 港口位于小島中心正北40km處 如果輪船沿直線返航 它是否有觸礁危險(xiǎn) o 港口 輪船 直線與圓有三種位置關(guān)系 1 直線與圓 有兩個(gè)公共點(diǎn) 2 直線與圓 有一個(gè)公共點(diǎn) 3 直線與圓 沒(méi)有公共點(diǎn) 相交 相切 相離 思考 如何判斷直線和圓的位置關(guān)系 結(jié)合剛說(shuō)的問(wèn)題 1 判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法 1 利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小判斷 dr 相離 2 聯(lián)立直線與圓的方程組成方程組 判斷方程組有沒(méi)有解 例1 已知直線l 3x y 6 0和圓心為c的圓判斷直線和圓的位置關(guān)系 如果相交 求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)例2 已知圓的方程直線y x b 當(dāng)b為何值時(shí) 圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn) 圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn) 圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn) 自我檢測(cè) 教材p128頁(yè)2 4題 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 教材p132頁(yè)a組的1 3題 第二課時(shí) 目標(biāo) 會(huì)解決直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題 例1 求直線l 3x y 6 0被圓c 截得的弦ab的長(zhǎng)例2 已知過(guò)點(diǎn)m 3 3 的直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為 求直線l的方程 有關(guān)直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)問(wèn)題一般地 求直線與圓相交所得的弦長(zhǎng) 可結(jié)合垂徑定理與勾股定理 幾何法 來(lái)處理 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 教材p132頁(yè)a組的6 7題 第三課時(shí) 目標(biāo) 理解直線和圓相切的位置關(guān)系 會(huì)解決直線和圓相切的有關(guān)問(wèn)題 思考 1 求過(guò)點(diǎn)a 1 2 和圓相切的直線方程2 求和圓相切且切點(diǎn)為p 1 1 的直線方程3 若圓的半徑為1 圓心在第一象限 且與直線4x 3y 0和x軸都相切 求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 4 已知圓與y軸且于原點(diǎn) 那么 a d 0 e 0 f 0b d 0 e 0 f 0c d 0 e 0 f 0d d 0 e 0 f 0達(dá)標(biāo)檢測(cè) 導(dǎo)練設(shè)計(jì)p149頁(yè)1 12題 第四課時(shí) 目標(biāo) 1 知道兩圓的5種位置關(guān)系2 會(huì)用兩種方法判斷兩圓位置關(guān)系 一種是通過(guò)圓心距與半徑之間的關(guān)系 另一種是兩圓的方程聯(lián)立的方程組的解得個(gè)數(shù)來(lái)判斷 思考 1 兩圓的位置關(guān)系有哪幾種 2 如何判斷兩圓的位置關(guān)系 已知圓c1 圓c2 試判斷兩圓的位置關(guān)系 o1 o2 o1 o2 o1 o2 o1 o2 1 兩圓的公切線2 兩圓的交線和圓心連線關(guān)系 總結(jié) 判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法1 兩圓的圓心距和半徑之間的關(guān)系2 兩圓的方程聯(lián)立的方程組的解得組數(shù)鞏固訓(xùn)練 判斷兩圓的位置關(guān)系c1 c2 例1 若圓c1 與圓c2 相切 則a的 例2 兩圓的公切線有 條 例3 兩圓交于a 1 3 b m 1 兩圓的圓心在直線x y n 0上 則m n 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 教材p132頁(yè)4 9 10題課后作業(yè) 導(dǎo)練設(shè)計(jì)p151頁(yè)的1 12題 作業(yè)問(wèn)題9 求圓與圓的公共弦長(zhǎng) 10 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)m 2 2 以及圓與交點(diǎn)的圓的方程 4 求圓心在直線x y 4 0上 并且經(jīng)過(guò)圓與圓的交點(diǎn)的圓的方程達(dá)標(biāo)檢測(cè) 導(dǎo)練設(shè)計(jì)p151頁(yè)1 11題 3 求圓的切線方程的常用方法 1 若點(diǎn)p x0 y0 在圓c上 過(guò)點(diǎn)p的切線只有一條 利用圓的切線的性質(zhì) 求出切線的斜率 k切 代入點(diǎn)斜式方程可得 也可以利用結(jié)論 若點(diǎn)p x0 y0 在圓x2 y2 r2上 則過(guò)該點(diǎn)的切線方程是x0 x y0y r2 若點(diǎn)p x0 y0 在圓 x a 2 y b 2 r2上 則過(guò)該點(diǎn)的切線方程是 x0 a x a y0 b y b r2 2 若點(diǎn)p x0 y0 在圓c外 過(guò)點(diǎn)p的切線有兩條 這時(shí)可設(shè)切線方程為y y0 k x x0 利用圓心c到切線的距離等于半徑求k 若k僅有一值 則另一切線斜率不存在 應(yīng)填上 也可用判別式 0求k的值 典例剖析 學(xué)生用書p88 題型一直線與圓的位置關(guān)系例1 直線x y 3 0與圓x2 y2 4x 2y 3 0是相切 相離還是相交 消去y 并整理可得 x2 6x 9 0 6 2 4 9 0 直線與圓相切 方法2 將已知圓配方得 x 2 2 y 1 2 2 圓心 2 1 到直線的距離 故直線與圓相切 規(guī)律技巧 判斷圓與直線的位置關(guān)系有以下兩種方法 1 把圓c的圓心c a b 到直線l的距離d與圓的半徑r作比較 即圓c與直線l相離 d r 圓c與直線l相切 d r 圓c與直線l相交 d r 2 用圓c和直線l的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定 一般需通過(guò)解方程組進(jìn)行消元 然后用判別式來(lái)判斷 這種方法計(jì)算量大一點(diǎn) 但具有較普遍的意義 變式訓(xùn)練1 以點(diǎn)c 4 3 為圓心的圓與直線2x y 5 0相離 則圓c的半徑r的取值范圍是 解析 圓心c 4 3 到直線2x y 5 0的距離 題型二切線問(wèn)題例2 已知圓的方程是x2 y2 r2 求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)m x0 y0 的切線方程 分析 只要求出切線的斜率即可 解 如右圖所示 設(shè)切線的斜率為k 半徑om的斜率為k1 因?yàn)閳A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑 于是 當(dāng)點(diǎn)m在坐標(biāo)軸上 可以驗(yàn)證上面方程同樣適用 變式訓(xùn)練2 求由下列條件所決定圓x2 y2 4的切線方程 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)q 3 0 3 斜率為 1 解 1 點(diǎn)在圓上 故所求切線方程為 2 32 02 4 點(diǎn)q在圓外 設(shè)切線方程為y k x 3 即kx y 3k 0 直線與圓相切 圓心到直線的距離等于半徑 k 所求切線方程為y 即 3 設(shè)圓的切線方程為y x b 代入圓的方程 整理得2x2 2bx b2 4 0 直線與圓相切 2b 2 4 2 b2 4 0 解得b 所求切線方程為x y 規(guī)律技巧 2 也可由判別式法和求切點(diǎn)坐標(biāo)的方法求切線方程 3 也可利用圓心到直線的距離等于半徑求切線方程 題型三弦長(zhǎng)問(wèn)題例3 直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)p 5 5 且和圓c x2 y2 25相交 截得弦長(zhǎng)為求l的方程 分析 若直線l的斜率不存在 l x 5與圓c相切 可知直線l的斜率存在 設(shè)直線l的方程為y 5 k x 5 再根據(jù)弦長(zhǎng)得方程求k 解法1 設(shè)直線l的方程為y 5 k x 5 且與圓c相交于a x1 y1 b x2 y2 兩邊平方 整理得2k2 5k 2 0 解得或k 2 代入 1 知 0 故直線l的方程為x 2y 5 0 或2x y 5 0 解法2 如右圖所示 oh是圓心到直線l的距離 oa是圓的半徑 ah是弦長(zhǎng)ab的一半 在rt aho中 oa 5 規(guī)律技巧 關(guān)于弦長(zhǎng)問(wèn)題 通常有兩種方法 其一稱為代數(shù)法 即將直線方程代入圓的方程 消去一個(gè)變量y 或x 利用韋達(dá)定理 代入兩點(diǎn)間距離公式求解 其二稱為幾何法 即半弦長(zhǎng) 弦心距 半徑組成直角三角形 利用直角三角形求解 本例說(shuō)明幾何法比代數(shù)法簡(jiǎn)便 變式訓(xùn)練3 求直線l 3x y 6 0被圓x2 y2 2y 4 0截得的弦長(zhǎng) 消去y得x2 3x 2 0 解得x1 1 x2 2 y1 3 y2 0 兩交點(diǎn)坐標(biāo)a 1 3 b 2 0 弦長(zhǎng) 易錯(cuò)探究例4 求過(guò)點(diǎn)p 6 8 與圓c x2 y2 2x 4y 20 0相切的直線方程 錯(cuò)解 將圓的方程配方 得 x 1 2 y 2 2 25 圓心c 1 2 半徑r 5 易知點(diǎn)p 6 8 在圓c外部 設(shè)切線方程為y 8 k x 6 即kx y 6k 8 0 由圓心到切線的距離等于半徑得解得 切線方程為即3x 4y 14 0 錯(cuò)因分析 事實(shí)上 從圓外一點(diǎn)作圓的切線有兩條錯(cuò)解中只考慮了斜率存在的情況 忽略了斜率不存在時(shí)的切線 造成錯(cuò)解 正解 在錯(cuò)解中補(bǔ)充上 另一條切線x 6即可 技能演練 學(xué)生用書p90 基礎(chǔ)強(qiáng)化1 若直線x y m 0與圓x2 y2 m相切 則m為 a 0或2b 2c d 無(wú)解解析 依題意得 m2 2m m 0 m 2 答案 b 2 直線y x 1上的點(diǎn)到圓x2 y2 4x 2y 4 0的最近距離為 解析 圓心 2 1 到直線y x 1的距離是 直線上的點(diǎn)到圓的最近距離是答案 c 3 若直線ax by 1與圓x2 y2 1相交 則點(diǎn)p a b 的位置是 a 在圓上b 在圓外c 在圓內(nèi)d 以上都有可能解析 由題意可得 點(diǎn)p a b 在圓外 答案 b 4 設(shè)直線過(guò)點(diǎn) 0 a 其斜率為1 且與圓x2 y2 2相切 則a的值為 a 4b c 2d 解析 直線方程為y a x 即x y a 0 該直線與圓x2 y2 2相切 a 2 答案 c 5 直線3x 4y 5 0與圓2x2 2y2 4x 2y 1 0的位置關(guān)系是 a 相離b 相切c 相交且過(guò)圓心d 相交不過(guò)圓心 解析 將圓的方程配方得 直線與圓相交且通過(guò)圓心 答案 c 6 過(guò)點(diǎn)的直線l將圓 x 2 2 y2 4分成兩段弧 當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí) 直線l的斜率k 解析 當(dāng)直線l與過(guò)圓心 2 0 和點(diǎn)的直線垂直時(shí) 直線l截得的劣弧最短 此時(shí)其對(duì)的圓心角最小 可求得 7 若直線y x k與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn) 則k的取值范圍是 解析 利用數(shù)形結(jié)合法 8 求與直線y x 3平行且與圓 x 2 2 y 3 2 8相切的直線方程 解 方法1 設(shè)直線的方程為y x m 即x y m 0 圓 x 2 2 y 3 2 8的圓心坐標(biāo)為 2 3 半徑為由得m 5或m 3 所以直線方程為y x 5或y x 3 方法2 設(shè)直線的方程為y x m 和圓的方程聯(lián)立消去y得2x2 2m 10 x m2 6m 5 0 由直線與圓相切 2m 10 2 8 m2 6m 5 0 即m2 2m 15 0 解得m 5或m 3 所以直線的方程為y x 5或y x 3 能力提升9 在直線上求一點(diǎn)p 使p到圓x2 y2 1的切線長(zhǎng)最短 并求出此時(shí)切線的長(zhǎng) 解 設(shè)p x0 y0 則切線長(zhǎng)故當(dāng)p為時(shí) 切線長(zhǎng)最短 其值為 10 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)p 6 4 且被定圓x2 y2 20截得弦長(zhǎng)為直線的方程 分析 充分利用半徑 弦 弦心距之間的關(guān)系 解 如下圖所示 作oc ab于c 在rt oac中 oc 設(shè)所求直線的斜率為k 則直線的方程為y 4 k x 6 即kx y 6k 4 0 圓心到直線的距離為 即17k2 24k 7 0 k1 1 k2 所求直線方程為x y 2 0或7x 17y 26 0 品味高考 學(xué)生用書p90 11 2009 遼寧 已知圓c與直線x y 0及x y 4 0都相切 圓心在直線x y 0上 則圓