高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明章末歸納總結(jié)課件 北師大版選修22.ppt

成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 北師大版 選修2 2 推理與證明 第一章 第一章 章末歸納總結(jié) 一 推理推理的分類 過(guò)程和作用如下 二 數(shù)學(xué)問題的證明1 綜合法和分析法綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法 應(yīng)用綜合法證明問題時(shí) 必須首先想到從哪里開始起步 分析法就可以幫助我們克服這種困難 在實(shí)際證明問題時(shí) 應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法綜合起來(lái)使用 轉(zhuǎn)換解題思路 增加解題途徑 用p表示已知條件及已有的定義 公理 定理等 q表示所要證明的結(jié)論 則分析法可用框圖表示為 2 反證法反證法是一種間接證法 它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè) 然后 從這個(gè)假設(shè)出發(fā) 經(jīng)過(guò)正確的推理 導(dǎo)致矛盾 從而否定與結(jié)論相反的假設(shè) 達(dá)到肯定原命題正確的一種方法 反證法可以分為歸謬反證法 結(jié)論的反面只有一種 與窮舉反證法 結(jié)論的反面不只一種 用反證法證明一個(gè)命題的步驟 大體上分為 1 反設(shè) 2 歸謬 3 存真 3 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是邏輯推理 它的第一步稱為奠基步驟 是論證的基礎(chǔ)保證 即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn) 這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠 它的第二步稱為遞推步驟 是命題具有后繼傳遞性的保證 兩步合在一起為完全歸納步驟 這兩步缺一不可 第二步中證明 當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論正確 的過(guò)程中 必須用 歸納假設(shè) 否則就是錯(cuò)誤的 將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣 123456789101112131415 根據(jù)以上排列規(guī)律 數(shù)陣中第n n 3 行的從左至右的第3個(gè)數(shù)為 歸納推理 1 對(duì)于問題 已知關(guān)于x的不等式ax2 bx c 0的解集為 1 2 解關(guān)于x的不等式ax2 bx c 0 給出如下一種解法 類比推理 答案 3 1 1 2 點(diǎn)評(píng) 在平時(shí)學(xué)習(xí)中 常以一兩個(gè)對(duì)象為中心 把它們的特征中有類比關(guān)系的特征歸納整理成圖表 思維過(guò)程一般為 具體問題 類比推理 聯(lián)想 形成一般命題 結(jié)論猜想 證明預(yù)見 對(duì)于定義域?yàn)?0 1 的函數(shù)f x 如果同時(shí)滿足 對(duì)任意的x 0 1 總有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 則稱函數(shù)f x 為理想函數(shù) 1 若函數(shù)f x 為理想函數(shù) 證明 f 0 0 2 試判斷函數(shù)f x 2x x 0 1 f x x2 x 0 1 f x x 0 1 是否是理想函數(shù) 用綜合法證明 點(diǎn)評(píng) 用綜合法證明問題的特點(diǎn)是從已知條件出發(fā) 逐步推向結(jié)論 綜合法的適用范圍 1 定義明確的問題 如證明函數(shù)的單調(diào)性 奇偶性 求證無(wú)條件的等式或不等式 2 已知條件明確 并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型 在使用綜合法證明時(shí) 易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是因果關(guān)系不明確 邏輯表達(dá)混亂 用分析法證明 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)與不等式證明的綜合應(yīng)用 題目中的條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯 因此可以用分析法挖掘題目中的隱含條件 在證明過(guò)程中注意分析法的格式與步驟 對(duì)于與三角函數(shù)有關(guān)的證明題 在證明過(guò)程中注意角的取值范圍及三角恒等變形公式的靈活應(yīng)用 求證 拋物線上任取四點(diǎn)所組成的四邊形不可能是平行四邊形 反證法 假設(shè)四邊形abcd是平行四邊形 則kab kcd kbc kda 從而得y1 y3 y2 y4 進(jìn)而得x1 x3 x3 x4 于是點(diǎn)a c重合 點(diǎn)b d重合 這與假設(shè)a b c d是拋物線上不同的四點(diǎn)相矛盾 故四邊形abcd不可能是平行四邊形 點(diǎn)評(píng) 當(dāng)結(jié)論為否定形式的命題時(shí) 常常借助于反證法進(jìn)行證明 如將 不可能是平行四邊形 假設(shè)為 能成為平行四邊形 然后利用已知條件和假設(shè)結(jié)論進(jìn)行演繹推理 推出的結(jié)果同已知條件或已成立的事實(shí)矛盾 從而得出 假設(shè)不成立 的結(jié)論 已知 abc的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù) 1 求證 cosa是有理數(shù) 2 對(duì)任意正整數(shù)n 求證 cosna是有理數(shù) 分析 本題主要考查余弦定理 數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí) 考查推理論證的能力與分析問題 解決問題的能力 數(shù)學(xué)歸納法 假設(shè)當(dāng)n k k 1 時(shí) coska和sina sinka都是有理數(shù) 當(dāng)n k 1時(shí) 由cos k 1 a cosa coska sina sinka sina sin k 1 a sina sina coska cosa sinka sina sina coska sina sinka cosa 由 和歸納假設(shè) 知cos k 1 a與sina sin k 1 a 都是有理數(shù) 即當(dāng)n k 1時(shí) 結(jié)論成立 綜合 可知 對(duì)任意正整數(shù)n cosna是有理數(shù) 一 填空題1 依次寫出數(shù)列a1 1 a2 a3 an n n 的法則如下 如果an 2為自然數(shù)且未寫過(guò) 則寫an 1 an 2 否則就寫an 1 an 3 則a6 a 4b 5c 6d 7 答案 c 解析 根據(jù)題中法則 依次逐個(gè)代入 得a2 4 a3 2 a4 0 a5 3 a6 6 答案 c 3 2014 東北三校模擬 下列代數(shù)式 其中k n 能被9整除的是 a 6 6 7kb 2 7k 1c 2 2 7k 1 d 3 2 7k 答案 d 解析 1 當(dāng)k 1時(shí) 顯然只有3 2 7k 能被9整除 2 假設(shè)當(dāng)k n n n 時(shí) 命題成立 即3 2 7n 能被9整除 那么3 2 7n 1 21 2 7n 36 3 2 7n 能被9整除 36能被9整除 21 2 7n 36能被9整除 這就是說(shuō) k n 1時(shí)命題也成立 由 1 2 可知 命題對(duì)任何k n