天津市薊州等部分區(qū)2019屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

天津市薊州等部分區(qū)2019屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集,則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，全集，則，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算問題，其中解答中熟記集合的交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算是解答問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)變量滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）A. 1B. 2C. 7D. 8【答案】C【解析】試題分析：作出可行域及目標(biāo)函數(shù)線如圖:平移目標(biāo)函數(shù)線使之經(jīng)過可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過點(diǎn)時(shí)縱截距最大，此時(shí)也最大由，則故C正確考點(diǎn)：線性規(guī)劃3.閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為( )A. 8B. 4C. -4D. -20【答案】B【解析】【分析】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，逐次計(jì)算，即可求得輸出的結(jié)果，得到答案.【詳解】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，第1次循環(huán)，不滿足條件；第2次循環(huán)，不滿足條件；第3次循環(huán)，不滿足條件；第4次循環(huán)，滿足條件，此時(shí)輸出，故選B.【點(diǎn)睛】識(shí)別算法框圖和完善算法框圖是近年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)解決這類問題：首先，要明確算法框圖中的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，要識(shí)別運(yùn)行算法框圖，理解框圖解決的問題；第三，按照框圖的要求一步一步進(jìn)行循環(huán)，直到跳出循環(huán)體輸出結(jié)果，完成解答近年框圖問題考查很活，常把框圖的考查與函數(shù)和數(shù)列等知識(shí)考查相結(jié)合4.已知，則的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解 【詳解】解：，的大小關(guān)系為：故選【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)比較三個(gè)數(shù)的大小，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題 5.設(shè)，則“”是“”的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】由，可知“”是“”的必要不充分條件故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)6.在中，為的中點(diǎn)，則（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積的定義,計(jì)算即可【詳解】解：如圖所示，中，是的中點(diǎn)，故選【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題7.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有點(diǎn)（ ）A. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的最值求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論【詳解】解：由函數(shù)（其中，的圖象可得，求得再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，求得，函數(shù)故把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題8.已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，分別交軸于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為12，則當(dāng)取得最大值時(shí)，該雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意，的周長(zhǎng)為24，利用雙曲線的定義，可得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意，的周長(zhǎng)為24，時(shí)，取得最大值，此時(shí)，即漸近線方程為 故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,知識(shí)綜合性強(qiáng)二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，滿分30分，）9.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) _【答案】【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求值【詳解】，故答案【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題10.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則_【答案】1【解析】【分析】先求，再代入得解.【詳解】解：，（1），故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查型導(dǎo)函數(shù)求法，屬于基礎(chǔ)題.11.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，1，2，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為_【答案】【解析】分析】由題意，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，所以其對(duì)角線長(zhǎng)為，求得球的半徑為，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，所以其對(duì)角線長(zhǎng)為，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，則，即，所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的表面積和球的組合體問題，其中解答中根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于其外接球的直徑，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)P坐標(biāo)為，則直線的方程為_【答案】【解析】【分析】把圓的標(biāo)準(zhǔn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心的坐標(biāo)，由垂徑定理得到圓心與弦的中點(diǎn)連線與弦垂直，根據(jù)圓心的坐標(biāo)及的坐標(biāo)求出半徑所在直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為，求出直線的斜率，再根據(jù)的坐標(biāo)及求出的斜率寫出直線的方程即可【詳解】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，可得圓心，直線的斜率為1，直線的斜率為，則直線的方程為：，即故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，直線斜率的求法，以及直線方程求法，靈活運(yùn)用垂徑定理是解本題的關(guān)鍵13.已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為，然后得到，再結(jié)合基本不等式確定其最值即可【詳解】解：，恒成立，且，= 因?yàn)楹愠闪?，故答案為【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了基本不等式及其靈活運(yùn)用，注意基本不等式的適應(yīng)關(guān)鍵：一正、二定（定值）、三相等（即驗(yàn)證等號(hào)成立的條件），注意給條件求最值問題，一定要充分利用所給的條件，作出適當(dāng)?shù)淖冃?，然后巧妙的利用基本不等式進(jìn)行處理，屬于基礎(chǔ)題14.已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)，求出的零點(diǎn)，然后在求解時(shí)的零點(diǎn)，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程，可得，解得，函數(shù)由一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即在上只有一個(gè)解，因?yàn)楹瘮?shù)開口向上，對(duì)稱的方程為，所以函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力.三、解答題 （本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.為維護(hù)交通秩序，防范電動(dòng)自行車被盜，天津市公安局決定，開展二輪電動(dòng)自行車免費(fèi)登記、上牌照工作.電動(dòng)自行車牌照分免費(fèi)和收費(fèi)(安裝防盜裝置)兩大類，群眾可以 自愿選擇安裝.已知甲、乙、丙三個(gè)不同類型小區(qū)的人數(shù)分別為15000，15000，20000.交管部門為了解社區(qū)居民意愿，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取10人進(jìn)行電話訪談.（）應(yīng)從甲小區(qū)和丙小區(qū)的居民中分別抽取多少人?（）設(shè)從甲小區(qū)抽取的居民為，丙小區(qū)抽取的居民為.現(xiàn)從甲小區(qū)和丙小區(qū)已抽取的居民中隨機(jī)抽取2人接受問卷調(diào)查.（）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（）設(shè)為事件“抽取的2人來自不同的小區(qū)”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（）甲小區(qū)抽取3人、丙小區(qū)抽取4人（）(i)見解析(ii) 【解析】【分析】（）利用分層抽樣的性質(zhì)能求出應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)不同類型小區(qū)中分別抽取得3人，3人，4人（）（）從甲小區(qū)抽取的3位居民為，丙小區(qū)抽取的4人分別為利用列舉法能求出所有可能結(jié)果（）由（）可得基本事件總個(gè)數(shù)，為事件“抽取的2人來自不同的小區(qū)”利用列舉法能求出事件發(fā)生的概率【詳解】（）因?yàn)槿齻€(gè)小區(qū)共有50000名居民，所以運(yùn)用分層抽樣抽取甲、丙小區(qū)的人數(shù)分別為：甲小區(qū)：（人）；丙小區(qū)：（人）.即甲小區(qū)抽取3人、丙小區(qū)抽取4人 （）(i)設(shè)甲小區(qū)抽取的3人分別為，丙小區(qū)抽取的4人分別為，則從7名居民中抽2名居民共有21種可能情況： , (ii)顯然，事件包含的基本事件有: 共12種，所以. 故抽取的2人來自不同的小區(qū)的概率為【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知（1）求角C的大小（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)【答案】（）（）. 【解析】【分析】（）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得值，結(jié)合范圍，即可得解的值（）利用正弦定理及面積公式可得，再利用余弦定理化簡(jiǎn)可得值，聯(lián)立得從而解得周長(zhǎng)【詳解】（）由正弦定理，得，在中，因?yàn)椋怨剩?又因?yàn)?C，所以 （）由已知，得.又，所以. 由已知及余弦定理，得， 所以，從而.即 又，所以的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題17.如圖，四棱錐中，底面四邊形為菱形，為等邊三角形.（）求證：；（）若，求直線與平面所成的角.【答案】（）見解析 （）. 【解析】【分析】（）取中點(diǎn)E，連結(jié)，由已知可得，又，即可證平面，從而可得（）先證明，可得平面，由線面角定義即可知即為所求【詳解】（）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，?所以為等邊三角形取線段的中點(diǎn),連接，則. 又因?yàn)榈冗吶切?，所以因?yàn)槠矫?，平面，且，所以直線平面， 又因?yàn)椋?（）因?yàn)闉榈冗吶切?，且其邊長(zhǎng)為，所以，又，所以，所以. 因?yàn)椋悦妫?所以為直線與平面所成的角. 在中，所以故直線和平面所成的角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)及線面角求法，屬于基礎(chǔ)題 18.已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且，（1）求和通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，列出方程組，求得的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得， 利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解數(shù)列的和.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意有，即， 解得或（舍），數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）得， =，-得【點(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.19.已知函數(shù)，其中（）討論的單調(diào)性；（）當(dāng)時(shí)，證明：；（）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有（其中e2.7183為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（）見解析（）見解析（）見解析【解析】【分析】（1）分別在和兩段范圍內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，通過導(dǎo)數(shù)求得，從而證得所證不等式；（3）根據(jù)（2）可知，令，則可得，累加可得到所證結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，令，解得：當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增,綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;（2）當(dāng)時(shí)，要證明，即證，即,設(shè)則，令得，,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn) 所以，即故當(dāng)時(shí)，; （3）由（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）,令， 則 ,所以,即所以.【點(diǎn)睛】本題考查討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)最值證明不等式問題、與自然數(shù)相關(guān)的不等式的證明問題.對(duì)于導(dǎo)數(shù)中含自然數(shù)的問題的證明，關(guān)鍵是對(duì)已知函數(shù)關(guān)系中的自變量進(jìn)行賦值，進(jìn)而得到與相關(guān)的不等關(guān)系，利用放縮的思想進(jìn)行證明，屬于難度題.20.已知橢圓：的焦距為8，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形（1）求的方程；（2）設(shè)為的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn),.（i）證明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（ii）當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由已知，根據(jù)橢圓的焦距為8，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）（）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，平分顯然成立；當(dāng)由直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組，求解中點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；（）由（）可知，求得和，得到，利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由已知，得. 因?yàn)椋捉獾? 所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為