2018版高中數(shù)學(xué)三角恒等變換3.1.1兩角差的余弦公式導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修4 含解析.docVIP

3.1.1兩角差的余弦公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程.2.理解用向量法導(dǎo)出公式的主要步驟.3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號(hào)特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)一兩角差的余弦公式的探究思考1如何用角，的正弦、余弦值來(lái)表示cos()呢？有人認(rèn)為cos()cos cos ，你認(rèn)為正確嗎，試舉出兩例加以說(shuō)明.答案不正確.例如：當(dāng)，時(shí)，cos()cos ，而cos cos cos cos ，故cos()cos cos ；再如：當(dāng)，時(shí)，cos()cos ，而cos cos cos cos ，故cos()cos cos .思考2計(jì)算下列式子的值，并根據(jù)這些式子的共同特征，寫(xiě)出一個(gè)猜想.cos 45cos 45sin 45sin 45_；cos 60cos 30sin 60sin 30_；cos 30cos 120sin 30sin 120_；cos 150cos 210sin 150sin 210_.猜想：cos cos sin sin _，即_.答案10cos()cos()cos cos sin sin 知識(shí)點(diǎn)二兩角差的余弦公式思考1單位圓中(如圖)，AOx，BOx，那么A，B的坐標(biāo)是什么？與的夾角是多少？答案 A(cos ，sin )，B(cos ，sin ). 與的夾角是.思考2請(qǐng)根據(jù)上述條件推導(dǎo)兩角差的余弦公式.答案|cos()cos()，cos cos sin sin .cos()cos cos sin sin .梳理C()：cos()cos cos sin sin .(1)適用條件：公式中的角，都是任意角.(2)公式結(jié)構(gòu)：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反.類(lèi)型一利用兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)求值例1計(jì)算：(1)cos(15)；(2)cos 15cos 105sin 15sin 105.解(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900.反思與感悟利用兩角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值.跟蹤訓(xùn)練1求下列各式的值：(1)cos 105；(2)cos 46cos 16sin 46sin 16.解(1)原式cos(15045)cos 150cos 45sin 150sin 45.(2)原式cos(4616)cos 30.類(lèi)型二給值求值例2已知，均為銳角，sin ，cos()，求cos 的值.解因?yàn)?，sin ，所以0.又因?yàn)?，cos()，所以.所以cos ，sin() ，所以cos cos()cos cos()sin sin().反思與感悟三角恒等變換是三角運(yùn)算的靈魂與核心，它包括角的變換、函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變換.其中角的變換是最基本的變換.常見(jiàn)的有：()，()，(2)()，()()，()()等.跟蹤訓(xùn)練2已知cos ，cos()，且，求cos 的值.解，(0，).又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .類(lèi)型三給值求角例3已知cos ，cos()，且0，求的值.解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin() .由()，得cos cos()cos cos()sin sin()，即cos ，.反思與感悟求解給值求角問(wèn)題的一般步驟：(1)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍；(3)根據(jù)角的范圍寫(xiě)出所求的角.跟蹤訓(xùn)練3已知cos()，cos()，且，求角的值.解由，且cos()，得sin().由，且cos()，得sin().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.又，2，2，則.1.計(jì)算cos cos cos sin 的值是()A.0 B.C. D.答案C解析cos cos cos sin cos cos sin sin coscos .2.若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，則ab等于()A. B.C. D.答案A解析abcos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45，故選A.3.設(shè)，若sin ，則cos等于()A. B.C. D.答案A解析，sin ，cos .coscos sin .4.已知sin sin ，cos cos ，求cos()的值.解(sin sin )22，(cos cos )22，以上兩式展開(kāi)兩邊分別相加，得22cos()1，cos().5.已知sin ，sin ，且180270，90180，求cos()的值.解因?yàn)閟in ，180270，所以cos .因?yàn)閟in ，90180，所以cos .所以cos()cos cos sin sin .1.“給式求值”或“給值求值”問(wèn)題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式或某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時(shí)需運(yùn)用拆角、拼角等技巧.2.“給值求角”問(wèn)題，實(shí)際上也可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，求一個(gè)角的值，可分以下三步進(jìn)行：(1)求角的某一三角函數(shù)值；(2)確定角所在的范圍(找區(qū)間)；(3)確定角的值.確定用所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目而定.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.化簡(jiǎn)cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)的結(jié)果為()A. B.C. D.答案A解析原式cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)cos(45)(15)cos(60).2.已知點(diǎn)P(1，)是角終邊上一點(diǎn)，則cos()等于()A B.C. D.答案A解析由題意可得sin ，cos ，coscos cos sin sin .3.已知cos，0，則cos 等于()A. B.C. D.答案A解析，sin .cos coscoscossinsin .4.若cos()，cos 2，并且、均為銳角且，則的值為()A. B.C. D.答案C解析，(0，)，(，0)，2(0，)，sin()，sin 2，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，(0，)，.5.若cos()，sin，則cos的值為()A. B.C. D.答案C解析，(0，)，.又cos()，sin，sin()，cos ，coscoscos()cossin()sin，故選C.6.計(jì)算sin 7cos 23sin 83cos 67的值為()A. B.C. D.答案B解析sin 7cos 23sin 83cos 67cos 83cos 23sin 83sin 23cos(8323)cos 60，故選B.7.化簡(jiǎn)sin(xy)sin(yx)cos(xy)cos(xy)的結(jié)果為()A.sin 2y B.cos 2yC.cos 2y D.sin 2y答案C解析原式cos(xy)(xy)cos 2y，故選C.8.已知sin()，則cos sin 的值為()A. B. C.2 D.1答案B二、填空題9.已知cos ，cos()，2，則cos _.答案1解析由條件知sin ，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()1.10.已知sin ，(，)，則cos()的值為_(kāi).答案11.已知cos()cos sin()sin m，且為第三象限角，則sin _.答案解析cos()cos sin()sin cos()m，即cos m.又為第三象限角，sin .12.設(shè)A，B為銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，向量a(2cos A，2sin A)，b(3cos B，3sin B).若a，b的夾角的弧度數(shù)為，則AB_.答案解析cos cos Acos Bsin Asin Bcos(AB).又AB，AB.13.已知sin sin sin 0，cos cos cos 0，則cos()的值是_.答案解析sin sin sin ，cos cos cos ， 2222(sin sin cos cos )1cos().三、解答題14.已知cos(2)，sin(2)，且，0，求cos().解因?yàn)椋?，所以2.因?yàn)閏os(2)，所以2，所以sin(2).因?yàn)椋?，所以2.因?yàn)閟in(2)，所以02，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)s