導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識專項練習

高中數(shù)學試卷第 1 頁 共 12 頁 導(dǎo)數(shù)專項練習導(dǎo)數(shù)專項練習 一 選擇題一 選擇題 本大題共本大題共 2121 小題 共小題 共 105 0105 0 分分 1 函數(shù) f x x3 x 在點 x 1 處的切線方程為 A 4x y 2 0 B 4x y 2 0 C 4x y 2 0 D 4x y 2 0 2 已知直線 y x 1 與曲線 y ln x a 相切 則 a 的值為 A 1 B 2 C 1 D 2 3 已知曲線 y 2x2 1 在點 M 處的瞬時變化率為 4 則點 M 的坐標是 A 1 3 B 1 4 C 1 3 D 1 4 4 若函數(shù) y f x 的導(dǎo)函數(shù) y f x 的圖象如圖所示 則 y f x 的圖象可能 A B C D 5 已知函數(shù) f x x3 ax2 x 1 在 上是單調(diào)遞減函數(shù) 則實數(shù) a 的取值 范圍是 A B C D 6 已知函數(shù) f x x在區(qū)間 1 2 上是增函數(shù) 則實數(shù) m 的取 值范圍為 A 4 m 5 B 2 m 4 C m 2 D m 4 7 設(shè)點 P 是曲線上的任意一點 點 P 處切線的傾斜角為 則角 的取值范圍是 A B 0 C D 8 函數(shù) y f x 導(dǎo)函數(shù) f x 的圖象如圖所示 則下列說法正確的是 A 函數(shù) y f x 在 0 上單調(diào)遞增 高中數(shù)學試卷第 2 頁 共 12 頁 B 函數(shù) y f x 的遞減區(qū)間為 3 5 C 函數(shù) y f x 在 x 0 處取得極大值 D 函數(shù) y f x 在 x 5 處取得極小值 9 已知 y b 6 x 3 在 R 上存在三個單調(diào)區(qū)間 則 b 的取值范圍是 A b 2 或 b 3 B 2 b 3 C 2 b 3 D b 2 或 b 3 10 函數(shù)在 R 上不是單調(diào)增函數(shù)則 b 范圍為 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 11 已知函數(shù) f x 的定義域為 a b 導(dǎo)函數(shù) f x 在 a b 上的圖象如圖所示 則函數(shù) f x 在 a b 上的極 大值點的個數(shù)為 A 1 B 2 C 3 D 4 12 已知曲線 C y x3 x2 4x 1 直線 l x y 2k 1 0 當 x 3 3 時 直線 l 恒在曲線 C 的上方 則實數(shù) k 的取值范圍是 A k B C D 13 曲線 y 2lnx 上的點到直線 2x y 3 0 的最短距離為 A B 2 C 3 D 2 14 已知函數(shù) f x x alnx 當 x 1 時 f x 0 恒成立 則實數(shù) a 的取值范圍是 A 1 B 1 C e D e 二 填空題二 填空題 本大題共本大題共 4 4 小題 共小題 共 20 020 0 分分 22 函數(shù) f x 的圖象在 x 2 處的切線方程為 2x y 3 0 則 f 2 f 2 23 已知函數(shù) f x x3 ax2 3ax 1 在區(qū)間 內(nèi)既有極大值 又有極小值 則實數(shù) a 的取值范圍是 24 已知函數(shù) f x ax3 x 1 的圖象在點 1 f 1 處的切線與直線 x 4y 0 垂直 則 實數(shù) a 25 曲線 y e 2x 1 在點 0 2 處的切線與直線 y 0 和 y x 圍成的三角形的面積為 三 解答題三 解答題 本大題共本大題共 6 6 小題 共小題 共 72 072 0 分分 26 已知函數(shù) f x x3 ax2 bx a b R 若函數(shù) f x 在 x 1 處有極值 4 1 求 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間 2 求函數(shù) f x 在 1 2 上的最大值和最小值 27 已知函數(shù) f x x2 lnx ax 1 當 a 3 時 求 f x 的單調(diào)增區(qū)間 高中數(shù)學試卷第 3 頁 共 12 頁 2 若 f x 在 0 1 上是增函數(shù) 求 a 得取值范圍 28 已知函數(shù) f x x3 x2 x a g x 2a x3 x R a R 1 求函數(shù) f x 的單調(diào)區(qū)間 2 求函數(shù) f x 的極值 3 若任意 x 0 1 不等式 g x f x 恒成立 求 a 的取值范圍 29 已知函數(shù) 當 x 2 時 函數(shù) f x 取得極值 I 求實數(shù) a 的值 II 若 1 x 3 時 方程 f x m 0 有兩個根 求實數(shù) m 的取值范圍 30 若函數(shù) f x ax3 bx 4 當 x 2 時 函數(shù) f x 有極值 1 求函數(shù)的解析式 2 求函數(shù)的極值 3 若關(guān)于 x 的方程 f x k 有三個零點 求實數(shù) k 的取值范圍 答案和解析答案和解析 答案答案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 B 6 D 7 B 8 D 9 D 10 D 11 B 12 B 13 A 14 D 15 C 16 D 17 A 18 A 19 D 20 D 21 A 22 323 0 9 24 125 26 1 f x 3x2 2ax b 依題意有 f 1 0 f 1 4 即得 4 分 所以 f x 3x2 4x 7 3x 7 x 1 高中數(shù)學試卷第 4 頁 共 12 頁 由 f x 0 得 x 1 所以函數(shù) f x 的單調(diào)遞減區(qū)間 1 7 分 2 由 1 知 f x x3 2x2 7x f x 3x2 4x 7 3x 7 x 1 令 f x 0 解得 x1 x2 1 f x f x 隨 x 的變化情況如下表 由上表知 函數(shù) f x 在 1 1 上單調(diào)遞減 在 1 2 上單調(diào)遞增 故可得 f x min f 1 4 f x max f 1 8 13 分 27 解 1 當 a 3 時 f x x2 lnx 3x f x 2x 3 由 f x 0 得 0 x 或 x 1 故所求 f x 的單調(diào)增區(qū)間為 0 1 2 f x 2x a f x 在 0 1 上是增函數(shù) 2x a 0 在 0 1 上恒成立 即 a 2x 恒成立 2x 2 當且僅當 x 時取等號 所以 a 2 當 a 2時 易知 f x 在 0 1 上也是增函數(shù) 所以 a 2 28 解 1 f x x3 x2 x a f x 3x2 2x 1 2 由 1 可知 當時 函數(shù) f x 取得極小值 函數(shù)的極小值為 當 x 1 時 函數(shù) f x 取得極大值 函數(shù)的極大值為 f 1 a 1 3 若任意 x 0 1 不等式 g x f x 恒成立 高中數(shù)學試卷第 5 頁 共 12 頁 即對于任意 x 0 1 不等式 a x2 x 恒成立 設(shè) h x x2 x x 0 1 則 h x 2x 1 x 0 1 h x 2x 1 0 恒成立 h x x2 x 在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞增 h x max h 1 2 a 2 a 的取值范圍是 2 29 解 I 由 則 f x x2 2ax 6 因在 x 2 時 f x 取到極值 所以 f 2 0 4 4a 6 0 解得 II 由 I 得 且 1 x 3 則 f x x2 5x 6 x 2 x 3 由 f x 0 解得 x 2 或 x 3 f x 0 解得 x 3 或 x 2 f x 0 解得 2 x 3 f x 的遞增區(qū)間為 2 和 3 f x 遞減區(qū)間為 2 3 又 要 f x m 0 有兩個根 則 f x m 有兩解 分別畫出函數(shù) y f x 與 y m 的圖象 如圖所示 由圖知 實數(shù) m 的取值范圍 30 解 1 f x 3ax2 b 由題意知 解得 所求的解析式為 f x x3 4x 4 2 由 1 可得 f x x2 4 x 2 x 2 令 f x 0 得 x 2 或 x 2 因此 當 x 2 時 f x 有極大值 當 x 2 時 f x 有極小值 3 由 2 知 得到當 x 2 或 x 2 時 f x 為增函數(shù) 當 2 x 2 時 f x 高中數(shù)學試卷第 6 頁 共 12 頁 為減函數(shù) 函數(shù) f x x3 4x 4 的圖象大致如圖 由圖可知 31 解 1 復(fù)數(shù) z 是純虛數(shù) 則由 得 即 a 0 2 若復(fù)數(shù) z 是實數(shù) 則 a2 3a 2 0 得 a 1 或 a 2 3 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于對應(yīng)的點在第一象限 則 即 解得 a 0 或 a 2 解析解析 1 解 f x x3 x f x 3x2 1 容易求出切線的斜率為 4 當 x 1 時 f x 2 利用點斜式 求出切 線方程為 4x y 2 0 故選 B 首先求出函數(shù) f x 在點 x 1 處的導(dǎo)數(shù) 也就是切線的斜率 再利用點斜式求出切線 方程 本題比較簡單 主要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 求出切線方程 2 解 設(shè)切點 P x0 y0 則 y0 x0 1 y0 ln x0 a 又 x0 a 1 y0 0 x0 1 a 2 故選項為 B 切點在切線上也在曲線上得到切點坐標滿足兩方程 又曲線切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜 率得第三個方程 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 常利用它求曲線的切線 3 解 y 2x2 1 y 4x 令 4x 4 則 x 1 y 3 點 M 的坐標是 1 3 故選 C 求導(dǎo)函數(shù) 令其值為 4 即可求得結(jié)論 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用 考查學生的計算能力 屬于基礎(chǔ)題 4 解 由 y f x 可得 y f x 有兩個零點 x1 x2 且 0 x1 x2 當 x x1 或 x x2時 f x 0 即函數(shù)為減函數(shù) 當 x1 x x2 時 f x 0 函數(shù)為增函數(shù) 即當 x x1 函數(shù)取得極小值 當 x x2 函數(shù)取得極大值 故選 C 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性即可 本題主要考查函數(shù)圖象的判斷 結(jié)合函數(shù)單調(diào)性 極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題 的關(guān)鍵 5 解 f x x3 ax2 x 1 f x 3x2 ax 1 高中數(shù)學試卷第 7 頁 共 12 頁 要使函數(shù) f x 在 上是單調(diào)遞減函數(shù) 則 f x 0 恒成立 即 f x 3x2 ax 1 0 恒成立 a2 4 3 1 a2 12 0 解得 即實數(shù) a 的取值范圍是 故選 B 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù) f x 在 上是單調(diào)遞減函數(shù) 則 f x 0 恒成立 解不等式即可 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性 極值 最值之間的關(guān) 系 6 解 函數(shù) f x x 可得 f x x2 mx 4 函數(shù) f x x在區(qū)間 1 2 上是增函數(shù) 可得 x2 mx 4 0 在區(qū)間 1 2 上恒成立 可得 m x x 2 4 當且僅當 x 2 時取等號 可得 m 4 故選 D 求出導(dǎo)函數(shù) 利用函數(shù)的單調(diào)性 推出不等式 利用基本不等式求解函數(shù)的最值 推 出結(jié)果即可 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 考查最值的求法 基本不等式的應(yīng)用 考查轉(zhuǎn)化思想以 及計算能力 7 解 y 3x2 tan 0 故答案選 B 先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的范圍 即曲線斜率的取值范圍 從而求出切線的傾斜角的范圍 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 直線的傾斜角與斜率 8 解 由函數(shù) y f x 導(dǎo)函數(shù)的圖象可知 當 x 1 及 3 x 5 時 f x 0 f x 單調(diào)遞減 當 1 x 3 及 x 5 時 f x 0 f x 單調(diào)遞增 所以 f x 的單調(diào)減區(qū)間為 1 3 5 單調(diào)增區(qū)間為 1 3 5 f x 在 x 1 5 取得極小值 在 x 3 處取得極大值 故選 D 利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及函數(shù)在某點取得極值的條件即可判斷 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及極值問題 本題以圖象形式給出導(dǎo)函數(shù) 由此研究函數(shù)有關(guān) 性質(zhì) 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想 9 解 若 y b 6 x 3 在 R 上存在三個單調(diào)區(qū)間 只需 y x2 2bx b 6 0 有 2 個不相等的實數(shù)根 即只需 4b2 4 b 6 0 解得 b 2 或 b 3 高中數(shù)學試卷第 8 頁 共 12 頁 故選 D 問題轉(zhuǎn)化為只需 y x2 2bx b 6 0 有 2 個不相等的實數(shù)根即可 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題 考察二次函數(shù)的性質(zhì) 是一道基礎(chǔ)題 10 解 y x3 bx2 b 2 x 3 y x2 2bx b 2 f x 是 R 上的單調(diào)增函數(shù) x2 2bx b 2 0 恒成立 0 即 b2 b 2 0 則 b 的取值是 1 b 2 y x3 bx2 b 2 x 3 在 R 上不是單調(diào)增函數(shù) 實數(shù) b 取值范圍是 b 1 或 b 2 故選 D 三次函數(shù) y x3 bx2 b 2 x 3 的單調(diào)性 通過其導(dǎo)數(shù)進行研究 故先求出導(dǎo)數(shù) 利 用其導(dǎo)數(shù)恒大于 0 即可解決問題 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間 利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題 屬于基礎(chǔ) 題 11 解 導(dǎo)函數(shù) f x 在 a b 上的圖象如圖所示 由函數(shù)取得極大值點 x0的充要條件是 在 x0左側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于 0 右側(cè)的導(dǎo)數(shù)小于 0 由圖象可知 函數(shù) f x 只有在點 A C 處取得最大值 而在 B 點處取得極小值 而在點 O 處無極值 故選 B 導(dǎo)函數(shù) f x 在 a b 上的圖象如圖所示 由函數(shù)取得極大值點 x0的充要條件是 在 x0左側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于 0 右側(cè)的導(dǎo)數(shù)小于 0 即可判斷出結(jié)論 本題考查了函數(shù)取得極大值在一點 x0的充要條件是 在 x0左側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于 0 右側(cè)的 導(dǎo)數(shù)小于 0 考查了數(shù)形結(jié)合思想方法 推理能力與計算能力 屬于中檔題 12 解 命題等價于 x 在 3 3 內(nèi) x 2k 1 0 恒成立 即 k 設(shè) y y 3 x 1 x 所以函數(shù) y 在 3 1 內(nèi) y 遞減 1 3 內(nèi)遞增 所以 x 1 y 取最小值 所以 k 故選 B 將已知條件當 x 3 3 時 直線 l 恒在曲線 C 的上方 等價于 x 在 3 3 內(nèi) 高中數(shù)學試卷第 9 頁 共 12 頁 x 2k 1 0 恒成立 構(gòu)造函數(shù) 通過求導(dǎo)數(shù) 判斷出函數(shù)的單調(diào) 性 進一步求出函數(shù)的最值 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 一般的方法是求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 令導(dǎo)函數(shù)為 0 判斷出 根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)值 求出函數(shù)的極值及區(qū)間兩個端點處的函數(shù)值 選出最值 13 解 設(shè)與直線 2x y 3 0 平行且與曲線 y 2lnx 相切的直線方程為 2x y m 0 設(shè)切點為 P x0 y0 y 斜率 2 解得 x0 1 因此 y0 2ln1 0 切點為 P 1 0 則點 P 到直線 2x y 3 0 的距離 d 曲線 y 2lnx 上的點到直線 2x y 3 0 的最短距離是 故選 A 設(shè)與直線 2x y 3 0 平行且與曲線 y 2lnx 相切的直線方程為 2x y m 0 設(shè)切點為 P x0 y0 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點 P 再利用點到直線的距離公式即可得出 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩條平行線之間的距離 點到直線的距離公式 屬于中 檔題 14 解 f x 1 當 a 1 時 f x 0 在 1 上恒成立 則 f x 是單調(diào)遞增的 則 f x f 1 1 恒成立 則 a 2 當 a 1 時 令 f x 0 解得 x a 令 f x 0 解得 1 x a 故 f x 在 1 a 上單調(diào)遞減 在 a 上單調(diào)遞增 所以只需 f x min f a a alna 0 解得 x e 綜上 a e 故選 D 由 f x 0 對 x 1 上恒成立可分 a 1 和 a 1 來討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值 大于等于 0 的問題來求解 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問題 考查了利用函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)不等式的恒成立問題 求參數(shù)的取值范圍 主要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問 題利用導(dǎo)數(shù)這一工具來求解 15 解 z 1 2i 則 i 故選 C 利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則 化簡求解即可 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算 考查計算能力 16 解 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i i z i 高中數(shù)學試卷第 10 頁 共 12 頁 則復(fù)數(shù) z 的實部與虛部之和 0 故選 D 利用復(fù)數(shù)的運算法則 共軛復(fù)數(shù)的定義 實部與虛部的定義即可得出 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則 共軛復(fù)數(shù)的定義 實部與虛部的定義 考查了推理能力 與計算能力 屬于基礎(chǔ)題 17 解 復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為 3 1 位于第一象限 故選 A 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡 求得復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的坐標得答案 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 是基礎(chǔ) 題 18 解 由 1 3i z i 3 得 故選 A 由 1 3i z i 3 得 然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 是基礎(chǔ)題 19 因為 i 所以 i2016 i4 504 i4 1 20 解 由 1 i x yi 2 得 x y x y i 2 即 解得 2x yi 2 i 故選 D 把已知等式變形 然后利用復(fù)數(shù)相等的條件求得 x y 的值 則答案可求 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 考查了復(fù)數(shù)相等的條件 是基礎(chǔ)的計算題 21 解 復(fù)數(shù) 它是純虛數(shù) 所以 a 2 故選 A 復(fù)數(shù)的分子 分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù) 化簡后它的實部為 0 可求實數(shù) a 的值 本題是基礎(chǔ)題 考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算 考查計算能力 ?？碱}型 22 解 由已知切點在切線上 所以 f 2 1 切點處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率 所以 f 2 2 所以 f 2 f 2 3 故答案為 3 先將 x 2 代入切線方程可求出 f 2 再由切點處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率可求出 f 2 的 值 最后相加即可 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義 即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于以該點為切點的切線的斜 率 23 解 求導(dǎo)函數(shù) f x 3x2 2ax 3a 高中數(shù)學試卷第 11 頁 共 12 頁 函數(shù) f x x3 ax2 3ax 1 在區(qū)間 內(nèi)既有極大值 又有極小值 4a2 36a 0 a 0 或 a 9 故答案為 0 9 先求導(dǎo)函數(shù) 根據(jù)函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)既有極大值 又有極小值 故導(dǎo)函數(shù)為 0 的方程有不等的實數(shù)根 可求實數(shù) a 的取值范圍 本題的考點是函數(shù)在某點取得極值的條件 主要考查學生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能 力 關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)為 0 的方程有不等的實數(shù)根 24 解 由 f x ax3 x 1 得 f x 3ax2 1 f 1 3a 1 即 f x 在 x 1 處的切線的斜率為 3a 1 f x 在 x 1 處的切線與直線 x 4y 0 垂直 3a 1 4 即 a 1 故答案為 1 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 得到 f x 在 x 1 處的導(dǎo)數(shù) 再由 f x 在 x 1 處的切線與直 線 x 4y 0 垂直 得到 f x 在 x 1 處的導(dǎo)數(shù)值 從而求得 a 的值 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點的切線方程 考查了兩直線垂直的條件 斜率之積為 1 是基礎(chǔ)題 25 解 y e 2x 1 y 2e 2x 切線的斜率 k y x 0 2 且過點 0 2 切線為 y 2 2x y 2x 2 切線與 x 軸交點為 1 0 與 y x 的交點為 切線與直線 y 0 和 y x 圍成的三角形的面積為 s 1 故答案為 先對函數(shù) y e 2x 1 求導(dǎo) 求出 y 在 x 0 處的斜率 根據(jù)點斜式求出切線方程 再利用 面積公式進行求解 此題利用導(dǎo)數(shù)研究曲線山的點的切線 注意斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 此題是一道基礎(chǔ)題 26 1 首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 然后令 f x 0 解出函數(shù)的極值點 最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判 斷函數(shù)的單調(diào)性 從而求解 2 由 1 求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 可以運用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 從而求出函數(shù) f x 在 1 2 上的最大值和最小值 此題主要考查多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)單調(diào)性的判定 函數(shù)最值 函數(shù) 方程等基礎(chǔ) 知識 考查運算求解能力 推理論證能力及分析與解決問題的能力 難度較大 27 1 求單調(diào)增區(qū)間 先求導(dǎo) 令導(dǎo)