高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.5 等比數(shù)列的前n項和（1）課件 新人教A版必修5.ppt

2 5等比數(shù)列的前n項和 一 第二章數(shù)列 1 掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路 2 會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 思考 知識點一等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo) 對于s64 1 2 4 8 262 263 用2乘以等式的兩邊可得2s64 2 4 8 262 263 264 對這兩個式子作怎樣的運算能解出s64 答案 設(shè)等比數(shù)列 an 的首項是a1 公比是q 前n項和sn可用下面的 錯位相減法 求得 sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 則qsn a1q a1q2 a1qn 1 a1qn 由 得 1 q sn a1 a1qn 梳理 當(dāng)q 1時 由于a1 a2 an 所以sn na1 結(jié)合通項公式可得 等比數(shù)列前n項和公式 知識點二等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用 思考 答案 要求等比數(shù)列前8項的和 1 若已知其前三項 用哪個公式比較合適 答案 2 若已知a1 a9 q的值 用哪個公式比較合適 梳理 一般地 使用等比數(shù)列求和公式時需注意 1 一定不要忽略q 1的情況 3 在通項公式和前n項和公式中共出現(xiàn)了五個量 a1 n q an sn 知道其中任意三個 可求其余兩個 題型探究 命題角度1前n項和公式的直接應(yīng)用例1求下列等比數(shù)列前8項的和 類型一等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用 解答 解答 求等比數(shù)列前n項和 要確定首項 公比或首項 末項 公比 應(yīng)特別注意q 1是否成立 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1若等比數(shù)列 an 滿足a2 a4 20 a3 a5 40 則公比q 前n項和sn 設(shè)等比數(shù)列的公比為q a2 a4 20 a3 a5 40 20q 40 且a1q a1q3 20 解得q 2 且a1 2 2 2n 1 2 答案 解析 命題角度2通項公式 前n項和公式的綜合應(yīng)用例2在等比數(shù)列 an 中 a1 2 s3 6 求a3和q 由題意 得若q 1 則s3 3a1 6 符合題意 此時 q 1 a3 a1 2 若q 1 則由等比數(shù)列的前n項和公式 解答 解得q 2 此時 a3 a1q2 2 2 2 8 綜上所述 q 1 a3 2或q 2 a3 8 1 應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式時 首先要對公比q 1或q 1進(jìn)行判斷 若兩種情況都有可能 則要分類討論 2 當(dāng)q 1時 等比數(shù)列是常數(shù)列 所以sn na1 當(dāng)q 1時 等比數(shù)列的前n項和sn有兩個公式 當(dāng)已知a1 q與n時 用 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列 an 中 s2 30 s3 155 求sn 解答 方法二若q 1 則s3 s2 3 2 而事實上 s3 s2 31 6 故q 1 類型二等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用 例3借貸10000元 月利率為1 每月以復(fù)利計息 王老師從借貸后第二個月開始等額還貸 分6個月付清 試問每月應(yīng)支付多少元 1 016 1 061 1 015 1 051 精確到整數(shù) 解答 方法一設(shè)每個月還貸a元 第1個月后欠款為a0元 以后第n個月還貸a元后 還剩下欠款an元 1 n 6 n n 則a0 10000 a1 1 01a0 a a2 1 01a1 a 1 012a0 1 1 01 a a6 1 01a5 a 1 016a0 1 1 01 1 015 a 由題意 可知a6 0 即1 016a0 1 1 01 1 015 a 0 故每月應(yīng)支付1739元 方法二一方面 借款10000元 將此借款以相同的條件存儲6個月 則它的本利和為s1 104 1 0 01 6 104 1 01 6 元 另一方面 設(shè)每個月還貸a元 分6個月還清 到貸款還清時 其本利和為s2 a 1 0 01 5 a 1 0 01 4 a 故每月應(yīng)支付1739元 反思與感悟 解決此類問題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù) 所謂復(fù)利計息 即把上期的本利和作為下一期本金 在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的 復(fù)利的計算公式為s p 1 r n 其中p代表本金 n代表存期 r代表利率 s代表本利和 跟蹤訓(xùn)練3一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度 在以后的每一分鐘里 它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80 這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎 解答 用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度 故這個熱氣球上升的高度不可能超過125m 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 等比數(shù)列1 x x2 x3 的前n項和sn等于 答案 解析 當(dāng)x 1時 sn n 1 2 3 4 1 2 3 4 答案 解析 3 等比數(shù)列 an 的各項都是正數(shù) 若a1 81 a5 16 則它的前5項的和是a 179b 211c 243d 275 1 2 3 4 答案 解析 4 某廠去年產(chǎn)值為a 計劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10 從今年起5年內(nèi) 該廠的總產(chǎn)值為 去年產(chǎn)值為a 今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 11a 1 15 1 1 2 3 4 答案 解析 11a 1 15 1 規(guī)律與方法 1 在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中 共涉及五個量 a1 an n q sn 其中首項a1和公比q為基本量 且 知三求二 2 前n項和公式的應(yīng)