導數(shù)解題技巧.docx

導數(shù)題的解題技巧【命題趨向】導數(shù)命題趨勢：導數(shù)應用：導數(shù)函數(shù)單調性函數(shù)極值函數(shù)最值導數(shù)的實際應用【考點透視】1了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念2熟記基本導數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則了解復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)3理解可導函數(shù)的單調性與其導數(shù)的關系；了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數(shù)在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值【例題解析】考點1 導數(shù)的概念對概念的要求：了解導數(shù)概念的實際背景，掌握導數(shù)在一點處的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的概念. 例1（2006年遼寧卷）與方程的曲線關于對稱的曲線的方程為A. B. C. D. 考查目的本題考查了方程和函數(shù)的關系以及反函數(shù)的求解.同時還考查了轉化能力解答過程，即：，所以.故選A.例2. ( 2006年湖南卷)設函數(shù), 集合, P=,若MP,則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和集合等基礎知識的應用能力.解答過程由綜上可得MP時, 考點2 曲線的切線（1）關于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點P（x,y）的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點的導數(shù)就是曲線在該點的切線的斜率.（2）關于兩曲線的公切線 若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.（2004年重慶卷）已知曲線y=x3+，則過點P（2，4）的切線方程是_.思路啟迪：求導來求得切線斜率.解答過程：y=x2，當x=2時，y=4.切線的斜率為4.切線的方程為y4=4（x2），即y=4x4.答案：4xy4=0.例4.（2006年安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和直線方程等基礎知識的應用能力.解答過程與直線垂直的直線為，即在某一點的導數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為.故選A.例5 ( 2006年重慶卷)過坐標原點且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎知識的應用能力.解答過程解法1：設切線的方程為又故選A.解法2:由解法1知切點坐標為由故選A.例6.已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對求導數(shù).解答過程：函數(shù)的導數(shù)為，曲線在點P()處的切線方程為，即 曲線在點Q的切線方程是即 若直線是過點P點和Q點的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方程， 若=，即時，解得，此時點P、Q重合.當時，和有且只有一條公切線，由式得公切線方程為 .考點3 導數(shù)的應用中學階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內都是可導函數(shù)，導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單調性，以“導數(shù)”為工具，能對其進行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結合起來，極大地豐富了中學數(shù)學思想方法.復習時，應高度重視以下問題:1. 求函數(shù)的解析式; 2. 求函數(shù)的值域; 3.解決單調性問題; 4.求函數(shù)的極值（最值）;5.構造函數(shù)證明不等式.典型例題例7（2006年天津卷）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內有極小值點（）A1個 B2個 C3個D 4個考查目的本題主要考查函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)圖象性質等基礎知識的應用能力.解答過程由圖象可見,在區(qū)間內的圖象上有一個極小值點.故選A.例8. 設為三次函數(shù)，且圖象關于原點對稱，當時，的極小值為，求出函數(shù)的解析式.思路啟迪：先設，再利用圖象關于原點對稱確定系數(shù).解答過程：設，因為其圖象關于原點對稱，即，得由，依題意，解之，得.故所求函數(shù)的解析式為. 例9.函數(shù)的值域是_.思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學數(shù)學中的難點，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質求解，也可以利用函數(shù)的單調性求出最大、最小值。此例的形式結構較為復雜，采用導數(shù)法求解較為容易。解答過程：由得，即函數(shù)的定義域為.，又，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.例10（2006年天津卷）已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且（1）當時，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍考查目的本小題主要考查運用導數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學思想方法.解答過程（）當時，則在內是增函數(shù)，故無極值.（），令，得.由（），只需分下面兩種情況討論. 當時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：x0+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.當時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且若，則.矛盾.所以當時，的極小值不會大于零.綜上，要使函數(shù)在內的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.（III）解：由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內都是增函數(shù)。由題設，函數(shù)內是增函數(shù)，則a須滿足不等式組 或 由（II），參數(shù)時時，.要使不等式關于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例11(2006年山東卷)設函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區(qū)間.考查目的本題考查了函數(shù)的導數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數(shù)的定義域為，且（1）當時，函數(shù)在上單調遞減，（2）當時，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知當時，函數(shù)在上單調遞減.當時，函數(shù)在上單調遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在上單調遞減.當時，函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上單調遞增.例12（2006年北京卷）已知函數(shù)在點處取得極大值，其導函數(shù)的圖象經過點，如圖所示.求：（）的值；（）的值.考查目的本小題考查了函數(shù)的導數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值, 函數(shù)與方程的轉化等基礎知識的綜合應用,考查了應用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）設又所以由即得所以例13（2006年湖北卷）設是函數(shù)的一個極值點.（）求與的關系式（用表示），并求的單調區(qū)間；（）設，.若存在使得成立，求的取值范圍.考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.解答過程（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，則 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點，所以x+a+10，那么a4.當a3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)4時，x23x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x)0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)0時，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調遞增，在區(qū)間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于 所以只須僅須且，解得.故a的取值范圍是（0，）.例14 （2004年天津卷）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx23x在x=1處取得極值.（1）討論f（1）和f（1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；（2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求出此切線方程.思路啟迪：（1）分析x=1處的極值情況，關鍵是分析x=1左右（x）的符號.（2）要分清點A（0，16）是否在曲線上.解答過程：（1）（x）=3ax2+2bx3，依題意，（1）=（1）=0，即解得a=1，b=0.f（x）=x33x，（x）=3x23=3（x+1）（x1）.令（x）=0，得x=1，x=1.若x（，1）（1，+），則（x）0，故f（x）在（，1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+）上是增函數(shù).若x（1，1），則（x）0，故f（x）在（1，1）上是減函數(shù).所以f（1）=2是極大值，f（1）=2是極小值.（2）曲線y=x33x，點A（0，16）不在曲線上，設切點M（x0，y0），則y0=x033x.（x0）=3x023，切線方程為yy0=3（x021）（xx0）.代入A（0，16）得16x03+3x0=3（x021）（0x0）.解得x0=2，M（2，2），切線方程為9xy+16=0.小結：過已知點求切線，當點不在曲線上時，求切點的坐標成了解題的關鍵.考點4 導數(shù)的實際應用建立函數(shù)模型,利用典型例題例15.有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其進行切割、焊接成一個長方體無蓋容器 （切、焊損耗不計）.有人應用數(shù)學知識作了如下設計：如圖（a）,在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方形，該長方體的高為小正方形的邊長，如圖（b）.xxab請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積；由于上述設計存在缺陷（材料有所浪費），請你重新設計切焊方法，使材料浪費減少，而且所得長方體容器的容積.解答過程： （1）設切去的正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面的邊長為4-2x,高為x，所以, ,.令,得(舍去). 而, 又當時, . 當時, ,當時, 取最大值.（2）重新設計方案如下： 如圖在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖，將圖焊成長方體容器。 圖223圖14231圖 新焊成的長方體容器底面是一個長方形，長為3，寬為2，此長方體容積 ，顯然. 故第二種方案符合要求.例16（2006年福建卷）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米.（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？考查目的本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)及其應用等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.解答過程（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗沒（升）.答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，依題意得令得當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù).當時，取到極小值因為在上只有一個極值，所以它是最小值.答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.【專題訓練】一、選擇題1. y=esinxcos(sinx)，則y(0)等于( )A.0B.1C.1D.22.經過原點且與曲線y=相切的方程是( )A.x+y=0或+y=0B.xy=0或+y=0C.x+y=0或y=0D.xy=0或y=03.設f(x)可導，且f(0)=0,又=1,則f(0)( )A.可能不是f(x)的極值B.一定是f(x)的極值C.一定是f(x)的極小值D.等于04.設函數(shù)fn(x)=n2x2(1x)n(n為正整數(shù))，則fn(x)在0,1上的最大值為( )A.0B.1C. D.5、函數(shù)y=(x2-1)3+1在x=-1處( )A、 有極大值 B、無極值 C、有極小值 D、無法確定極值情況6.f(x)=ax3+3x2+2，f(-1)=4，則a=( )A、 B、 C、 D、7.過拋物線y=x2上的點M（）的切線的傾斜角是( )A、300 B、450 C、600 D、9008.函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）內有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是( )A、（0，1） B、（-，1） C、（0，+） D、（0，）9.函數(shù)y=x3-3x+3在上的最小值是( )A、 B、1 C、 D、510、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0為函數(shù)的極值，則( )A、c0 B、當a0時，f(0)為極大值C、b=0 D、當a0時，f(0)為極小值11、已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是( )A、（2，3） B、（3，+）C、（2，+）D、（-，3）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實數(shù)解的集合中( )A、至少有2個元素 B、至少有3個元素 C、至多有1個元素 D、恰好有5個元素二、填空題13.若f(x0)=2, =_.14.設f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_.15.函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調區(qū)間_.16.在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開時它的面積最大.三、解答題17.已知曲線C：y=x33x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x00)，求直線l的方程及切點坐標.18.求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1內的最大值.19.證明雙曲線xy=a2上任意一點的切線與兩坐標軸組成的三角形面積等于常數(shù).20.求函數(shù)的導數(shù)(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=.21.有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度.22.求和Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).23.設f(x)=ax3+x恰有三個單調區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調區(qū)間.24.設x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.25.已知a、b為實數(shù)，且bae,其中e為自然對數(shù)的底，求證：abba.26.設關于x的方程2x2ax2=0的兩根為、(),函數(shù)f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)證明f(x)是，上的增函數(shù)；(3)當a為何值時，f(x)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差最??？【參考答案】一、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1.答案：B2.解析：設切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3,y0(2)=15,對應有y0(1)=3,y0(2)=,因此得兩個切點A(3，3)或B(15,),從而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切線過原點，故得切線：lA:y=x或lB:y=.答案：A3.解析：由=1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當x(a,b),x0時0,于是當x(a,0)時f(0)0,當x(0,b)時，f(0)0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1.答案：D5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根據導數(shù)的定義：f(x0)=(這時)答案：114.解析：設g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函數(shù)的定義域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,則當x時，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(,+)上是增函數(shù)，x2時，f(x)0.函數(shù)f(x)在(,2)上是減函數(shù).若0a1,則當x時，f(x)0,f(x)在(,+)上是減函數(shù)，當x2時，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函數(shù).答案：(,2)16.解析：設圓內接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是內接三角形的面積為S=xh=從而.令S=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下：h(0, R)R(,2R)S+0S增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當x=R時，等腰三角形面積最大.答案：R三、17. 解：由l過原點，知k=(x00),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2,y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0或x0=.由x0,知x0=,y0=()33()2+2=.k=.l方程y=x 切點(，).18. ,令f(x)=0得，x=0，x=1，x= ,在0，1上，f(0)=0，f(1)=0， . .19.設雙曲線上任一點P（x0，y0）, , 切線方程 ,令y=0，則x=2x0 令x=0，則 . .20.解：(1)注意到y(tǒng)0,兩端取對數(shù)，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x, (2)兩端取對數(shù)，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),兩邊解x求導，得21.解：設經時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5,當下端移開1.4 m時，t0=,又s= (259t2)(92t)=9t,所以s(t0)=9=0.875(m/s).22.解：(1)當x=1時，Sn=1