高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2單元 第11節(jié) 函數(shù)與方程課件 文 蘇教版.ppt

第十一節(jié)函數(shù)與方程 基礎(chǔ)梳理 1 函數(shù)零點(diǎn)的定義 1 把使函數(shù)y f x 的值為 的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y f x 的零點(diǎn) 2 函數(shù)y f x 的零點(diǎn)就是方程f x 0的 從圖象上看 函數(shù)y f x 的零點(diǎn)就是它的圖象與x軸交點(diǎn)的 2 函數(shù)零點(diǎn)的判定若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是一條不間斷的曲線 且 則函數(shù)y f x 在區(qū)間 上有零點(diǎn) 即存在x0 a b 使得f x0 0 這個(gè)x0也就是f x 0的根 我們不妨把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理 橫坐標(biāo) 0 解 a b f a f b 0 3 設(shè)x1 x2是實(shí)系數(shù)二次方程ax2 bx c 0 a 0 的兩實(shí)數(shù)根 根的分布與對(duì)應(yīng)的y ax2 bx c圖象以及其等價(jià)不等式組的關(guān)系如下表所示 f m 0 f m1 f m2 0或或 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1 f x x 的零點(diǎn)為 2 必修1p75例1改編 f x 2x2 4x a有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 則a的范圍為 解析 令f x 0 則x2 4 x 2 2和2 解析 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 則 0 16 4 2 a 0 a 2 2 3 三次方程x3 x2 2x 1 0在下列哪些連續(xù)整數(shù)之間沒有根 填序號(hào) 2與 1之間 1與0之間 0與1之間 1與2之間 解析 設(shè)f x x3 x2 2x 1 f 2 f 1 0 f 1 f 0 0 f 1 f 2 0 f x 在 2 1 1 0 1 2 內(nèi)均有根 故只有 符合題意 4 已知函數(shù)則函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 5 已知方程x2 a 1 x a 2 0的根一個(gè)比1大 另一個(gè)比1小 則a的取值范圍是 3 解析 1 由 2 由 x 0或x 4 所以函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3 解析 函數(shù)f x x2 a 1 x a 2 的大致圖象如圖所示 于是有f 1 0 即1 a 1 a 2 0 解得a 1 1 經(jīng)典例題 題型一求函數(shù)的零點(diǎn) 例1 求下列函數(shù)的零點(diǎn) 1 f x 4x 3 2 f x x2 2x 3 3 f x x 2 分析 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系 求函數(shù)的零點(diǎn) 就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根 解 1 由4x 3 0 得x 即f x 4x 3的零點(diǎn)是 2 由 x2 2x 3 0 得x2 2x 3 0 解得x1 1 x2 3 即f x x2 2x 3的零點(diǎn)為 1 3 3 由 得x1 1 x2 3 即函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1 3 變式1 1求下列函數(shù)的零點(diǎn) 1 f x x3 1 2 解析 1 由x3 1 0 得x 1 所以f x x3 1的零點(diǎn)是1 2 由 得x1 2 1 所以的零點(diǎn)是 1 這是一個(gè)二重零點(diǎn) 題型二函數(shù)零點(diǎn)的存在性判斷 例2 判斷下列函數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn) 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x log2 x 2 x x 1 3 分析 利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或圖象進(jìn)行判斷 解 1 方法一 f 1 12 3 1 18 200 f 1 f 8 0 f x x2 3x 18 x 1 8 存在零點(diǎn) 方法二 令f x 0 得x2 3x 18 0 x 1 8 x 6 x 3 0 x 6 1 8 x 3 1 8 f x x2 3x 18 x 1 8 有零點(diǎn) 2 方法一 f 1 log23 1 log22 1 0 f 3 log25 3 log28 3 0 f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x x 1 3 存在零點(diǎn) 方法二 設(shè)y log2 x 2 y x在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象 如圖 由圖象可以看出當(dāng)1 x 3時(shí) 兩圖象有一個(gè)交點(diǎn) 因此f x log2 x 2 x x 1 3 存在零點(diǎn) 變式2 1若方程ax2 x 1 0在 0 1 內(nèi)恰有一解 求a的取值范圍 解析 由題意 設(shè)f x ax2 x 1 則f x 在 0 1 內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn) 畫圖易知有f 0 f 1 2 題型三函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用 例3 對(duì)于函數(shù)f x 若存在x0 r 使f x0 x0成立 則稱x0為f x 的不動(dòng)點(diǎn) 已知函數(shù)f x ax2 b 1 x b 1 a 0 1 當(dāng)a 1 b 2時(shí) 求函數(shù)f x 的不動(dòng)點(diǎn) 2 若對(duì)任意實(shí)數(shù)b 函數(shù)f x 恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn) 求a的取值范圍 分析 函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn) 即方程f x x的根 函數(shù)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn) 即方程f x x有兩個(gè)不相等的實(shí)根 解 1 f x x2 x 3 因?yàn)閤0為f x 的不動(dòng)點(diǎn) 因此有f x0 x02 x0 3 x0 解得x0 1或x0 3 所以3和 1為f x 的不動(dòng)點(diǎn) 2 因?yàn)閒 x 恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) f x ax2 b 1 x b 1 x 即方程ax2 bx b 1 0有兩個(gè)不等實(shí)根 由題設(shè)知b2 4a b 1 0 對(duì)任意b r恒成立 4a 2 4 4a 0 即a2 a 0 0 a 1 變式3 1已知函數(shù)f x x2 2ex m 1 g x x x 0 1 若g x m有零點(diǎn) 求m的取值范圍 2 試確定m的取值范圍 使得g x f x 0有兩個(gè)相異實(shí)根 解析 1 方法一 由 等號(hào)成立的條件是x e 故g x 的值域是 2e 因而只需m 2e 則g x m就有零點(diǎn) 方法二 作出 x 0 的圖象如圖 可知若使g x m有零點(diǎn) 則只需m 2e 方法三 解方程g x m 得x2 mx e2 0 x 0 此方程有大于零的根 故等價(jià)于所以m 2e 2 若g x f x 0有兩個(gè)相異的實(shí)根 即g x 與f x 的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 作出 x 0 的圖象如圖 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其對(duì)稱軸為x e 開口向下 最大值為m 1 e2 故當(dāng)m 1 e2 2e 即m e2 2e 1時(shí) g x 與f x 有兩個(gè)交點(diǎn) 即g x f x 0有兩個(gè)相異實(shí)根 m的取值范圍是m e2 2e 1 鏈接高考 2010上海改編 若x0是方程lgx x 2的解 則x0屬于區(qū)間 0 1 1 1 25 1 25 1 75 1 75 2