三角形垂心的性質(zhì).doc

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)山西省原平市第一中學(xué)任所懷三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求證：它的三條高交于一點(diǎn)。證明：如圖：作BE于點(diǎn)E，CFAB于點(diǎn)F，且BE交CF于點(diǎn)H，連接AH并延長交BC于點(diǎn)D?，F(xiàn)在我們只要證明ADBC即可。因?yàn)镃FAB，BE所以 四邊形BFEC為圓內(nèi)接四邊形。四邊形AFHE為圓內(nèi)接四邊形。所以FAH=FEH=FEB=FCB由FAH=FCB得四邊形AFDC為圓內(nèi)接四邊形所以AFC=ADC=90即ADBC。點(diǎn)評(píng)：以上證明主要應(yīng)用了平面幾何中的四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)。三角形垂心的性質(zhì)定理1：銳角三角形的垂心是以三個(gè)垂足為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)心。如上圖，在三角形ABC中，AD、CF、BE分別為BC、AB、AC上的高，D、F、E分別為垂足，H為三角形ABC的垂心。求證：H為三角形DFE的內(nèi)心。證明：要證H為三角形DFE的內(nèi)心，只需證明HF、HE、HD分別平分DFE、FED、EDF。同樣我們還是利用四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)來證明。 由BCEF四點(diǎn)共圓得EFC=EBC （都是弧CE所對(duì)的圓周角） 由HFBD四點(diǎn)共圓得HFD=HBD=EBC （都是弧HD所對(duì)的圓周角）所以EFH=HFD 所以 HF平分EFD。同理 HE平分FED；HD平分FDE 所以H為三角形DFE的內(nèi)心。點(diǎn)評(píng)：以上兩個(gè)問題都用到了四點(diǎn)共圓。因?yàn)樵谶@個(gè)圖形中共可得到6個(gè)圓內(nèi)接四邊形，你不妨找一找。三角形垂心的向量表示：在中，若點(diǎn)O滿足，則點(diǎn)O為三角形ABC的垂心。 證明：由得，所以。同理OB，則點(diǎn)O為垂心。三角形垂心性質(zhì)定理2：若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則它的垂心也在這個(gè)函數(shù)圖象上。證明：設(shè)點(diǎn)O(x,y)為的垂心，則上面的向量表示得因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，所以設(shè)，因?yàn)椋运运?(1)同理：由得 (2)聯(lián)立（1）（2）兩式，就可解出 顯然有垂心O在函數(shù)的圖象上。點(diǎn)評(píng)：此題恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用了垂心的向量表示，把幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題，完美體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。（2005年全國一卷理科）的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = 分析：H顯然為的垂心，我們可取特殊情況來猜想m的值。于是我取為直角三角形，角A為直角，此時(shí)H點(diǎn)與A點(diǎn)重合，且O為BC的中點(diǎn)（如圖所示）。此時(shí)，于是猜想m=1.而對(duì)于一般情況，上面問題，我們不妨稱之為三角形的垂心性質(zhì)定理3：的外心為O，垂心為H，則。證明：作出的外接圓和外接圓直徑AD，連接BD,CD。因?yàn)橹睆剿鶎?duì)圓周角為直角，所以有， 因?yàn)镠為的垂心，所以所以HC/BD，BH/DC,所以四邊形BDCH為平行四邊形，所以。 因?yàn)?，且所以。點(diǎn)評(píng)：這條性質(zhì)聯(lián)系了三角形的外心與垂心，所得向量關(guān)系也相當(dāng)簡潔。以此為背景出高考題，也確實(shí)體現(xiàn)了命題者深厚的知識(shí)功底。三角形垂心性質(zhì)定理3：三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。即：的外心為O，垂心為H，D為BC中點(diǎn)，則AH=2OD。證明：因?yàn)镈為BC中點(diǎn)所以由性質(zhì)2知：得所以AH=2OD。點(diǎn)評(píng)：性質(zhì)定理3，也可看做是性質(zhì)定理2的推論。三角形垂心性質(zhì)定理4：銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。分析：應(yīng)用上面的性質(zhì)定理3，上面這一結(jié)論可改為銳角三角形的外接圓與內(nèi)切圓徑之和等于外心到三角形三邊距離之和。即：如圖在銳角中，O為外心，D,E,F分別為三邊的中點(diǎn)。設(shè)外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r,則OD+OE+OF=R+r.證明：在銳角中，O為外心，D,E,F分別為三邊的中點(diǎn)，則OF，所以有=設(shè)中角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c.在圓O中，弧AB所對(duì)的圓心角=2C又因OA=OB，OF，所以O(shè)F=OA*cosC=RcosC。同理OD=R*cosB, OE=R*cosA所以而由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知：所以 這個(gè)式子就指出了內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的關(guān)系。而要證OD+OE+OF=R+r，需證：RcosA+RcosB+RcosC=R+即需證需證(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c而對(duì)上式的證明我們可采用正弦定理，化角為邊，即需證：sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC需證：sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC而因?yàn)锳+B+C= 所以sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC顯然成立所以命題得證。點(diǎn)評(píng)：此題的證明充分聯(lián)系我們初高中的大量知識(shí)，真是做到了“八方聯(lián)系，渾然一體”（孫維剛老師語）。通過這樣的一個(gè)問題，我們的數(shù)學(xué)能力將大大提高。三角形垂心性質(zhì)定理5：H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。 此定理的證明相對(duì)簡單，讀者不妨自已試試。在此提出這個(gè)性質(zhì)，主要是看到這里存在的一種廣義對(duì)稱性，即四個(gè)點(diǎn)中每一點(diǎn)都可為垂心。這個(gè)結(jié)論進(jìn)一步提醒我們要經(jīng)常換個(gè)角度相問題。三角形垂心性質(zhì)定理6：H為ABC的垂心，則 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓。 分析：要證兩圓為等圓，只要證明它們的半徑（或直徑）相等就可以啦。而這兩圓都是三角形的外接圓，于是我們就想到了正弦定理。的直徑為，的直徑為，因?yàn)镠D，所以 四邊形BEHD是圓內(nèi)接四邊形所以 所以sinB=sin所以=所以，的外接圓為等圓。同理ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓。證明略。點(diǎn)評(píng)：該題的證明過程中，應(yīng)用到了性質(zhì)1中的圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和正弦定理。這也正是在提示我們要注意八方聯(lián)系。以上我對(duì)與三角形垂心有關(guān)的性質(zhì)做了一些總結(jié)，當(dāng)然也難免還