高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法

高考專題 解析幾何常規(guī)題型及方法高考專題 解析幾何常規(guī)題型及方法 本章本章節(jié)處節(jié)處理方法建理方法建議議 縱觀 2011 年全國各省市 18 套文 理高考試卷 普遍有一個規(guī)律 占解幾分值接近一 半的填空 選擇題難度不大 中等及偏上的學(xué)生能將對應(yīng)分?jǐn)?shù)收入囊中 而占解幾分值一 半偏上的解答題得分很不理想 其原因主要體現(xiàn)在以下幾個方面 1 解析幾何是代數(shù)與 幾何的完美結(jié)合 解析幾何的問題可以涉及函數(shù) 方程 不等式 三角 幾何 數(shù)列 向 量等知識 形成了軌跡 最值 對稱 范圍 參系數(shù)等多種問題 因而成為高中數(shù)學(xué)綜合 能力要求最高的內(nèi)容之一 2 解析幾何的計算量相對偏大 3 在大家的 拿可拿之分 的理念下 大題的前三道成了兵家必爭之地 而排放位置比較尷尬的第 21 題或 22 題 有 時 20 題 就成了很多人遺忘的角落 加之時間的限制 此題留白的現(xiàn)象比較普遍 鑒于解幾的特點(diǎn) 建議在復(fù)習(xí)中做好以下幾個方面 1 由于高考中解幾內(nèi)容彈性很 大 有容易題 有中難題 因此在復(fù)習(xí)中基調(diào)為狠抓基礎(chǔ) 不能因為高考中的解幾解答題 較難 就拼命地去搞難題 套新題 這樣往往得不償失 端正心態(tài) 不指望將所有的題攻 下 將時間用在鞏固基礎(chǔ) 對付 跳一跳便可夠得到 的常規(guī)題上 這樣復(fù)習(xí) 高考時就 能保證首先將選擇 填空題拿下 然后對于大題的第一個小問爭取得分 第二小題能拿幾 分算幾分 三 高考核心考點(diǎn)三 高考核心考點(diǎn) 1 準(zhǔn)確理解基本概念 如直線的傾斜角 斜率 距離 截距等 2 熟練掌握基本公式 如兩點(diǎn)間距離公式 點(diǎn)到直線的距離公式 斜率公式 定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式 到角公式 夾 角公式等 3 熟練掌握求直線方程的方法 如根據(jù)條件靈活選用各種形式 討論斜率存在和不存在的各種情況 截距是否為 0 等等 4 在解決直線與圓的位置關(guān)系問題中 要善于運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)以減少運(yùn)算 5 了解線性規(guī)劃的意義及簡單應(yīng)用 6 熟悉圓錐曲線中基本量的計算 7 掌握與圓錐曲線有關(guān)的軌跡方程的求解方法 如 定義法 直接法 相關(guān)點(diǎn)法 參數(shù)法 交軌法 幾何法 待定 系數(shù)法等 8 掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的常見判定方法 能應(yīng)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決一些常見問題 四 常四 常規(guī)題規(guī)題型及解型及解題題的技巧方法的技巧方法 A 常規(guī)題型方面常規(guī)題型方面 1 中點(diǎn)弦問題 中點(diǎn)弦問題 具有斜率的弦中點(diǎn)問題 常用設(shè)而不求法 點(diǎn)差法 設(shè)曲線上兩點(diǎn)為 代入方程 然 xy 11 xy 22 后兩方程相減 再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式 消去四個參數(shù) 典型例題典型例題 給定雙曲線 過 A 2 1 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) 及 求線段的中點(diǎn) Px y 2 2 2 1 P1P2P1P2 的軌跡方程 分析 設(shè) 代入方程得 P xy 111 P xy 222 x y 1 21 2 2 1 x y 2 22 2 2 1 兩式相減得 xxxxyyyy 12121212 1 2 0 又設(shè)中點(diǎn) P x y 將 代入 當(dāng)時得xxx 12 2 yyy 12 2 xx 12 2 2 2 0 12 12 x yyy xx 又 k yy xx y x 12 12 1 2 代入得 240 22 xyxy 當(dāng)弦斜率不存在時 其中點(diǎn) P 2 0 的坐標(biāo)也滿足上述方程 P P 12 因此所求軌跡方程是240 22 xyxy 說明 本題要注意思維的嚴(yán)密性 必須單獨(dú)考慮斜率不存在時的情況 2 焦點(diǎn)三角形問題 焦點(diǎn)三角形問題 橢圓或雙曲線上一點(diǎn) P 與兩個焦點(diǎn) 構(gòu)成的三角形問題 常用正 余弦定理搭橋 F1F2 典型例題典型例題 設(shè) P x y 為橢圓上任一點(diǎn) 為焦點(diǎn) x a y b 2 2 2 2 1 Fc 1 0 F c 2 0 PF F 12 PF F 21 1 求證離心率 sinsin sin e 2 求的最值 PFPF 1 3 2 3 分析 1 設(shè) 由正弦定理得 PFr 11 PFr 22 rrc 12 2 sinsinsin 得 rrc 12 2 sinsinsin sinsin sin a c e 2 aexaexaae x 33322 26 當(dāng)時 最小值是 x 02 3 a 當(dāng)時 最大值是 ax 26 323 ae a 3 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié) 合的辦法 典型例題典型例題 拋物線方程 直線與 軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊 yp xpxytx 2 10 1 求證 直線與拋物線總有兩個不同交點(diǎn) 2 設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為 A B 且 OA OB 求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f t 的表達(dá)式 1 證明 拋物線的準(zhǔn)線為11 4 x p 由直線 x y t 與 x 軸的交點(diǎn) t 0 在準(zhǔn)線右邊 得 t p tp 1 4 440 而 由消去 得 xyt yp x y 2 1 xtp xtp 22 20 24 22 tptp ptp 440 故直線與拋物線總有兩個交點(diǎn) 2 解 設(shè)點(diǎn) A x1 y1 點(diǎn) B x2 y2 xxtpx xtp 1212 2 2 OA OBkk OAOB 1 則 x xy y 1212 0 又 y ytxtx 1212 x xy yttp 1212 2 20 pf t t t 2 2 又 得函數(shù)的定義域是ptpf t 0440 200 4 圓錐曲線的有關(guān)最值 范圍 問題圓錐曲線的有關(guān)最值 范圍 問題 圓錐曲線中的有關(guān)最值 范圍 問題 常用代數(shù)法和幾何法解決 若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義 一般可用圖形性質(zhì)來解決 若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式 則可建立目標(biāo)函數(shù) 通常利用二次函數(shù) 三角函數(shù) 均值不等 式 求最值 典型例題典型例題 已知拋物線 y2 2px p 0 過 M a 0 且斜率為 1 的直線 L 與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A B AB 2p 1 求 a 的取值范圍 2 若線段 AB 的垂直平分線交 x 軸于點(diǎn) N 求 NAB 面積的最大值 分析 這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題 對于 1 可以設(shè)法得到關(guān)于 a 的不等式 通過解不等式求出 a 的范圍 即 求范圍 找不等式求范圍 找不等式 或者將 a 表示為另一個變量的函數(shù) 利用求函數(shù)的值域求出 a 的范圍 對于 2 首先要把 NAB 的面積表示為一個變量的函數(shù) 然后再求它的最大值 即 最值問題 函數(shù)思想最值問題 函數(shù)思想 解 1 直線 L 的方程為 y x a 將 y x a 代入拋物線方程 y2 2px 得 設(shè)直線 L 與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A x1 y1 B x2 y2 則 又 y1 x1 a y2 x2 a 2 21 21 2 2 04 4 axx paxx apa 2 2 80 0 2 8 2 0 2 8 4 2 21 2 21 2 21 2 21 pappapppAB appxxxxyyxxAB 解得 42 p a p 2 設(shè) AB 的垂直平分線交 AB 與點(diǎn) Q 令其坐標(biāo)為 x3 y3 則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 pa xx x 2 21 3 2 2 2121 3 p axaxyy y 所以 QM 2 a p a 2 p 0 2 2p2 又 MNQ 為等腰直角三角形 所以 QM QN 所以 S NAB P2 即 NAB 面積的最大值為 2 2 22 2 2 2 2 2 1 pppABpQNAB P2 5 求曲線的方程問題 求曲線的方程問題 1 曲線的形狀已知 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決 典型例題典型例題 已知直線 L 過原點(diǎn) 拋物線 C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上 若點(diǎn) A 1 0 和點(diǎn) B 0 8 關(guān)于 L 的對 稱點(diǎn)都在 C 上 求直線 L 和拋物線 C 的方程 分析 曲線的形狀已知 可以用待定系數(shù)法 設(shè)出它們的方程 L y kx k 0 C y2 2px p 0 設(shè) A B 關(guān)于 L 的對稱點(diǎn)分別為 A B 則利用對稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為 A B 因為 A B 均在拋物線上 代入 消去 p 得 k2 k 1 0 解得 k 1 2 1 1 22 2 k k k k 1 1 8 1 16 2 2 2 k k k k p 2 51 5 52 所以直線 L 的方程為 y x 拋物線 C 的方程為 y2 x 2 51 5 54 2 曲線的形狀未知 求軌跡方程 典型例題典型例題 已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q 2 0 和圓 C x2 y2 1 動點(diǎn) M 到圓 C 的切線長與 MQ 的比等于常數(shù) 0 求動點(diǎn) M 的軌跡方程 并說明它是什么曲線 分析 如圖 設(shè) MN 切圓 C 于點(diǎn) N 則動點(diǎn) M 組成的集合是 P M MN MQ 由平面幾何知識可知 MN 2 MO 2 ON 2 MO 2 1 將 M 點(diǎn) 坐標(biāo)代入 可得 2 1 x2 y2 42x 1 42 0 當(dāng) 1 時它表示一條直線 當(dāng) 1 時 它表示圓 這種方法叫做直接法 6 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題 在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題 可以按如下方式分三步解決 求兩點(diǎn)所在的直線 求這兩直線的交點(diǎn) 使這 交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi) 當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決 典型例題典型例題 已知橢圓 C 的方程 試確定 m 的取值范圍 使得對于直線 橢圓 C 上有不同 xy 22 43 1 yxm 4 兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱 分析 橢圓上兩點(diǎn) 代入方程 相減得 xy 11 xy 22 3 1212 xxxx 4 12 yy yy 12 0 又 代入得 x xx 12 2 y yy 12 2 k yy xx 12 12 1 4 yx 3 又由解得交點(diǎn) yx yxm 3 4 mm3 交點(diǎn)在橢圓內(nèi) 則有 得 mm 22 4 3 3 1 2 13 13 2 13 13 m 7 兩線段垂直問題 兩線段垂直問題 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題 常用來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理 kk yy xx 12 12 12 1 典型例題典型例題 已知直線的斜率為 且過點(diǎn) 拋物線 直線與拋物線 C 有兩個不同的交lkP 2 0C yx 2 41 l 點(diǎn) 如圖 1 求的取值范圍 k 2 直線的傾斜角為何值時 A B 與拋物線l C 的焦點(diǎn)連線互 相垂直 分析 1 直線代入拋物線方程得yk x 2k xkxk 2222 44440 由 得 0 110kk y B A P 2 0 O x M N QO 2 由上面方程得 x x k k 12 2 2 44 焦點(diǎn)為 y ykxx 12 2 12 224 O 0 0 由 得 或kk y y x x k k OAOB 12 12 2 2 1 1k 2 22 2 arctan 2 2 arctan B 解題的技巧方面解題的技巧方面 在教學(xué)中 學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大 事實上 如果我們能夠充分利用幾何圖形 韋達(dá)定理 曲 線系方程 以及運(yùn)用 設(shè)而不求 的策略 往往能夠減少計算量 下面舉例說明 1 充分利用幾何圖形 充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì) 所以在處理解析幾何問題時 除了運(yùn)用代數(shù)方程外 充分挖掘幾何 條件 并結(jié)合平面幾何知識 這往往能減少計算量 典型例題典型例題 設(shè)直線與圓相交于 P Q 兩點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 若 340 xym xyxy 22 20 OP OQ 求的值 m 解 圓過原點(diǎn) 并且 xyxy 22 20 OP OQ 是圓的直徑 圓心的坐標(biāo)為 PQM 1 2 1 又在直線上 M 1 2 1 340 xym 即為所求 3 1 2 410 5 2 mm 評注 此題若不充分利用一系列幾何條件 該圓過原點(diǎn)并且 PQ 是圓的直徑 圓心在直線OP OQ 上 而是設(shè)再由和韋達(dá)定理求 將會增大運(yùn)算量 340 xym P xyQ xy 1122 OP OQ m 評注 此題若不能挖掘利用幾何條件 點(diǎn) M 是在以 OP 為直徑的圓周上 而利用參數(shù)方程等方法 OMP90 計算量將很大 并且比較麻煩 二二 充分利用韋達(dá)定理及充分利用韋達(dá)定理及 設(shè)而不求設(shè)而不求 的策略的策略 我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它 而是結(jié)合韋達(dá)定理求解 這種方法在有關(guān)斜率 中點(diǎn)等問題中常常用到 典型例題典型例題 已知中心在原點(diǎn) O 焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于 P Q 兩點(diǎn) 且 yyx 1OP OQ 求此橢圓方程 PQ 10 2 解 設(shè)橢圓方程為 直線與橢圓相交于 P 兩點(diǎn) axbyab 22 10 yx 1 xy 11 Q xy 22 由方程組消去后得 yx axby 1 1 22 y ab xbxb xx b ab x x b ab 2 1212 210 21 由 得 1 kk OPOQ 1y yx x 1212 又 P Q 在直線上 yx 1 yx yx y yxxx xxx 11 22 12121212 12 13 111 把 1 代入 得 210 1212 x xxx 即 212 10 b ab b ab 化簡后 得 4 ab 2 由 得 PQ 10 2 xxyy 12 2 12 2 5 2 xxxxx x b ab b ab 12 2 12 2 12 2 5 4 4 5 4 2415 4 把 2 代入 得 解得或4830 2 bb b 1 2 b 3 2 代入 4 后 解得或a 3 2 a 1 2 由 得 ab 0ab 3 2 1 2 所求橢圓方程為 3 22 1 22 xy 評注 此題充分利用了韋達(dá)定理及 設(shè)而不求 的策略 簡化了計算 三三 充分利用曲線系方程充分利用曲線系方程 利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn) 因此也可以減少計算 典型例題典型例題 求經(jīng)過兩已知圓和0 的交點(diǎn) 且圓心在直線 Cxyxy 1 22 420 Cxyy 2 22 24 l 上的圓的方程 2410 xy 解 設(shè)所求圓的方程為 xyxyxyy 2222 42240 即 1142 140 22 xyxy 其圓心為 C 2 1 1 1 又 C 在直線上 解得 代入所設(shè)圓的方程得為l 2 2 1 4 1 1 10