【精品】基于有限元和邊界元方法的軸類感應(yīng)加熱分析及數(shù)值模擬.doc

【精品】基于有限元和邊界元方法的軸類感應(yīng)加熱分析及數(shù)值模擬 天津大學(xué)碩士學(xué)位論文基于有限元和邊界元方法的軸類感應(yīng)加熱分析及數(shù)值模擬姓名張媛媛申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別碩士專業(yè)控制理論與控制工程指導(dǎo)教師周躍慶xx1201中文摘要感應(yīng)加熱具有加熱速度快、物料內(nèi)部發(fā)熱效率高、加熱均勻，且具有產(chǎn)品質(zhì)量好、幾乎無(wú)污染、可控性好及易于實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)自動(dòng)化等一系列優(yōu)點(diǎn)，因此近年來(lái)得到了迅速發(fā)展。 隨著對(duì)其工藝與精度要求的不斷提高，對(duì)感應(yīng)加熱進(jìn)行數(shù)值模擬就顯得更加重要。 隨著有限元技術(shù)的高速發(fā)展，很多研究人員開(kāi)始了基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬研究，并已經(jīng)取得了一定的成果，但是也存在諸如計(jì)算量大，需人為設(shè)定邊界的不足；邊界元方法是從有限元方法發(fā)展而來(lái)的一種比較新的數(shù)值模擬方法，在處理電磁場(chǎng)仿真計(jì)算中有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，如可以降低求解問(wèn)題的維數(shù)、比較簡(jiǎn)單地處理無(wú)窮遠(yuǎn)邊界條件等，為感應(yīng)加熱的數(shù)值模擬技術(shù)開(kāi)辟了新的途徑。 本文以電磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)的基本原理為基礎(chǔ)，分別建立軸對(duì)稱工件的有限元和邊界元分析模型，并運(yùn)用通用有限元分析軟件ANSYS實(shí)現(xiàn)了感應(yīng)加熱中電磁一熱耦合場(chǎng)的有限元仿真計(jì)算，運(yùn)用MATLAB實(shí)現(xiàn)了感應(yīng)加熱中電磁場(chǎng)的邊界元仿真計(jì)算。 首先，給出了軸類工件感應(yīng)加熱的電磁一熱耦合場(chǎng)有限元模型，在電磁場(chǎng)建模過(guò)程中，重點(diǎn)介紹了矢量磁勢(shì)與標(biāo)量電勢(shì)法數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用；在溫度場(chǎng)建模過(guò)程中，主要分析了非線性瞬態(tài)溫度場(chǎng)的控制方程。 最后給出了電磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)耦合計(jì)算的原理和流程。 其次，給出了軸類工件感應(yīng)加熱的電磁場(chǎng)邊界元模型，并利用一種表面電流的近似方法，用拉普拉斯方程的基本解代替亥姆霍茲方程基本解用于感應(yīng)加熱電磁場(chǎng)的邊界積分方程，降低了基本解在邊界上的奇異性，避免了細(xì)分邊界及其所帶來(lái)的大計(jì)算量。 最后，利用有限元分析軟件ANSYS，對(duì)諧性電磁場(chǎng)和瞬態(tài)溫度場(chǎng)進(jìn)行耦合計(jì)算，得到了軸類工件在相同載荷不同加熱時(shí)間的溫度分布；利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)了諧性電磁場(chǎng)的邊界元計(jì)算，得到了工件在加熱過(guò)程中電磁場(chǎng)的分布。 試驗(yàn)結(jié)果與理論分析和實(shí)際測(cè)量結(jié)果基本一致。 關(guān)鍵詞感應(yīng)加熱；有限元法；邊界元法電磁場(chǎng)；溫度場(chǎng)ABSTRACTInduction heating is fast，efficient andwell-proportioned，and itpossesses manyadvantagessuch ashigh-grade production，no pollution，good controllabilityand easytobe automatized，SO itdeveloped veryfast in the recentyearsAs therequiredtechniques andprecision forinduction heatingget higherand hi【gher,the numericalsimulation of itbees moreand moreimportantAs thefast developmentof finiteelementmethod(FEM)，many researchersbegin todo thenumerical simulationby it,and manyachievements havebeenmade，but italso hassome disadvantagessuch asvastputationandintroducingarbitrary boundaries；Boundary elementmethod(BEM)is anew numericalsimulation methoddeveloped fromFEMit hasuniqueadvantages insimulating electromagic field，reducing thedimension of theproblem，dealing with the infiniteboundary simplyand SOon，blazing anew wayinthe numericalsimulationofinduction heatingIn thisthesis，the2D axisymmetricFEMand BEMmodel isbuilt basedon thefoundational principlesofelectromagicfield and thermal field，theelectromagicthermal couplingfield ofinductionheating issimulated withFEM byuniversal FEMsoftware ANSYSand theelectromagic field of the induction heatingissimulated withBEM byMATLABFirstly,the FEMmodel ispresented forsolving the coupling fieldsofaxisymmetric billetin inductionheating processThe choiceofthepotential isemphasizedin the electromagic fieldmodel，and thecontrol equationof nonlineartransientthermal field is analyzedinthe thermal fieldmodelThe principleand theputationflow ofthe couplingof electromagic and thermal fields arealsopresentedSecondly,the BEMmodel ispresented forsolving the electromagicfieldofaxisymmetric billetininductionheatingprocess，and withthe useof asurface currentapproximation，the Greenfunction ofHelmholtzS equationis replacedby theGreenfunction ofLaplaceS equationwhich hasa weaksingularity onthe boundary,SO thevastputation duetO shortelements onthe boundaryis avoidedIn theend，the FEManalysis ofthecouplingoftheelectromagicandthermalfields iscarried outusing ANSYS，thethermaldistribution ofthe billetat differentheatingtime is obtainedThe BEManalysis oftheelectromagicfieldiscarried outusingMATLAB，theelectromagicdistribution inthe heatingprocessisobtainedThe simulationresults ageshown tobe consistentwiththetest resultsandthepracticalmeasure resultsKEYWORDSinduction heating；finite elementmethod；boundary elementmethod；electromagicfield；thermalfield獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特另UDii以標(biāo)注和致謝之處外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得鑫奎盤(pán)堂或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料。 與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。 學(xué)位論文作者簽名徽罐簽字日期工1年71日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū)本學(xué)位論文作者完全了解鑫鲞盤(pán)塋有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定。 特授權(quán)基盜盤(pán)堂可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，并采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編以供查閱和借閱。 同意學(xué)校向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤(pán)。 (保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)說(shuō)明)學(xué)位論文作者簽名鍘妣菱導(dǎo)師簽名廠司紗锍簽字日期蛔-7年月日簽字日期哆年月2日第一章緒論11感應(yīng)加熱的原理和優(yōu)點(diǎn)第一章緒論根據(jù)初級(jí)線圈中電流的變化，可以在鄰近的閉合次級(jí)線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流的現(xiàn)象，法拉第(Michael faraday)創(chuàng)立了感應(yīng)加熱的概念。 對(duì)金屬工件的感應(yīng)加熱，其工作原理是在被加熱金屬工件外繞上一組感應(yīng)線圈。 當(dāng)線圈中流過(guò)某一頻率的交變電流時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生相同頻率的交變磁通，交變磁通又在金屬工件中產(chǎn)生感應(yīng)電勢(shì)，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流(渦流)，產(chǎn)生熱量，實(shí)現(xiàn)對(duì)工件的加熱。 感應(yīng)加熱方式是通過(guò)感應(yīng)線圈把電能傳遞給被加熱的金屬工件，然后電能再在金屬工件內(nèi)部轉(zhuǎn)化為熱能，感應(yīng)線圈與金屬工件并非直接接觸，能量是通過(guò)電磁感應(yīng)傳遞的，因而，我們把這種加熱方式稱為感應(yīng)加熱。 感應(yīng)加熱技術(shù)之所以得到廣泛應(yīng)用，是因?yàn)楦袘?yīng)加熱較之煤、石油產(chǎn)品、煤氣等為燃料的加熱方式具有如下優(yōu)點(diǎn)? (1)節(jié)約能源消耗采用煤、石油產(chǎn)品或煤氣加熱，不僅公害嚴(yán)重，而且由于廢熱往往未能回收利用，其熱效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于感應(yīng)加熱。 (2)加熱速度快、效率高一般的爐內(nèi)加熱，靠三種傳熱方式來(lái)加熱零件或毛坯，即輻射、對(duì)流及傳導(dǎo)，都屬于間接加熱，加熱速度緩慢。 而感應(yīng)加熱靠物體內(nèi)部所產(chǎn)生的渦流直接加熱，因而具有加熱速度快、加熱效率高的顯著特點(diǎn)，這是一般間接加熱難以達(dá)到的。 (3)加熱質(zhì)量高對(duì)于爐內(nèi)間接加熱，由于加熱速度慢，加熱時(shí)間長(zhǎng)，導(dǎo)致零件或毛坯表面氧化脫炭嚴(yán)重。 倘若加熱過(guò)快，表面和內(nèi)部溫差過(guò)大，可能產(chǎn)生嚴(yán)重的熱應(yīng)力，導(dǎo)致零件變形甚至開(kāi)裂；而加熱時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，則可能導(dǎo)致晶粒嚴(yán)重長(zhǎng)大(指鍛造前加熱)，給隨后的熱處理帶來(lái)困難，甚至造成不良后果。 上述問(wèn)題，有些是難以克服的，而感應(yīng)加熱的時(shí)間短，加熱過(guò)程容易控制，加熱質(zhì)量也能得到顯著改善。 (4)沒(méi)有公害一般爐內(nèi)加熱均不能避免地產(chǎn)生大量煙塵、廢氣及廢熱，污染環(huán)境與惡化工第一章緒論作條件，而感應(yīng)加熱屬于無(wú)公害加熱，不產(chǎn)生任何廢氣。 (5)易于實(shí)現(xiàn)機(jī)械化和自動(dòng)化一般情況下，對(duì)于爐內(nèi)加熱要實(shí)現(xiàn)機(jī)械化和自動(dòng)化比較困難，而感應(yīng)加熱卻易于實(shí)現(xiàn)。 并且只有實(shí)現(xiàn)機(jī)械化和自動(dòng)化才能充分發(fā)揮這種加熱地高效特點(diǎn)。 隨著自動(dòng)控制技術(shù)飛躍發(fā)展，自動(dòng)化儀表不斷更新，感應(yīng)加熱過(guò)程的自動(dòng)化程度越來(lái)越高。 (6)操作簡(jiǎn)便，安全可靠采用一般燃料爐加熱時(shí)，升溫和降溫過(guò)程很長(zhǎng)，浪費(fèi)大量熱能，而感應(yīng)加熱起動(dòng)和停止所需的輔助時(shí)間短，且操作簡(jiǎn)單，安全可靠。 12感應(yīng)加熱技術(shù)的發(fā)展及應(yīng)用乜】十九世紀(jì)七十年代，F(xiàn)oucault和Heaviside提出了有關(guān)渦流和感應(yīng)加熱的理論，使感應(yīng)加熱的工程應(yīng)用成為可能，隨后在這一方面展開(kāi)了一系列的研究和討論。 雖然當(dāng)時(shí)所做的工作大多屬于理論研究的范疇，卻為后來(lái)感應(yīng)加熱的實(shí)際應(yīng)用與工程設(shè)計(jì)打下了基礎(chǔ)。 1890年瑞典人發(fā)明了第一臺(tái)感應(yīng)熔煉爐一開(kāi)槽式有心爐，但由于受點(diǎn)動(dòng)力的作用，波動(dòng)太大，其容量受到了限制，同時(shí)阻抗變化也太大，致使功率不穩(wěn)定，所以現(xiàn)在已經(jīng)被淘汰了。 1916年美國(guó)人制造了閉槽式有心爐，用于有色金屬的熔煉，打下了有心爐結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。 1921年無(wú)心爐在美國(guó)出現(xiàn)，采用火花式中頻電源。 中頻機(jī)組電源、晶閘管變頻電源、高頻電源和倍頻電源也因不同工藝的要求而相繼出現(xiàn)。 十九世紀(jì)末期感應(yīng)加熱開(kāi)始應(yīng)用于表面熱處理。 感應(yīng)電熱技術(shù)已廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，尤其在冶金、機(jī)械制造、輕工化學(xué)、實(shí)驗(yàn)研究以及尖端技術(shù)領(lǐng)域。 例如，在機(jī)械制造與冶金工業(yè)中，產(chǎn)品或零件的生產(chǎn)過(guò)程一般需要加熱金屬、合金的熔化與熔煉，粉末冶金制品的燒結(jié)，零件或毛坯的加熱以及零件的感應(yīng)熱處理等。 作為感應(yīng)加熱設(shè)備來(lái)說(shuō)，可分為工頻設(shè)備、中頻設(shè)備以及高頻設(shè)備，高頻設(shè)備除用于金屬的感應(yīng)加熱外，還可用于非金屬電介質(zhì)的電場(chǎng)加熱。 13數(shù)值模擬方法的發(fā)展與現(xiàn)狀131數(shù)值模擬方法的分類及發(fā)展 (1)有限差分法(FDM)第一章緒論FDM以離散數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，其實(shí)質(zhì)是把研究物體從時(shí)間、空間上分割成許多小單元，對(duì)這些單元用差分方程式近似代替微分方程式，設(shè)定初始條件和邊界條件，逐個(gè)計(jì)算各個(gè)單元。 因其算法公式容易推導(dǎo)，易于程序?qū)崿F(xiàn)，網(wǎng)格剖分算法簡(jiǎn)單，且計(jì)算費(fèi)用低，得到廣泛應(yīng)用。 然而有限差分法必須對(duì)所有的邊界條件和交界條件進(jìn)行算法處理，特別是對(duì)復(fù)雜的邊界和場(chǎng)域內(nèi)各種介質(zhì)的處理有一定的困難，也難于實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化處理。 (2)積分方程法(IEM)IEM的基礎(chǔ)是麥克斯韋方程的積分形式，通過(guò)對(duì)場(chǎng)中源區(qū)的離散，便可以獲得對(duì)應(yīng)的代數(shù)方程并數(shù)值求解。 但是，對(duì)于非線性問(wèn)題，其最終形成的代數(shù)方程具有非對(duì)稱性、非稀疏性的系數(shù)矩陣，特別是該矩陣中各元素是由二重積分或三重積分而獲得的，具有超越函數(shù)或橢圓函數(shù)形式，計(jì)算量較大。 (3)有限元法(FEM)啼1FEM是目前工程技術(shù)領(lǐng)域中實(shí)用性最強(qiáng)，應(yīng)用最為廣泛的數(shù)值模擬方法。 它的基本思路是將求解區(qū)域離散為有限個(gè)按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體，通過(guò)構(gòu)造插值函數(shù)，根據(jù)變分原理或加權(quán)余量法，建立有限元方程。 由于有限元法節(jié)點(diǎn)配置的方式任意性，對(duì)于形狀復(fù)雜的形體可以使邊界節(jié)點(diǎn)完全落在區(qū)域邊界上，使邊界有較好的逼近。 經(jīng)過(guò)離散化得到與微分方程初值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式。 與其它數(shù)值方法相比，F(xiàn)EM的突出優(yōu)點(diǎn)是能夠求解具有復(fù)雜的幾何邊界條件、幾何形狀和不均勻材料問(wèn)題，所以更適合用于對(duì)鑄造系統(tǒng)等各種復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行分析。 FEM是1943年由Courant提出來(lái)，但直到六十年代，隨著電子數(shù)值計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，F(xiàn)EM的發(fā)展速度才顯著加快。 到七十年代中期，全世界已有300多個(gè)通用有限元程序，其中較著名的有ADINA,NASTRAN，SAP等，但多數(shù)只是計(jì)算程序，沒(méi)有前后處理功能。 到了八十年代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，有限元程序吸取了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、數(shù)據(jù)庫(kù)技術(shù)等方面的成果，已由單一的計(jì)算程序發(fā)展為一門(mén)綜合性技術(shù)一一有限元軟件技術(shù)，并成為工程數(shù)值分析的有力工具。 近幾年，通用有限元軟件有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，國(guó)外已出現(xiàn)了許多大型的融合計(jì)算數(shù)學(xué)、力學(xué)、計(jì)算圖形學(xué)等最新成果的功能齊全的通用有限元軟件，如NSTRAN、ANSYS、PATRAN等。 感應(yīng)加熱過(guò)程電磁一熱耦合場(chǎng)數(shù)值模擬技術(shù)的研究發(fā)展緩慢，專用有限元軟件很少。 由于有限元商業(yè)軟件功能不斷擴(kuò)大，前、后處理技術(shù)逐漸完善，使用起來(lái)更加方便，并且多采用開(kāi)放式結(jié)構(gòu)，有很大的開(kāi)發(fā)潛力，所以感應(yīng)加熱的數(shù)值模擬計(jì)算主要是利用通用的有限元商業(yè)軟件，本文的有限元法數(shù)值模擬采用大型通用有限元軟件ANSYS來(lái)完成。 第一章緒論 (4)邊界元法(BEM)邊界元法是近十余年來(lái)發(fā)展形成的一種數(shù)值計(jì)算方法。 該方法的工程應(yīng)用起始于彈性力學(xué)，進(jìn)而應(yīng)用于流體力學(xué)、熱力學(xué)、電磁工程、土木工程等諸多領(lǐng)域，并已從線性、靜態(tài)問(wèn)題沿拓到非線性、時(shí)變問(wèn)題的研究范疇。 邊界元法也是以積分方程為基礎(chǔ)的。 它主要采用分部積分如格林定理等，在一定條件下，把該積分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊界的積分方程，并據(jù)此進(jìn)行離散，獲得相應(yīng)的代數(shù)方程，求解這些變量的具體數(shù)值，然后再求出場(chǎng)域中變量的數(shù)值。 它的特點(diǎn)是數(shù)值方法和解析方法相結(jié)合，盡管增加了數(shù)學(xué)處理過(guò)程的復(fù)雜性，但起到了降維的作用。 邊界元方法的主要特點(diǎn)是【4l1)降低問(wèn)題求解的空間維數(shù)。 本方法將給定空間區(qū)域的邊值問(wèn)題通過(guò)包圍該區(qū)域邊界面上的邊界積分方程來(lái)表示，從而降低了問(wèn)題求解的空間維數(shù)。 2)方程組階數(shù)降低，輸入數(shù)據(jù)量減少。 如前所述，待求量將僅限于邊界節(jié)點(diǎn)，這不僅簡(jiǎn)化了問(wèn)題的前處理過(guò)程，而且大幅度降低了待求離散方程組的階數(shù)。 3)計(jì)算精度高。 本方法直接求解的是邊界廣義場(chǎng)源的分布。 根據(jù)不同的問(wèn)題，廣義場(chǎng)源可以是位勢(shì)、場(chǎng)源或等效場(chǎng)源。 場(chǎng)域中任一點(diǎn)的場(chǎng)量將通過(guò)線性疊加各離散的廣義場(chǎng)源的作用而求得，無(wú)須再經(jīng)微分運(yùn)算。 此外，由于只對(duì)邊界離散，離散化誤差僅僅邊界。 所以邊界元法較之有限元法，可望有較高的計(jì)算精度。 4)易于處理開(kāi)域問(wèn)題。 本方法只對(duì)有限場(chǎng)域或無(wú)限場(chǎng)域的有限邊界進(jìn)行離散化處理并求解，因此特別適合于開(kāi)域問(wèn)題。 132數(shù)值模擬方法的研究現(xiàn)狀及熱點(diǎn)有限元法的主要缺點(diǎn)是對(duì)于形狀和分布復(fù)雜的三維問(wèn)題，由于其變量多和剖分要求細(xì)往往因計(jì)算機(jī)內(nèi)存而受限制，特別是包含開(kāi)域自由空間的電磁計(jì)算問(wèn)題，其建模及求解比較困難。 因此綜合有限元法和邊界元法優(yōu)點(diǎn)的混合法的研究正深入展開(kāi)。 混合法在包含非線性材料介質(zhì)和復(fù)雜區(qū)域邊界及交界的場(chǎng)域內(nèi)采用有限元解法，在其余區(qū)域，特別如開(kāi)域部分采用邊界元法求解。 克服了三維場(chǎng)問(wèn)題求解要求計(jì)算機(jī)內(nèi)存量大、消耗機(jī)時(shí)長(zhǎng)等難點(diǎn)。 其副作用是使得所求解的代數(shù)方程的系數(shù)矩陣失去了對(duì)稱性和稀疏性等特點(diǎn)。 當(dāng)前在數(shù)值模擬中的幾個(gè)研究熱點(diǎn)是耦合問(wèn)題。 在具體的應(yīng)用分析中，不同物理現(xiàn)象具有相同或相似的變化規(guī)律，既具有相同或相似的邊值問(wèn)題，又為在對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)一考慮時(shí)帶來(lái)極大的方第一章緒論便。 對(duì)于不同物理場(chǎng)可以應(yīng)用相似的處理方法，從而簡(jiǎn)化分析過(guò)程。 【5】【6】2)自適應(yīng)網(wǎng)格劃分【71。 對(duì)電磁數(shù)值計(jì)算方法的誤差分析，具有較高的實(shí)用價(jià)值，特別適合于對(duì)于數(shù)值計(jì)算不太熟悉的研究和設(shè)計(jì)人員。 現(xiàn)在很多商用化的有限元分析軟件都集成了自適應(yīng)網(wǎng)格劃分技術(shù)。 使用時(shí)可以容易地得到合理的網(wǎng)格劃分，為進(jìn)一步的解算打下基礎(chǔ)。 3三維場(chǎng)的分析中規(guī)范的研究。 在三維場(chǎng)情況下，不僅有解的唯一性問(wèn)題，還需要選取適當(dāng)?shù)囊?guī)范加以限制，針對(duì)不同的介質(zhì)區(qū)域采用不同的場(chǎng)量表征形式，可以達(dá)到減少數(shù)個(gè)數(shù)的目的，相應(yīng)產(chǎn)生了各種各樣的計(jì)算方法。 嘲133感應(yīng)加熱數(shù)值模擬技術(shù)的概述感應(yīng)加熱數(shù)值模擬的研究對(duì)象是感應(yīng)線圈與被加熱的工件組成的系統(tǒng)，通過(guò)各種數(shù)值模擬方法計(jì)算出當(dāng)線圈中通以不同頻率的電流時(shí)在工件周圍空間所激發(fā)的電磁場(chǎng)，進(jìn)而得到工件中產(chǎn)生的渦流場(chǎng)的分布和強(qiáng)度，然后將渦流產(chǎn)生的焦耳熱作為溫度場(chǎng)的熱源，再對(duì)溫度場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算。 在分析中一般對(duì)電磁場(chǎng)進(jìn)行諧性分析，對(duì)溫度場(chǎng)進(jìn)行瞬態(tài)分析。 感應(yīng)加熱的計(jì)算方法在初期是基于電路和電磁場(chǎng)定律以及變壓器的分析原理，計(jì)算模型過(guò)于簡(jiǎn)化，計(jì)算結(jié)果近似程度很低，尤其對(duì)于形狀復(fù)雜的感應(yīng)加熱器，難以應(yīng)用經(jīng)典的電磁理論進(jìn)行分析。 為了設(shè)計(jì)感應(yīng)加熱器和確定重要的積分參數(shù)，只能進(jìn)行試驗(yàn)研究，在材料和時(shí)間上造成了巨大的浪費(fèi)。 雖然通過(guò)試驗(yàn)可以確定電源提供的總功率、電氣效率和功率因數(shù)等參數(shù)，但無(wú)法獲得渦流與溫度的分布，對(duì)于完全了解感應(yīng)加熱的過(guò)程是不充分的，因而難以對(duì)感應(yīng)加熱裝置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。 隨著現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，感應(yīng)加熱的應(yīng)用研究達(dá)到了一個(gè)新的階段，各種計(jì)算方法應(yīng)用于感應(yīng)加熱的研究。 文獻(xiàn)91l】采用邊界元法，文獻(xiàn)【12】采用有限差分法，文獻(xiàn)【13】采用積分方程法，但絕大多數(shù)文獻(xiàn)采用有限元法，也有文獻(xiàn)14】用邊界元法與有限元法相結(jié)合的方法。 近年來(lái)，由于有限元商業(yè)軟件的空前發(fā)展，大量功能強(qiáng)大的通用有限元軟件的出現(xiàn)使得利用有限元方法對(duì)感應(yīng)加熱過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬變得十分便利，加之有限元方法在處理多重物理場(chǎng)相耦合問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)，很多研究人員選擇利用有限元方法對(duì)感應(yīng)加熱負(fù)載的電磁一熱耦合場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬，來(lái)對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐進(jìn)行預(yù)測(cè)。 但是有限元方法的原理決定了它不能達(dá)到很高的精度，而且由于計(jì)算量大需耗費(fèi)大量機(jī)時(shí)。 由于感應(yīng)加熱的集膚效應(yīng)的存在，利用有限有進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)在集膚深度層需要?jiǎng)澐种辽偃龑泳W(wǎng)格，才能保證計(jì)算的精度。 所以在此過(guò)程中有限元方法的缺點(diǎn)也表現(xiàn)的比較明顯。 第一章緒論邊界元方法作為一種新興的數(shù)值計(jì)算方法，具有易于處理開(kāi)域問(wèn)題，準(zhǔn)備工作量小、解析時(shí)間短，計(jì)算精度高等特點(diǎn)。 非常適合處理渦流問(wèn)題，為感應(yīng)加熱的數(shù)值模擬提供了一條新的途徑。 國(guó)外的一些學(xué)者已經(jīng)在這方面做了一定的工作，但國(guó)內(nèi)的文獻(xiàn)中還沒(méi)有過(guò)這方面的記載。 而且目前專門(mén)用于邊界元計(jì)算的軟件非常的少，而且很不成熟。 這就使得邊界元法在感應(yīng)加熱數(shù)值模擬中的應(yīng)用受到了一定的限制。 用有限元法和邊界元法相耦合的方法來(lái)對(duì)感應(yīng)加熱過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬也是一種很好的嘗試，它可以結(jié)合有限元方法和邊界元方法的優(yōu)點(diǎn)，在保證計(jì)算精度的條件下，加快計(jì)算速度。 14課題研究的意義和所做的工作感應(yīng)加熱本身是一個(gè)復(fù)雜的物理過(guò)程，它牽涉電、磁、熱、相變、力學(xué)方面的綜合知識(shí)，至今仍無(wú)一個(gè)完整的耦合理論可以用數(shù)學(xué)方法來(lái)精確耦合該物理過(guò)程。 計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展使得通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬來(lái)描述感應(yīng)加熱過(guò)程成為可能，目前已有許多科研工作者將精力投入到這方面的工作中來(lái)。 由于有限元方法和邊界元方法近年來(lái)在理論上的日趨完善和商業(yè)軟件的迅猛發(fā)展，目前對(duì)感應(yīng)加熱的數(shù)值模擬主要采用這兩種方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。 應(yīng)用有限元方法來(lái)進(jìn)行的數(shù)值模擬，目前國(guó)內(nèi)對(duì)于這一課題的相關(guān)研究多數(shù)還僅限于單一場(chǎng)中負(fù)荷狀態(tài)的模擬，不能充分揭示感應(yīng)加熱中多種物理場(chǎng)的相互作用。 在一些考慮到電磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)耦合作用的研究中，往往假定加熱時(shí)，材料的各向物理參數(shù)為常值，這與實(shí)際情況有很大差異，尤其是對(duì)于鐵磁材料的磁導(dǎo)率，在溫度達(dá)到居里點(diǎn)時(shí)，將變?yōu)檎婵盏拇艑?dǎo)率，對(duì)加熱效果影響很大，因此計(jì)算結(jié)果必然會(huì)有較大的誤差。 由于邊界元方法在電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算方面有著很大的優(yōu)勢(shì)，可以使計(jì)算大大簡(jiǎn)化，而且沒(méi)有引入人為邊界，計(jì)算的精度也有希望大大改善，所以運(yùn)用邊界元的方法對(duì)感應(yīng)加熱過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬是一個(gè)重要課題。 本課題分別運(yùn)用有限元和邊界元兩種方法對(duì)感應(yīng)加熱過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬。 在基于有限元方法的數(shù)值模擬中，側(cè)重于諧性電磁場(chǎng)與瞬態(tài)溫度場(chǎng)的耦合研究，建立相關(guān)分析模型，并用大型通用有限元軟件ANSYS15l進(jìn)行仿真計(jì)算，得到軸對(duì)稱工件在相同載荷不同加熱時(shí)間的溫度分布；在基于邊界元方法的數(shù)值模擬中，側(cè)重利用邊界元方法計(jì)算感應(yīng)加熱中諧性電磁場(chǎng)的分布情況，這部分分析采用MATLABtM】編程實(shí)現(xiàn)。 仿真結(jié)果表明，利用有限元法和邊界元法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析和實(shí)際測(cè)量結(jié)果基本一致，為制定感應(yīng)加熱優(yōu)化工藝奠定了基礎(chǔ)，-第一章緒論使得提高加工精度成為可能。 本論文所做工作的主要?jiǎng)?chuàng)新之處在于，在基于有限元方法的分析中考慮了感應(yīng)加熱問(wèn)題中電磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)的相互作用，利用耦合的計(jì)算流程使得每一步計(jì)算都能考慮到負(fù)載各項(xiàng)物理參數(shù)隨溫度的變化，使得仿真結(jié)果更加接近真實(shí)值；在基于邊界元方法的分析中利用一種表面電流的近似方法，用拉普拉斯方程的基本解代替亥姆霍茲方程基本解用于感應(yīng)加熱電磁場(chǎng)的邊界積分方程，降低了基本解在邊界上的奇異性，避免了細(xì)分邊界所帶來(lái)的大計(jì)算量，在保證計(jì)算精度的前提下，降低了計(jì)算量，節(jié)約了機(jī)時(shí)。 第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬21有限元方法概述有限單元的思想最早由Courant于1943年提出。 五十年代初期，由于工程分析的需要，有限元在復(fù)雜的航空結(jié)構(gòu)分析中最先得到應(yīng)用，而有限元法(FiniteElement Method)這個(gè)名稱則由Clough于1960年在其著作中首先提出。 四十多年來(lái)，以變分原理為基礎(chǔ)建立起來(lái)的有限元法。 因其理論依據(jù)的普遍性，不僅廣泛地被應(yīng)用于各種結(jié)構(gòu)工程，而且作為一種聲譽(yù)很高的數(shù)值分析方法已被普遍推廣并成功地用來(lái)解決其它工程領(lǐng)域中的問(wèn)題，例如熱傳導(dǎo)、滲流、流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、土壤力學(xué)、機(jī)械零件強(qiáng)度分析、電磁場(chǎng)工程問(wèn)題等等。 1965年，Winslow首先將有限元法應(yīng)用于電氣工程問(wèn)題，其后，1969年Silvester將有限元法推廣應(yīng)用于時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題。 發(fā)展至今，對(duì)于電氣工程領(lǐng)域，有限元法已經(jīng)成為各類電磁場(chǎng)、電磁波工程問(wèn)題定量分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)的主導(dǎo)數(shù)值計(jì)算方法，并且無(wú)一例外地是構(gòu)成各種先進(jìn)、實(shí)用計(jì)算軟件包的基礎(chǔ)。 總之，有限元法在眾多的數(shù)值計(jì)算方法中已經(jīng)確立其主導(dǎo)地位，它的發(fā)展與應(yīng)用前景令人矚目。 211有限元方法的特點(diǎn)有限元方法將整個(gè)區(qū)域分割成很多小的子區(qū)域，并構(gòu)造定義在子區(qū)域上的簡(jiǎn)單嘗試函數(shù)，將整個(gè)區(qū)域中各個(gè)子區(qū)域所對(duì)應(yīng)的嘗試函數(shù)線性組合起來(lái)，便形成了近似解的表達(dá)式。 大大簡(jiǎn)化了各個(gè)矩陣的計(jì)算。 有限元法的特點(diǎn) (1)離散化過(guò)程保持了明顯的物理意義。 這是因?yàn)?，變分原理描述了支配物理現(xiàn)象的物理學(xué)中的最小作用原理(如力學(xué)中的最小勢(shì)能原理、靜電學(xué)中的湯姆遜定理等)。 因此，基于問(wèn)題固有的物理特性而予以離散化處理，列出計(jì)算公式，即可保證方法的正確性、數(shù)值解的存在與穩(wěn)定性等前提要素。 (2)優(yōu)異的解題能力。 與其它數(shù)值計(jì)算方法相比較，有限元法在適應(yīng)場(chǎng)域邊界的幾何形狀以及媒質(zhì)物理性質(zhì)變異情況復(fù)雜的問(wèn)題求解上，有突出的優(yōu)點(diǎn)。 換句話說(shuō)，方法應(yīng)用不受上述兩個(gè)方面復(fù)雜程度的限制，而且如前所述，不同媒質(zhì)第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬分界面上的邊界條件是自動(dòng)滿足的；第 二、三類邊界條件不必作單獨(dú)的處理。 此外，離散點(diǎn)配置比較隨意，并且取決于有限單元剖分密度和單元插值函數(shù)的選取，可以獲得令人滿意的數(shù)值計(jì)算精度。 (3)可方便地編寫(xiě)通用計(jì)算程序，使之構(gòu)成模塊化的子程序集合，適應(yīng)計(jì)算功能延拓的需要，從而構(gòu)成各種高效的計(jì)算軟件包。 (4)從數(shù)學(xué)理論意義上講，有限元法作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。 它使微分方程的解法與理論面目一新，推動(dòng)了泛函分析與計(jì)算方法的發(fā)展。 212有限元方法的解算步驟根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的求解需要可以采用一維，二維或三維有限元方法，求解得到的結(jié)果是節(jié)點(diǎn)上的勢(shì)函數(shù)的值，對(duì)于單元上的值可以通過(guò)插值方法求得，一般采用一階插值，如果想要提高計(jì)算的精度，可以采用高階插值法，但同時(shí)會(huì)加大計(jì)算量。 本課題分析的模型為二維軸對(duì)稱模型，其有限元解法為列出區(qū)域中的偏微分方程和邊界條件，用三角形或四邊形單元將求解區(qū)域離散化。 以三角形單元為例，對(duì)于其中任意單元，其節(jié)點(diǎn)f的形函數(shù)為蛘=口?+群x+rTy其中P表示單元，f表示單元中的節(jié)點(diǎn)由有限元中形函數(shù)的定義。 flij210，七代入中各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(，乃)(xj，Y，)(，Y。 )得1=a；+p；xi+yyi0=a+p；xj+yyj0=Q+8；Xk+yjyk解該線性方程組，可求得口；，從而確定形函數(shù)曠班掣肛等第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬exkxi2專產(chǎn)其中s=圭E主簍l為單元的面積，其中L-，七的順序?yàn)槟鏁r(shí)針。 同理可確定，七兩點(diǎn)的形函數(shù)少；，孵，將相應(yīng)坐標(biāo)輪換即可。 擴(kuò)=母iV；+幣jl；，+牽kl；，近似解為歹=。 =辦y；+力yj+級(jí)y；】對(duì)于帕松方程V2矽=一q邊界條件糾rl=一g型Onr2=ol2利用變分法，對(duì)于適當(dāng)?shù)姆汉箨P(guān)于節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，并令其為0，可得一組線性代數(shù)方程；或采用迦遼金加權(quán)余數(shù)法，取加權(quán)函數(shù)為形函數(shù)，并令加權(quán)余數(shù)為0，交換積分與求和的順序，也可以得到一組線性代數(shù)方程組。 得整體矩陣方程【K【糾=【廠】其中K】為甩，階系數(shù)矩陣；(71為區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)數(shù))矽為刀l階節(jié)點(diǎn)勢(shì)函數(shù)矩陣；【門(mén)為玎xl階激勵(lì)矩陣。 系數(shù)矩陣和激勵(lì)矩陣的各元素依據(jù)各子單元逐一計(jì)算，即整體矩陣的每個(gè)元素都由每個(gè)單元的貢獻(xiàn)疊加而成。 KF=K；e=-I第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬兀=鬈P=I其中為整個(gè)區(qū)域劃分的單元數(shù)。 由節(jié)點(diǎn)f，J，k組成的任意單元對(duì)整體系數(shù)矩陣的貢獻(xiàn)為剖篙乏篆l【群贍磁j其中牛v吖Vv；m=(所群w枷咖=墜堂盟學(xué)型n|Q。 玲虻掣矩陣元素具有對(duì)稱性K口=K膏嚴(yán)圈f?=水弧=Iq(a；+俄x+y；y)dxdy簡(jiǎn)化表示為f。 =qjS擴(kuò)=母；+母j飛s+咖t噸其中諺，辦，九為單元上各點(diǎn)電勢(shì)，一。 ，甲。 ，。 為各節(jié)點(diǎn)形函數(shù)。 飛ej=a+或X+yy第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬有限元法解算步驟 (1)確定實(shí)際問(wèn)題所定義的區(qū)域、激勵(lì)和邊界條件，根據(jù)具體情況決定問(wèn)題的描述方程。 注意利用求解區(qū)域和激勵(lì)的對(duì)稱性，以縮小計(jì)算區(qū)域，減少計(jì)算量提高計(jì)算的精度。 (2)對(duì)整個(gè)計(jì)算區(qū)域離散化，即將區(qū)域用節(jié)點(diǎn)和有限元表示，節(jié)點(diǎn)是有限元的頂點(diǎn)，有限元互相不重疊，并且覆蓋整個(gè)計(jì)算區(qū)域。 每個(gè)單元都對(duì)應(yīng)相應(yīng)的激勵(lì)和材料特性。 (3)對(duì)每個(gè)有限元依次進(jìn)行局部處理，即根據(jù)特殊的形函數(shù)求得某個(gè)有限元的局部激勵(lì)矩陣和局部系數(shù)矩陣。 (4)將某個(gè)單元的局部激勵(lì)矩陣和局部系數(shù)矩陣的各個(gè)元素相加到整體激勵(lì)矩陣和整體系數(shù)矩陣中，從而形成求解節(jié)點(diǎn)勢(shì)函數(shù)值的矩陣方程。 把由邊界條件確定的節(jié)點(diǎn)勢(shì)函數(shù)代入矩陣方程，可以消減方程的階數(shù)，減少計(jì)算量。 (5)對(duì)形成的矩陣方程應(yīng)用解線性代數(shù)方程組的方法加以求解，便得到節(jié)點(diǎn)的勢(shì)函數(shù)值。 在整個(gè)區(qū)域上的分布函數(shù)可以用插值的方法求得。 (6)利用有限元法求得的勢(shì)函數(shù)求解其他關(guān)心的量，進(jìn)行解后處理。 22電磁場(chǎng)的有限元模型本節(jié)將闡述有限元法在時(shí)變電磁場(chǎng)中的應(yīng)用。 對(duì)于工程電磁場(chǎng)問(wèn)題，當(dāng)所分析的物理想象必須考慮電場(chǎng)或磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的特征時(shí)，例如大型電機(jī)端部電磁場(chǎng)、變壓器漏磁場(chǎng)以及其內(nèi)部電屏蔽、金屬構(gòu)件中的渦流場(chǎng)、渦流損耗；同步機(jī)異步起動(dòng)時(shí)阻尼條中的電流分布；波導(dǎo)中電磁波的傳播、截止頻率與波長(zhǎng)分析；感應(yīng)加熱、電磁屏蔽等等物理現(xiàn)象，均應(yīng)從時(shí)變場(chǎng)著手進(jìn)行分析研究。 如133中已經(jīng)指出，感應(yīng)加熱負(fù)載部分受到高頻正弦電流激勵(lì)所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)可歸結(jié)在時(shí)變電磁場(chǎng)的范疇內(nèi)，因此，本節(jié)即在這一范疇內(nèi)闡述有限元法的應(yīng)用。 22I渦流場(chǎng)的有限元分析m1要研究渦流場(chǎng)的有限元模型，我們需要先說(shuō)明電磁場(chǎng)的基本方程，電磁場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)形態(tài)，麥克斯韋方程組描述了電磁場(chǎng)的宏觀性質(zhì)。 作為回顧，下面列出靜止媒質(zhì)中麥克斯韋方程組的微分形式(式(21)一(2_4)和積分形式(式(25)一(28)第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬安培定律V萬(wàn)=了+0_2西_0法拉第電磁感應(yīng)定律V否=一警高斯磁通定律VB=0高斯電通定律VD=P于孕歷=，s-5石+，s百01)石于，否d7=一，。 警癡叮。 歷五=一JyPav=q于s否z=0其中，艿F罾B=ItH在電源以外區(qū)域d=oEE，D，B，H，d分別為電場(chǎng)強(qiáng)度、強(qiáng)度、電流密度；P、q、占、(2-1)(2-9)(2-10)(2-11)電位移、磁感應(yīng)強(qiáng)度(或稱磁通密度)、磁場(chǎng)盯分別表示電荷密度、電荷量、介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。 在式(25)和式(26)中，1為閉合曲線，S為以f為邊界的曲面；在式(27)和式(28)9，S為封閉曲面，V為S所包圍的體積。 上述方程適用于一般的時(shí)變電磁場(chǎng)。 需要指出的是，在電磁性能關(guān)系式(29)一式(211)中，材料的性質(zhì)均設(shè)為各向同性，因此，占、仃均為標(biāo)量。 電磁場(chǎng)理論有兩個(gè)分支。 一個(gè)是高頻電磁場(chǎng)，研究從無(wú)線電頻率到光頻率的電磁傳播問(wèn)題，相應(yīng)于這一分支的場(chǎng)方程就是上述的式(22)一式(2-8)。 另一分支是似穩(wěn)電磁場(chǎng)。 似穩(wěn)電磁場(chǎng)研究頻率較低、滿足似穩(wěn)條件的問(wèn)題。 在似穩(wěn)場(chǎng)中，場(chǎng)源隨時(shí)間的變化足夠慢，使相應(yīng)電磁波的波長(zhǎng)大大地大于所研究區(qū)域的幾何尺寸，因而場(chǎng)點(diǎn)(亦即觀察點(diǎn))的場(chǎng)強(qiáng)幾乎瞬時(shí)地跟隨場(chǎng)源地變化而變化，不像高頻電磁場(chǎng)中場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的變化滯后于場(chǎng)源的變化。 電工設(shè)備中的電磁場(chǎng)多屬于似穩(wěn)電磁場(chǎng)。 對(duì)于似穩(wěn)電磁場(chǎng)，麥克斯韋方程式(21)和式(25)9的位移電流密度與傳、J、，、，、，、，234)6D8-5“_，i_22222第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬導(dǎo)電流密度相比較可以忽略不計(jì)，即半了。 換句話說(shuō)，在研究似穩(wěn)電磁場(chǎng)問(wèn)0l題時(shí)，只考慮磁場(chǎng)變化所產(chǎn)生的電場(chǎng)(由方程(12)，不考慮電場(chǎng)變化所產(chǎn)生的磁場(chǎng)。 求解區(qū)域中含有導(dǎo)電材料的似穩(wěn)電磁場(chǎng)又稱為渦流場(chǎng)。 渦流場(chǎng)分析的理論與方法正是本節(jié)所關(guān)注的問(wèn)題。 圖21典型渦流問(wèn)題中的區(qū)域，邊界，交界典型的渦流問(wèn)題可用圖21表示，其中Q為渦流區(qū)，含有導(dǎo)電媒質(zhì)，但不含源電流；Q，為非渦流區(qū)，其中包含給定的源電流L，為Q，和Q，的內(nèi)部分界面。 整個(gè)區(qū)域的邊界可分為兩種一種描述了法向的磁通密度LB紛110；另一種給定切向的磁場(chǎng)強(qiáng)度rH刀110。 根據(jù)上面的說(shuō)明，由麥克斯韋方程組，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)用場(chǎng)矢量云、豆、豆表示的渦流場(chǎng)控制方程與邊界條件為源電流渦流區(qū)域Q，中VH一仃豆=0v一E+塑o西VB110非渦流區(qū)域Q中VxH=了，VB=0邊界LB刀=0邊界oHr110(212)(213)第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬交界r12口l啊+B2刀2=0Hl X刀l+2X刀220方程組能唯一確定所研究區(qū)域中的B和E。 但是由于在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，直接求解麥克斯韋方程組往往并不方便，通常需要引入不同的電磁位，本文使用矢量磁位與標(biāo)量電位，即j，一j法來(lái)計(jì)算渦流場(chǎng)的分布。 222矢量磁勢(shì)與標(biāo)量電勢(shì)法數(shù)學(xué)模型的導(dǎo)出n81所謂j，痧一j法指的是把渦流場(chǎng)的場(chǎng)域分為渦流區(qū)和非渦流區(qū)兩部分，在渦流區(qū)采用矢量磁勢(shì)j和標(biāo)量電勢(shì)矽作為函數(shù)，在非渦流區(qū)只用j作為函數(shù)。 由于磁感應(yīng)強(qiáng)度云的無(wú)散性，即v雪=0，可以定義一個(gè)矢量函數(shù)j，令B=VX1，這樣的定義顯然與式(23)相容，因?yàn)樾葓?chǎng)的散度為零。 考慮到時(shí)間導(dǎo)數(shù)和旋度的運(yùn)算順序可以交換，由式(22)可以得到v(云+罷)0，其中括df號(hào)中的兩項(xiàng)之和構(gòu)成一個(gè)無(wú)旋的矢量場(chǎng)。 由于無(wú)旋場(chǎng)可以表示成一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度，因此可推出豆一祟一v，矽即為標(biāo)量電勢(shì)，可以看作靜電場(chǎng)中定義的標(biāo)優(yōu)量電勢(shì)在渦流場(chǎng)情況下的推廣。 將矢量磁勢(shì)和標(biāo)量電勢(shì)的定義代入式(2-12)和式(2一13)，推導(dǎo)出在QV(刃鋤一仃詈一田(2-14)在Q2內(nèi)V(刀j)=五在邊界L上元Vxj=0在邊界上內(nèi)j廳m0在交界r12上亓。 Vj-=亓Vj(，lV彳1)元l=(v2VXAOx元2分，00二位Q小弘弘m協(xié)第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬其中l(wèi)，一1，表示磁阻率。 由于矢量磁勢(shì)j的定義已經(jīng)保證了云的無(wú)散性，因此v雪=0不需要再顯式地出現(xiàn)。 根據(jù)矢量場(chǎng)唯一性定理，上述控制方程和邊界條件還不能保證矢量磁勢(shì)j的唯一性，因?yàn)閖的旋度雖已確定，但j的散度尚未規(guī)定。 j的散度的規(guī)定有多種選擇，不同的散度規(guī)定稱為不同的規(guī)范(Gauge)在經(jīng)典電磁場(chǎng)理論中，解析法常用的規(guī)范有洛倫茲規(guī)范和庫(kù)侖規(guī)范。 在有限元數(shù)值計(jì)算中應(yīng)用庫(kù)侖規(guī)范比洛倫茲規(guī)范要方便的多。 為了使j的解答唯一，除了已規(guī)定j的旋度，還需要規(guī)定j的散度和j本身的邊界條件。 當(dāng)采用庫(kù)侖規(guī)范時(shí)，規(guī)定j的散度為零，即VA=0(2-20)若在邊界r上給定下列齊次邊界條件在邊界L上元j=0(j的切向邊界條件)(221)在邊界r上菇j(luò)=0(j的法向邊界條件)(222)這樣，j的旋度和散度均已確定，在邊界上j的切向和法向邊界條件也已分別給定，可以證明，在區(qū)域Q中j的解將是唯一的，文獻(xiàn)n町中給出了j唯一性的證明。 接下來(lái)將庫(kù)侖規(guī)范并如(214)一(219)式，得到渦流場(chǎng)定解問(wèn)題完整表述乜們?cè)赒1內(nèi)VX(刃彳)一v(w彳)+仃=+DV=0(2-23a)一，14V十仃詈一刪=。 在Q2內(nèi)V(內(nèi)j)一v(wj)=天在邊界L上元j-0刃j0在邊界L上元j=0(內(nèi)j)元=O在邊界rl上jF jzv，Vjly2Vj2一一一一一一一第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬l，lVXAl元l=y2VXA2元2引一仃詈一刪=。 (2-27e)(227d)對(duì)于電導(dǎo)率在渦流區(qū)域中為恒定值的情況，可得標(biāo)量電勢(shì)滿足拉普拉斯方程v劾=0在交界上滿足學(xué)0；在整個(gè)渦流區(qū)域中矽為恒定值，可選為0。 On這樣在渦流區(qū)域中僅用矢量磁勢(shì)j就可以確定整個(gè)區(qū)域的場(chǎng)量。 基本方程為。 AjpoA=一面s23溫度場(chǎng)的有限元模型求解電磁場(chǎng)，渦流場(chǎng)的目的是利用求得的感生電流產(chǎn)生的焦?fàn)枱嶙鳛閮?nèi)熱源來(lái)計(jì)算溫度場(chǎng)。 溫度場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果既可以用來(lái)分析感應(yīng)加熱過(guò)程中工件各部分溫度發(fā)展變化，為制定熱處理工藝路線提供依據(jù)，又可以作為求解熱應(yīng)力場(chǎng)、熱處理后微觀相成分分布的基礎(chǔ)。 在感應(yīng)加熱問(wèn)題中的溫度場(chǎng)屬于瞬態(tài)溫度場(chǎng)。 在工件感應(yīng)加熱過(guò)程中，特別是加熱區(qū)域表面附近的高溫區(qū)，溫度變化較劇烈，應(yīng)考慮材料的熱物性隨溫度的變化關(guān)系，而且工件局部在加熱過(guò)程中溫度變化范圍大，在沿厚度方向也有較大的溫度梯度。 因此為了提高計(jì)算精度，應(yīng)當(dāng)采用三維非線性瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程來(lái)描述加熱過(guò)程中的溫度場(chǎng)T(x，Y，z，f)。 三維非線性瞬態(tài)熱傳導(dǎo)可由下列微分方程控制心曇嗜+號(hào)哆+差噔妒磋億捌式中口為內(nèi)熱源的強(qiáng)度；丁為溫度；七為各向同性材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)；p為材料密度；C為材料比熱；f為加熱時(shí)間。 感應(yīng)淬火加熱過(guò)程中，感生渦流作為內(nèi)熱源其強(qiáng)度為幢212I12q。 2y國(guó)M(2-29)式中7為工件材料的電導(dǎo)率；緲為激勵(lì)電流角頻率；j為矢量磁勢(shì)。 T件表面的邊界條件是對(duì)流和輻射，公式表示為乜31嘌一h(T圳吲(丁4一)(2-30)式中兀為環(huán)境溫度；h為對(duì)流熱傳遞系數(shù)；k為各向同性材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬Cs為輻射系數(shù)；占為StefanBoltzman常數(shù)；力為工件表面外法線方向。 24耦合分析感應(yīng)加熱問(wèn)題是一較為復(fù)雜的問(wèn)題，交流電磁場(chǎng)分析計(jì)算出熱源的數(shù)據(jù)，作為瞬態(tài)熱分析的熱載荷求解溫度場(chǎng)隨時(shí)間的變化。 在兩個(gè)物理場(chǎng)分析中，材料的性能都是隨溫度明顯變化的。 這就需要兩種物理場(chǎng)分析的相互耦合。 而且在計(jì)算出每一時(shí)間段的溫度時(shí)，需要重新計(jì)算該溫度下的電磁場(chǎng)的分布，這一分析過(guò)程是完全耦合的過(guò)程。 本文中的仿真計(jì)算采用大型通用有限元軟件ANSYS。 ANSYS的耦合場(chǎng)分析考慮了兩個(gè)或多個(gè)物理場(chǎng)之間的相互作用。 場(chǎng)耦合功能可通過(guò)耦合場(chǎng)單元直接實(shí)現(xiàn)(即直接耦合法)，或通過(guò)順序耦合法實(shí)現(xiàn)。 直接耦合法在分析中采用耦合場(chǎng)單元，這些單元在節(jié)點(diǎn)上有多個(gè)自由度(跨幾個(gè)場(chǎng))，允許在分析所涉及的學(xué)科間交叉耦合。 例如PLANEl3單元包含溫度，磁失勢(shì)，電壓等自由度，涵蓋熱，磁場(chǎng)，電場(chǎng)。 與直接耦合法不同，順序耦合分析法包括兩種序列分析，每種分析屬于一個(gè)不同的場(chǎng)，兩個(gè)場(chǎng)間的耦合通過(guò)把第一個(gè)分析的結(jié)果作為載荷施加到第二個(gè)場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 例如在熱一應(yīng)力分析中，從熱分析得到的節(jié)點(diǎn)溫度作為后續(xù)結(jié)構(gòu)分析的熱載荷來(lái)施加。 對(duì)于感應(yīng)加熱這樣不存在高度非線性相互作用的情形，采用順序耦合法更為有效和方便，因?yàn)榭梢元?dú)自進(jìn)行兩種場(chǎng)的分析。 圖22描述了采用順序耦合法中的物理環(huán)境法進(jìn)行計(jì)算的流程。 第二章基于有限元方法的感應(yīng)加熱數(shù)值模擬25本章小結(jié)圖22感應(yīng)加熱電磁場(chǎng)與溫度場(chǎng)耦合分析流程本章介紹了有限元方法的原理、特點(diǎn)及其解算步驟；根據(jù)感應(yīng)加熱過(guò)程中諧性電磁場(chǎng)和瞬態(tài)溫度場(chǎng)的偏微分方程建立了其有限元計(jì)算模型；最后介紹了大型通用有限元計(jì)算軟件ANSYS中耦合場(chǎng)的不同計(jì)算方法及其特點(diǎn)，并給出了利用物理環(huán)境法進(jìn)行感應(yīng)加熱電磁一熱耦合場(chǎng)分析的流程。 第三章基于邊界元方法的感應(yīng)加熱電磁場(chǎng)數(shù)值模擬第三章基于邊界元方法的感應(yīng)加熱電磁場(chǎng)數(shù)值模擬31邊界元方法概述311邊界元方法的發(fā)展邊界元方法的理論在近百年前就已奠定，它的基本思想是用積分方程法解微分方程。 早在1903年，F(xiàn)redhom就對(duì)積分方程的分類做了研究【241，并首先將其應(yīng)用于彈性力學(xué)問(wèn)題。 此后，許多人對(duì)積分方程的性質(zhì)作了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)討論，但是直到40年代末，除了一些特殊問(wèn)題，如第一邊值問(wèn)題，積分方程求解邊值問(wèn)題的研究一直未有比較明顯的進(jìn)展。 這一方面是由于解析求解這些問(wèn)題極其困難，甚至是不可能的，另外由于它理論性較強(qiáng)，涉足的人不多，人們未能認(rèn)識(shí)到它的潛在價(jià)值，所以一直未受到重視。 邊界元法的深入研究始于一些蘇聯(lián)學(xué)者，如Mikhlin、Smimow、Gakhov和Ivanov等，他們研究了標(biāo)量型、矢量型積分方程及積分域內(nèi)奇點(diǎn)和間斷的情形，從而為進(jìn)一步應(yīng)用邊界積分方程方法開(kāi)辟了道路，但當(dāng)時(shí)還沒(méi)有為工程所應(yīng)用1251。 邊界元法的應(yīng)用和發(fā)展是在大容量、高速度的計(jì)算機(jī)發(fā)展后出現(xiàn)的。 六十年代高速大型計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及其硬件的迅速發(fā)展，使離散求解積分方程成為可能。 19