2011年高考一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 9-6棱柱、棱錐的概念和性質(zhì)理 同步練習(xí)（名師解析）

用心 愛心 專心 第第 9 9 章章 第第 6 6 節(jié)節(jié) 知能訓(xùn)練知能訓(xùn)練 提升提升 考點一 棱柱 棱錐的概念與性質(zhì) 1 設(shè)有四個命題 底面是矩形的平行六面體是長方體 棱長相等的直四棱柱是正方體 有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體 對角線相等的平行六面體是直平行六面體 以上四個命題中 真命題的個數(shù)是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 命題 不是真命題 因為底面是矩形 若側(cè)棱不垂直于底面 這時四棱柱仍然 是斜平行六面體 命題 不是真命題 若底面是菱形 底面邊長與棱長相等的直四棱柱不 是正方體 命題 也不是真命題 因為有兩條側(cè)棱垂直于底面一邊 這時兩個對的側(cè)面是 矩形 但是不能推出側(cè)棱與底面垂直 命題 是真命題 由對角線相等 可得出平行六面 體的對角面是矩形 從而推出側(cè)棱與底面垂直 這個平行六面體是直平行六面體 答案 A 2 下面是關(guān)于三棱錐的四個命題 底面是等邊三角形 側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐 底面是等邊三角形 側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐 底面是等邊三角形 側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐 側(cè)棱與底面所成的角都相等 且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱 錐 其中真命題的編號是 寫出所有真命題的編號 解析 正確 如圖 可令A(yù)B VB VC BC AC 則 VBC為等邊三角形而 VAB和 VCA均為等腰 三角形 故不能判定為正三棱錐 側(cè)面積相等只能證明斜高相等 并不能表示側(cè)面為全等三角形 故不能判定為正三 棱錐 正確 答案 考點二 棱柱 棱錐的平行與垂直問題 3 在正四棱錐P ABCD中 PA AB M是BC的中點 G是 PAD的重心 則在平面 3 2 PAD中經(jīng)過G點且與直線PM垂直的直線有 條 解析 如圖 若設(shè)正四棱錐的底面邊長為a 則側(cè)棱為a 由于PM BC 所以 3 2 PM a f r 3 2 a 2 f a 2 2 2 2 用心 愛心 專心 連結(jié)PG并延長與AD相交于N點 則PN a 又MN AB a 所以PM2 PN2 MN2 2 2 于是PM PN 又PM AD 所以 平面PAD 因此在平面PAD中經(jīng)過G點的任意一條直線都 與PM垂直 答案 無數(shù) 4 如圖所示 在底面為平行四邊形的四棱錐P ABCD中 AB AC PA 平面ABCD 且PA AB 點E是PD的中點 1 求證 AC PB 2 求證 PB 平面AEC 3 求二面角E AC B的大小 解 1 證明 由PA 平面ABCD可得PA AC 又AB AC AC 平面PAB AC PB 2 證明 如圖所示 連結(jié)BD交AC于點O 連結(jié)EO 則EO是 PDB的中位線 EO PB PB 平面AEC 3 取AD的中點F 連結(jié)EF FO 則EF是 PAD的中位線 EF PA 又PA 平面ABCD EF 平面ABCD 同理FO是 ABD的中位線 FO AB PO AC 由三垂線定理可知 EOF是二面角E AC D的平面角 又 FO AB PA EF EOF 45 而二面角E AC B與二面角E AC D互補 故所求 1 2 1 2 二面角E AC B的大小為 135 考點三 棱柱 棱錐中角與距離的計算 5 2010 昆明 三棱錐S ABC中 SA 底面ABC SA 4 AB 3 D為AB的中點 ABC 90 則點D到面SBC的距離等于 A B C D 12 5 9 5 6 5 3 5 答案 C 6 如圖 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 CB 1 CA AA1 M為 36 側(cè)棱CC1上一點 AM BA1 用心 愛心 專心 1 求證 AM 平面A1BC 2 求二面角B AM C的大小 3 求點C到平面ABM的距離 解 1 證明 在直三棱柱ABC A1B1C1中 易知面ACC1A1 面ABC ACB 90 BC 面ACC1A1 AC 面ACC1A1 BC AM AM BA1 且BC BA1 B AM 平面A1BC 2 設(shè)AM與A1C的交點為O 連結(jié)BO 由 1 可知AM OB 且AM OC BOC為二面有B AM C的平面角 在 Rt ACM和 Rt A1AC中 OAC ACO 90 AA1C MAC Rt ACM Rt A1AC AC2 MC AA1 MC 6 2 在 Rt ACM中 AM 3 2 2 AC MC AM CO CO 1 1 2 1 2 在 Rt BCO中 tan BOC 1 BOC 45 BC CO 故所求二面角的大小為 45 3 設(shè)點C到平面ABM的距離為h 易知BO 可知S 2 ABM AM BO 1 2 1 2 3 2 22 3 2 VC ABM VM ABC hS ABM MC S ABC 1 3 1 3 h MC S ABC S ABM 6 2 3 2 3 2 2 2 點C到平面ABM的距離為 2 2 考點四 棱柱 棱錐的面積與體積計算 7 在三棱錐P ABC中 BC 3 CA 4 AB 5 若三側(cè)面與底面所成二面角 A BC P為 45 B AC P為 45 C AB P為 45 則三棱錐P ABC的體積為 A 1 B 2 用心 愛心 專心 C 3 D 4 解析 設(shè)三棱錐P ABC的高為h 底面三角形的內(nèi)切圓的半徑為r 則h r 由r 3 4 5 3 4 1 2 1 2 所以r 1 因此V S ABCh 2 1 3 答案 B 8 2010 東北模擬 正三棱錐底面邊長為a 側(cè)棱與底面所成角為 60 過底面一邊 作一截面使其與底面成 30 的二面角 則此截面的面積為 A a2 B a2 3 4 3 3 C a2 D a2 1 3 3 8 解析 如圖 E為AB中點 CE BC a DEC 30 DCE 60 EDC 90 3 2 3 2 DE CE sin60 a a 3 2 3 2 3 4 S ACB a a a2 1 2 3 4 3 8 答案 D 1 2009 遼寧 正六棱錐P ABCDEF中 G為PB的中點 則三棱錐D GAC與三棱錐 P GAC體積之比為 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 解析 由題意可知VB GAC VP GAC 三棱錐VB GAC VG BAC VD GAC VG ADC 又 三棱錐G BAC與三棱錐G ADC等高 且S BAC S ADC 1 2 綜上可知VD GAC VP GAC 2 1 故選擇 C 答案 C 2 2008 全國卷 正四棱錐的側(cè)棱長為 2 側(cè)棱與底面所成的角為 60 則該棱 3 錐的體積為 A 3 B 6 C 9 D 18 解析 高h 2sin60 3 又因底面正方形的對角線等于 2 33 底面積為S 2 2 6 1 233 體積V 6 3 6 1 3 答案 B 3 2009 全國 如圖 直三棱柱ABC A1B1C1中 AB AC D E分別為AA1 B1C的 中點 DE 平面BCC1 用心 愛心 專心 1 證明 AB AC 2 設(shè)二面角A BD C為 60 求B1C與平面BCD所成的角的大小 解法一 1 取BC中點F 連接EF 則EF綊B1B 從而EF綊DA 1 2 連接AF 則四邊形ADEF為平行四邊形 從而AF DE 又DE 平面BCC1 故AF 平面BCC1 從而AF BC 即AF為BC的垂直平分線 AB AC 2 作AG BD 垂足為G 連接CG 由三垂線定理知CG BD 故 AGC為二面角A BD C的平面角 由題設(shè)知 AGC 60 設(shè)AC 2 則AG 2 3 又AB 2 BC 2 故AF 22 由AB AD AG BD得 2AD 解得AD 故AD AF 2 3AD2 222 又AD AF 四邊形ADEF為正方形 BC AF BC AD AF AD A 故BC 平面DEF 因此平面BCD 平面DEF 連接AE DF 設(shè)AE DF H 則EH DF EH 平面BCD 連接CH 則 ECH為B1C與平面BCD所成的角 四邊形ADEF為正方形 AD 故EH 1 2 又EC B1C 2 ECH 30 1 2 即B1C與平面BCD所成的角為 30 解法二 1 以A為坐標原點 射線AB AC AA1分別為x軸 y軸 z軸的正半軸 建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ) xyz 設(shè)B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 則B1 1 0 2c E c 1 2 b 2 用心 愛心 專心 于是 0 DE 1 2 b 2 1 b 0 BC 由DE 平面BCC1知DE BC 0 求得b 1 DE BC AB AC 2 設(shè)平面BCD的一個法向量為 x y z AN 則 0 0 AN BC AN BD 又 1 1 0 1 0 c 故Error BC BD 令x 1 則y 1 z 1 1 1 c AN 1 c 又平面ABD的一個法向量為 0 1 0 AC 由二面角A BD C為 60 知 60 AN AC 故 cos60 求得c AN AC AN AC 1 2 于是 1 1 1 1 AN 2 CB1 2 cos 60 AN CB1 AN CB1 AN CB1 1 2 AN CB1 B1C與平面BCD所成的角為 30 如圖 已知在斜三棱柱ABC A1B1C1中 側(cè)面A1C 底面 ABC AB AC AA1 1 AB AC 且側(cè)棱AA1與底面ABC所成的角為 60 1 求證 AB A1C 2 求二面角C1 BC A大小的正切值 3 求該三棱柱的側(cè)面積 解 1 證明 面A1C 面ABC 面A1C 面ABC AC且AB AC AB 面A1C 從而AB A1C 2 過C1作C1M AC的延長線于點M 則C1M 面ABC 過M作MN BC的延長線于點N 連結(jié)C1N 則C1N BC C1N