蘇教版七年級數(shù)學(xué)(下冊)知識點(詳細(xì)全面精華)

完美格式可編輯版 第七章第七章 圖形的認(rèn)識 二 圖形的認(rèn)識 二 一 直線被第三條直線所截形成一 直線被第三條直線所截形成 8 8 個角 個角 3 3 線線 8 8 角角 1 同位角 在兩條直線的同一旁 第三條直線的同一側(cè) 在兩條直線的上方 又在直線 EF 的同側(cè) 具有這種位置關(guān)系的兩個角叫同位角 如 1 和 5 2 內(nèi)錯角 在兩條直線內(nèi)部 位于第三條直線兩側(cè) 在兩條直線之間 又在 直線 EF 的兩側(cè) 具有這種位置關(guān)系的兩個角叫內(nèi)錯角 如 3 和 5 3 同旁內(nèi)角 在兩條直線內(nèi)部 位于第三條直線同側(cè) 在兩條直線之間 又 在直線 EF 的同側(cè) 具有這種位置關(guān)系的兩個角叫同旁內(nèi)角 如 3 和 6 二 二 平行線及其判定平行線及其判定 一一 平行線平行線 1 平行 兩條直線不相交 互相平行的兩條直線 互為平行線 a b 在同一 平面內(nèi) 不相交的兩條直線叫做平行線 2 2 平行公理 平行公理 經(jīng)過直線外一點 有且只有一條直線與這條直線平行 3 3 平行公理推論 平行公理推論 平行于同一直線的兩條直線互相平行 如果 b a c a 那么 b c 二二 平行線的判定 平行線的判定 1 兩條平行線被第三條直線所截 如果同位角相等 那么這兩條直線平行 同位角相等 兩直線平行 2 兩條平行線被第三條直線所截 如果內(nèi)錯角相等 那么這兩條直線平行 內(nèi)錯角相等 兩直線平行 3 兩條平行線被第三條直線所截 如果同旁內(nèi)角互補 那么這兩條直線平行 同旁內(nèi)角互補 兩直線平行 4 4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 如果 a b a c 則 b c 推論 在同一平面內(nèi) 如果兩條直線都垂直于同一條直線 那么這兩條直線平 行 三 三 平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì) 一一 平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì) 1 兩條平行線被第三條直線所截 同位角相等 兩直線平行 同位角相等 2 兩條平行線被第三條直線所截 內(nèi)錯角相等 兩直線平行 內(nèi)錯角相等 3 兩條平行線被第三條直線所截 同旁內(nèi)角互補 兩直線平行 同旁內(nèi)角相等 二二 命題 定理 證明命題 定理 證明 1 命題的概念命題的概念 判斷一件事情的語句 叫做命題 2 命題的組成 每個命題都是題設(shè) 結(jié)論兩部分組成 完美格式可編輯版 題設(shè)是已知事項 結(jié)論是由已知事項推出的事項 命題常寫成 如果 那么 的形式 具有這種形式的命題中 用 如果 開始的部分是題設(shè) 用 那么 開始的部分是結(jié)論 3 真命題 正確的命題 題設(shè)成立 結(jié)論一定成立 4 假命題 錯誤的命題 題設(shè)成立 不能保證結(jié)論一定成立 5 定理 經(jīng)過推理證實得到的真命題 定理可以做為繼續(xù)推理的依據(jù) 6 證明 推理的過程叫做證明 四 四 平移平移 1 平移平移 平移是指在平面內(nèi) 將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離 這樣 的圖形運動叫做平移變換 簡稱平移 平移不改變物體的形狀和大小 2 平移的性質(zhì) 把一個圖形整體沿某一直線方向移動 會得到一個新的圖形 新圖形與原圖 形的形狀和大小完全相同 新圖形中的每一點 都是由原圖形中的某一點移動后得到的 這兩個點是對 應(yīng)點 連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等 對應(yīng)點的連線平行且相等 對 應(yīng)線段相等 對應(yīng)角相等 第八章第八章 冪的運算冪的運算 一 冪的運算 一 冪的運算 乘方的概念乘方的概念 求求 n n 個相同因數(shù)的積的運算 叫做乘方 乘方的結(jié)果叫個相同因數(shù)的積的運算 叫做乘方 乘方的結(jié)果叫 做冪 在做冪 在 n n a a 中 中 a a 叫做底數(shù) 叫做底數(shù) n n 叫做指數(shù) 叫做指數(shù) 乘方的性質(zhì)乘方的性質(zhì) 1 1 負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù) 負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù) 負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù) 負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù) 2 2 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù) 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù) 0 0 的任何正整數(shù)次冪都是的任何正整數(shù)次冪都是 0 0 1 1 同底數(shù)冪的乘法法則 同底數(shù)冪的乘法法則 都是正整數(shù) nmnm aaa nm 同底數(shù)冪相乘 底數(shù)不變 指數(shù)相加 注意底數(shù)可以是多項式或單項式 如 532 bababa 2 2 冪的乘方法則 冪的乘方法則 都是正整數(shù) mnnm aa nm 冪的乘方 底數(shù)不變 指數(shù)相乘 如 1025 3 3 冪的乘方法則可以逆用 即 如 mnnmmn aaa 23326 4 4 4 3 3 積的乘方法則 積的乘方法則 是正整數(shù) 積的乘方 等于各因數(shù)乘方 nnn baab n 的積 如 523 2zyx 51015552535 32 2 zyxzyx 完美格式可編輯版 4 4 同底數(shù)冪的除法法則 同底數(shù)冪的除法法則 都是正整數(shù) 且 nmnm aaa nma 0 nm 同底數(shù)冪相除 底數(shù)不變 指數(shù)相減 如 3334 baababab 5 5 零指數(shù) 零指數(shù) 即任何不等于零的數(shù)的零次方等于 1 1 0 a 6 負(fù)指數(shù)冪的概念 負(fù)指數(shù)冪的概念 a p p a 1 a 0 p 是正整數(shù) 任何一個不等于零的數(shù)的 p p 是正整數(shù) 指數(shù)冪 等于這個數(shù)的 p 指數(shù) 冪的倒數(shù) 也可表示為 pp n m m n m 0 n 0 p 為正整數(shù) 7 7 科學(xué)記數(shù)法 科學(xué)記數(shù)法 把一個絕對值大于把一個絕對值大于 10 10 或者小于或者小于 1 1 的整數(shù)記為的整數(shù)記為 a 10na 10n 的形式的形式 其中其中 1 a 1 a 10 10 這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法 第九章第九章 整式的乘法與因式分解整式的乘法與因式分解 1 1 單項式與單項式相乘 單項式與單項式相乘 把他們的系數(shù) 相同字母分別相乘 對于只在一個單 項式里含有的字母 則連同它的指數(shù)作為積的一個因式 注意 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積 先確定符號 再計算絕對值 相同字母相乘 運用同底數(shù)冪的乘法法則 只在一個單項式里含有的字母 則連同它的指數(shù)作為積的一個因式 單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用 單項式乘以單項式 結(jié)果仍是一個單項式 8 8 單項式乘以多項式 單項式乘以多項式 就是用單項式去乘多項式的每一項 再把所得的積相加 即 都是單項式 mcmbmacbam cbam 注意 積是一個多項式 其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同 運算時要注意積的符號 多項式的每一項都包括它前面的符號 在混合運算時 要注意運算順序 結(jié)果有同類項的要合并同類項 9 9 多項式與多項式相乘 多項式與多項式相乘 用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項 再把 所的的積相加 1010 乘法公式 平方差公式 乘法公式 平方差公式 注意平方差公式展開只有兩 22 bababa 完美格式可編輯版 項 公式特征 左邊是兩個二項式相乘 并且這兩個二項式中有一項完全相同 另 一項互為相反數(shù) 右邊是相同項的平方減去相反項的平方 如 zyxzyx 1111 完全平方公式 完全平方公式 222 2 bababa 完全平方公式的口訣 首平方 尾平方 首尾完全平方公式的口訣 首平方 尾平方 首尾 2 2 倍中間放 符號和前一個樣 倍中間放 符號和前一個樣 公式的變形使用 公式的變形使用 1 1 abbaabbaba2 2 2222 abbaba4 22 222 bababa 222 bababa 2 三項式的完全平方公式 bcacabcbacba222 2222 1212 單項式的除法法則 單項式的除法法則 單項式相除 把系數(shù) 同底數(shù)冪分別相除 作為商的 因式 對于只在被除式里含有的字母 則連同它的指數(shù)作為商的一個因式 注意 首先確定結(jié)果的系數(shù) 即系數(shù)相除 然后同底數(shù)冪相除 如果只在被除 式里含有的字母 則連同它的指數(shù)作為商的一個因式 1313 多項式除以單項式的法則 多項式除以單項式的法則 多項式除以單項式 先把這個多項式的每一項 除以這個單項式 在把所的的商相加 即 cbamcmmbmmammcmbmam 三 因式分解三 因式分解 1 1 因式分解 因式分解的定義 把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式 這種變形 叫做把這個多項式因式分解 掌握其定義應(yīng)注意以下幾點 1 分解對象是多項式 分解結(jié)果必須是積的形式 且積的因式必須是整 式 這三個要素缺一不可 2 因式分解必須是恒等變形 3 因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止 弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系 因式分解與整式乘法是互逆變形 因式分解是把和差化為積的形式 而整式乘 法是把積化為和差的形式 因式分解的常用方法 因式分解的常用方法 完美格式可編輯版 1 1 提公因式法 提公因式法 1 會找多項式中的公因式 公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分 系數(shù) 一各項系數(shù)的最大公約數(shù) 字母 各項含有的相同字母 指數(shù) 相同 字母的最低次數(shù) 2 提公因式法的步驟 第一步是找出公因式 第二步是提取公因式并確 定另一因式 需注意的是 提取完公因式后 另一個因式的項數(shù)與原多項式的 項數(shù)一致 這一點可用來檢驗是否漏項 3 注意點 提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式 即分解到 底 如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的 一般要提出 號 使括號內(nèi)的第一 項的系數(shù)是正的 2 2 公式法 公式法 運用公式法分解因式的實質(zhì)是 把整式中的乘法公式反過來使用 常用的 公式 平方差公式 a2 b2 a b a b 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 3 3 分組分解法 分組分解法 觀察多項式 發(fā)現(xiàn) 多項式中既無公因式可提 也無公式 2 aabacbc 法可用 但第一 第二項有公因式 a b 第三 第四項有公因式 a b 所以 后 又發(fā)現(xiàn)有公因式 2 aabacbcac 最后 這種利 2 aabacbcac 用分組來分解因式的方法叫做分組分解法分組分解法 4 4 十字相乘法 十字相乘法 x2 5x 6 x 2 x 3 分析上式 我們發(fā)現(xiàn) 二次項的系數(shù) 1 分解成 1 和 1 兩個因數(shù)的積 常數(shù)項 6 分解成 2 和 3 兩個因數(shù)的積 當(dāng)我們把 1 1 2 3 豎寫后再交叉相乘的和正好 等于一次項系數(shù) 如圖 最后橫寫兩個一次式就是分解的結(jié)果 像這種分解二次項的系數(shù)和常數(shù)項后交叉相乘的和等于一次項系數(shù)的方法 通 常叫 做十字相乘法十字相乘法 因式分解的十二種方法 把一個多項式化成幾個整式的積的形式 這種變形叫做把這個多項式因式分解 因式分解的 方法多種多樣 現(xiàn)總結(jié)如下 1 提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式 那么就可以把這個公因式提出來 從而將多項式化成 兩個因式乘積的形式 例 1 分解因式 x 2x x 2003 淮安市中考題 x 2x x x x 2x 1 2 應(yīng)用公式法 由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系 如果把乘法公式反過來 那么就可以用來把某些 12 13 235 完美格式可編輯版 多項式分解因式 例 2 分解因式 a 4ab 4b 2003 南通市中考題 a 4ab 4b a 2b 3 分組分解法 要把多項式 am an bm bn 分解因式 可以先把它前兩項分成一組 并提出公因式 a 把它后兩 項分成一組 并提出公因式 b 從而得到 a m n b m n 又可以提出公因式 m n 從而得到 a b m n 例 3 分解因式 m 5n mn 5m m 5n mn 5m m 5m mn 5n m 5m mn 5n m m 5 n m 5 m 5 m n 4 十字相乘法 對于 mx px q 形式的多項式 如果 a b m c d q 且 ac bd p 則多項式可因式分解為 ax d bx c 5 配方法 對于那些不能利用公式法的多項式 有的可以利用將其配成一個完全平方式 然后再利用平 方差公式 就能將其因式分解 例 5 分解因式 x 3x 40 解 x 3x 40 x 3x 40 x x x x 8 x 5 6 拆 添項法 可以把多項式拆成若干部分 再用進行因式分解 例 6 分解因式 bc b c ca c a ab a b bc b c ca c a ab a b bc c a a b ca c a ab a b bc c a ca c a bc a b ab a b c c a b a b a b c a c b c a a b 7 換元法 有時在分解因式時 可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù) 然后進行因式分解 最后再轉(zhuǎn)換回來 例 7 分解因式 2x x 6x x 2 2x x 6x x 2 2 x 1 x x 1 6x x 2 x x 6 令 y x x 2 x x 6 x 2 y 2 y 6 x 2y y 10 x y 2 2y 5 x x 2 2x 5 x 2x 1 2x 5x 2 x 1 2x 1 x 2 完美格式可編輯版 8 求根法 令多項式 f x 0 求出其根為 x x x x 則多項式可因式分解為 f x x x x x x x x x 例 8 分解因式 2x 7x 2x 13x 6 令 f x 2x 7x 2x 13x 6 0 通過綜合除法可知 f x 0 根為 3 2 1 則 2x 7x 2x 13x 6 2x 1 x 3 x 2 x 1 9 圖象法 令 y f x 做出函數(shù) y f x 的圖象 找到函數(shù)圖象與 X 軸的交點 x x x x 則多項 式可因式分解為 f x f x x x x x x x x x 例 9 因式分解 x 2x 5x 6 令 y x 2x 5x 6 作出其圖象 見右圖 與 x 軸交點為 3 1 2 則 x 2x 5x 6 x 1 x 3 x 2 10 主元法 先選定一個字母為主元 然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列 再進行因式分解 例 10 分解因式 a b c b c a c a b 分析 此題可選定 a 為主元 將其按次數(shù)從高到低排列 a b c b c a c a b a b c a b c b c c b b c a a b c bc b c a b a c 11 利用特殊值法 將 2 或 10 代入 x 求出數(shù) P 將數(shù) P 分解質(zhì)因數(shù) 將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合 并將組合后的每一個 因數(shù)寫成 2 或 10 的和與差的形式 將 2 或 10 還原成 x 即得因式分解式 例 11 分解因式 x 9x 23x 15 令 x 2 則 x 9x 23x 15 8 36 46 15 105 將 105 分解成 3 個質(zhì)因數(shù)的積 即 105 3 5 7 注意到多項式中最高項的系數(shù)為 1 而 3 5 7 分別為 x 1 x 3 x 5 在 x 2 時的值 則 x 9x 23x 15 x 1 x 3 x 5 12 待定系數(shù)法 首先判斷出分解因式的形式 然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù) 求出字母系數(shù) 從而把多項式因 式分解 例 12 分解因式 x x 5x 6x 4 分析 易知這個多項式?jīng)]有一次因式 因而只能分解為兩個二次因式 設(shè) x x 5x 6x 4 x ax b x cx d x a c x ac b d x ad bc x bd 所以 解得 則 x x 5x 6x 4 x x 1 x 2x 4 zhangying002F1 2014 10 17 第十章第十章 二元一次方程二元一次方程 二元一次方程組二元一次方程組 1 二元一次方程二元一次方程 含有兩個未知數(shù)的方程并且所含未知項的最高次數(shù)是 1 這 樣的整式方程叫做二元一次方程 完美格式可編輯版 2 方程組 有幾個方程組成的一組方程叫做方程組 如果方程組中含有兩個未 知數(shù) 且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次 那么這樣的方程組叫做二元一次方程二元一次方程 組組 二元一次方程的解 二元一次方程的解 一般地 使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做 二元一次方程的解 二元一次方程組的解 二元一次方程組的解 一般地 二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元 一次方程組的解 8 28 2 消元消元 解二元一次方程組解二元一次方程組 二元一次方程組有兩種解法 一種是代入消元法代入消元法 一種是加減消元法加減消元法 1 1 代入消元法 代入消元法 用代入法代入法解二元一次方程組的一般步驟 觀察方程組中 是否 有用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù) 如果有 則將它直接代入另一個 方程中 如果沒有 則將其中一個方程變形 用含一個未知數(shù)的式子表示另一用含一個未知數(shù)的式子表示另一 個未知數(shù)個未知數(shù) 再將表示出的未知數(shù)代入另一個方程中 從而消去一個未知數(shù) 求 出另一個未知數(shù)的值 將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個方程 求出另外一個未知數(shù)的值 2 2 加減消元法 加減消元法 兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時 把這兩 個方程的兩邊分別相加或相減 就能消去這個未知數(shù) 得到一個一元一次方程 方程組的兩個方程中 如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù) 如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù) 就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊 使同一個未知數(shù)的系數(shù)相等相等或互為相反數(shù)互為相反數(shù) 2 把兩個方程的兩邊分別相加或相減 消去一個未知數(shù)一個未知數(shù) 3 解這個一元 一次方程 求出一個未知數(shù)的值 4 將求出的未知數(shù)的值代入原方程組原方程組中的 任何一個方程 求出另外一個未知數(shù)的值 從而得到原方程組的解 3 三元一次方程組的解法三元一次方程組的解法 三元一次方程組三元一次方程組 方程組含有三個未知數(shù) 每個方程中含有未知數(shù)的項的次數(shù) 都是 1 并且一共有三個方程組 像這樣的方程組叫做三元一次方程組 解三元一次方程組的一般步驟 解三元一次方程組的一般步驟 觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點 確定先 消去哪個未知數(shù) 利用代入法或加減法 把方程組中的一個方程 與另外兩 個方程分別組成兩組 消去同一個未知數(shù) 得到一個關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二 元一次方程組 解這個二元一次方程組 求得兩個未知數(shù)的值 將這兩個 未知數(shù)的值代入原方程組中較簡單的一個方程中 求出第三個未知數(shù)的值 從 而得到原三元一次方程組的解 8 38 3 實際問題與二元一次方程組實際問題與二元一次方程組 實際應(yīng)用 審題 設(shè)未知數(shù) 列方程組 解方程組 檢驗 作答 關(guān)鍵 找等量關(guān)系 常見的類型有 分配問題 追及問題 順流逆流 藥物配制 行程問題 完美格式可編輯版 順流逆流公式 vvv 順靜水 vvv 逆靜水 第十一章第十一章 一元一次不等式一元一次不等式 一 不等式及其解集一 不等式及其解集 1 不等式不等式 用不等號不等號表示不等關(guān)系不等關(guān)系的式子叫不等式 不等號主要包括 2 不等式的解 使不等式成立的未知數(shù)的值 叫不等式的解 3 不等式的解集 一個含有未知數(shù)的不等式的所有解 組成這個不等式的解集 二 不等式的性質(zhì)二 不等式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 如果 a b b c 那么 a c 不等式的傳遞性 性質(zhì) 2 不等式的兩邊同加 減 同一個數(shù) 或式子 不等號的方向不變 如果 a b 那么 a c b c 不等式的可加性 性質(zhì) 3 不等式的兩邊同乘 除以 同一個正數(shù) 不等號的方向不變 不等式 的兩邊同乘 除以 同一個負(fù)數(shù) 不等號的方向改變 如果 a b c 0 那么 ac bc 如果 a b c 0 acb c d 那么 a c b d 不等式的加法法則 性質(zhì) 5 如果 a b 0 c d 0 那么 ac bd 可乘性 性質(zhì) 6 如果 a b 0 n N n 1 那么 an bn 且 當(dāng) 0 n 1 時也成立 乘方法則 二 一元一次不等式二 一元一次不等式 1 一元一次不等式一元一次不等式 含有一個未知數(shù) 未知數(shù)的次數(shù)是 1 的不等式 2 不等式的解法 步驟 去分母 去括號 移項 合并同類項 系數(shù)化為 1 這 與解一元一次方程類似 在解時要根據(jù)一元一次不等式的具體情況靈活選擇步 驟 注意 去分母與系數(shù)化為一要特別小心 因為要在不等式兩端同時乘或除以某 一個數(shù) 要考慮不等號的方向是否發(fā)生改變的問題 1 一元一次不等式組 一元一次不等式組 一般地 關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一 起 就組成了一個一元一次不等式組 2 2 不等式組的解 不等式組的解 幾個不等式的解集的公共部分 叫做由它們組成的不等式組 的解集 解不等式組就是求它的解集 3 3 解不等式組 解不等式組 先求出其中各不等式的解集 再求出這些解集的公共部分 利 用數(shù)軸可以直觀地表示不等式的解集 解一元一次不等式組的一般步驟 解一元一次不等式組的一般步驟 求出這個不等式組中各個不等式的解集 利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分 得到這個不等式組的解集 如 果這些不等式的解集的沒有沒有公共部分 則這個不等式組無解 此時也稱這個不 完美格式可編輯版 等式組的解集為空集 求出各個不等式的解集后 確定不等式組的解的口訣 大大取大 小小取小 大小小大取中間 大大小小無處找 以兩條不等式組成的不等