淺談盈虧問題解題思路

精品文檔 1歡迎下載 輔導孩子做奧數題目的時候 經常發(fā)現孩子對老師講解過的基本典型的幾 類奧數題基本會做 可遇到復雜一點的題就抓耳撓腮 束手無策了 經過多次 試探 溝通 我發(fā)現孩子對老師講過的諸如盈虧問題 雞兔同籠等幾類基本典 型問題都能夠熟練應用公式解答 但其實并沒有完全吃透基本典型題目的解題 思路的精髓 特別是對基本典型問題的前置基礎要求條件幾乎沒有概念 這也 就導致孩子不知道何種情況不能直接套用公式 或者也知道不能直接套用公式 但卻無從下手的情況 個人覺得引導孩子真正理解基本典型問題的解題思路 分析和掌握基本典 型問題的前置基礎要求 并在此基礎上引導孩子判斷一道題是否滿足前置基礎 要求 在不滿足前置基礎要求的情況下 如何有針對性的進行轉化 才能做到 有的放矢 下面就以盈虧問題為例 和大家探討一下 基本典型問題 老師把一包餅干分給小朋友 如果每人分 5 塊 將剩余 14 塊 每人分 7 塊 又缺少 4 塊 那么 小朋友共有多少人 一共有多少塊餅干 這是盈虧問題的基本典型例題 引導孩子思考 每個小朋友分 5 塊后 老師手上還有 14 塊 根據題中 每 人分 7 塊 又缺少 4 塊 也就是說 再補給老師 4 塊餅干 每個人就可以分得 7 塊了 那好 再補給老師 4 塊 老師手上則有前面剩余的 14 塊和后補的 4 塊 一共有 14 4 18 塊餅干 把這 18 塊餅干也都分給小朋友 每個小朋友就正好有 7 塊餅干了 現在每個小朋友都已經有了上次分的 5 塊餅干 再分得 7 5 2 塊 餅干 每人就有 7 塊餅干了 也就是說老師手上的 18 塊餅干正好可以再給每個 小朋友 2 塊餅干 這樣就容易理解 小朋友一共有 18 2 9 個小朋友 得出小 朋友的人數 當然就很容易求得原來的餅干數量了 通過這種理解方式 相信孩子能夠很容易掌握盈虧基本典型問題的思考方 法 而不是簡單的記憶那些解題公式了 當然 盈盈 虧虧問題都能按此理解 和解答 在此就不贅述了 盈虧基本典型問題解題思路的關鍵是兩次分配的份額差異與盈虧差異的相 精品文檔 2歡迎下載 互關系 兩次分配的盈虧差正是因為兩次平均分配的份額差所導致的 而兩次兩次分配的盈虧差正是因為兩次平均分配的份額差所導致的 而兩次 分配的份數又不發(fā)生變化 因此盈虧差就是份額差與份數的乘積 分配的份數又不發(fā)生變化 因此盈虧差就是份額差與份數的乘積 這是盈虧問 題解題思路的本質 孩子如果一時難以完全理解這個本質 也不要強求 在此基礎上 我們再來分析一下基本典型盈虧問題的前置基礎要求 1 先后兩次對同一物品同一物品 餅干 進行不同的平均平均分配 2 前后兩次分配餅干過程中小朋友的人數是固定不變的 也就是分配的份分配的份 數不變數不變 餅干的原有數量 也就是在兩次分配中基數固定不變基數固定不變 3 兩次分配中每人分得的餅干數量 以及兩次分配中老師手上剩余或缺少 的餅干數量可以變化 也就是每份的數量和每次分配的盈虧數額可以變每份的數量和每次分配的盈虧數額可以變 化化 我們也正是根據這兩個數額的變化情況求得最后的份數和分配基數 的 這些前置基礎要求是我們能否應用上述解題思路來解答這類題型的基礎條 件 如果不滿足這些基礎條件 就不能直接使用基本典型題的解答思路來解答 從另一角度來說 遇到不滿足上述前置基礎要求的類似題目 就要設法將其轉 換到滿足前置基礎要求后 才能再應用基本典型題的解答思路來解答 老師和 課本上都說 要善于將復雜的盈虧問題轉化為基本典型的盈虧問題 可是具體 怎么轉化 孩子還是無從下手 現在 我們分析了上述前置基礎要求 至少我 們可以明確 就是要把不符合上述前置基礎要求的條件轉化為符合前置基礎要 求的條件 在條件轉換的過程中 要抓住前置條件中固定的要求和可以變化的條件之 間的關系 具體到盈虧問題中 由于每份的數量和每次分配的盈虧數量是可以 變化的 我們一般也就考慮將需要固定的條件進行固定 并根據有關題目條件 將此變化轉換為可以變化的盈虧數值的變化 例題 1 一群小朋友分橘子 如果其中兩人每人分 4 個 其余每人分 2 個 則 多出 4 個 如果其中一人分 6 個 其余每人分 4 個 則又缺 12 個 問一共有多 少小朋友 多少橘子 分析 本題中橘子和小朋友的數量在兩次分配中都沒有變化 但是兩次分配都 精品文檔 3歡迎下載 不是平均分配 這就不滿足前面分析的前置基礎要求 當然也不能直接應用盈 虧基本典型問題的解題思路直接解答 因此 我們的解題思路就是要先將不平 均分配的條件轉化為平均分配的條件 以滿足相應的前置基礎要求 第一次分配中 兩個人分 4 個 其余每人分 2 個 則多出 4 個 我們讓這 兩個分得 4 個的小朋友每人還兩個給老師 雖然這題中沒提及老師 我們還是 假設一個老師來分 這樣更好描述 孩子也更好理解 讓這兩個與眾不同的小 朋友和其他小朋友一樣 這樣就成了每人分 2 個的平均分配了 這樣一來 老 師手上就會又多出 2 2 4 個 加上原分配中多出的 4 個 那么 第一次分配就 變成了 每人分 2 個 則多出 8 個 同樣 第二次分配中 其中一人分 6 個 其余每人分 4 個 則又缺 12 個 讓這一個分 6 個的小朋友還 2 個給老師 這樣老師由原來缺 12 個就變成了缺 10 個 那么 第二次分配就變成了 每人分 4 個 則缺 10 個 通過上述過程我們可以看出 通過可以變化的盈虧數量的轉換 將不符合 的前置基礎要求的條件轉化為符合前置基礎要求的條件 這就是解決類似問題 的總體思路 經過這樣的轉換 題目已經成為滿足前提條件的基本典型盈虧題 目了 具體解答就不詳述了 例題 2 鋼筆和圓珠筆每支相差 1 元 2 角 小明帶的錢買 5 支鋼筆差 1 元 5 角 買 8 支圓珠筆多 6 角 問小明帶了多少錢 分析 這題顯然不滿足前置基礎要求中 對同一物品進行兩次分配 的要求 所以我們要努力將其轉換為對同一物品的分配 抓住 鋼筆和圓珠筆每支相差 1 元 2 角 的條件 將 買 5 支鋼筆 轉換為 買 5 支圓珠筆 就會多 1 2 5 6 元 這樣 買 5 支鋼筆差 1 元 5 角 的條件就轉化為 買 5 支圓珠筆 多 4 元 5 角 題目于是變成了 買 5 支圓珠筆多 4 元 5 角 買 8 支圓珠筆多 6 角 這又是符合前置基礎要求的基本典型題型了 當然 也可以將圓珠筆轉換 為鋼筆來做 例題 3 一個富翁向一些乞丐施舍一批錢財 一開始準備給每個乞丐 100 元 結果剩下 350 元 于是他決定每人再多給 20 元 這時從其他地方又趕來 5 名乞 精品文檔 4歡迎下載 丐 如果他們每人拿到的錢和其他乞丐一樣多 富翁還需要再增加 550 元 富 翁原打算施舍多少錢 分析 這個題目中 兩次分配的乞丐數量發(fā)生了變化 也就不能夠滿足基本典 型題型中兩次分配份數固定不變的前置基礎要求了 為此 我們需要對乞丐人 數進行固定轉化 在這里 請這后趕來的 5 名乞丐先不參與分配 也就是將每 人獲得了 120 元 共計 120 5 600 元還給富翁 這樣 富翁就不需要增加 550 元 而且還剩下 50 元了 于是 題目就變成了 給每個乞丐 100 元 結果剩下 350 元 給每個乞丐 120 元 結果剩下 50 元 例題 4 某班同學去劃船 如果增加 1 條船 那么每條船正好坐 6 人 如果減 少 1 條船 那么每條船要坐 9 人 問學生有多少人 分析 這題首先要理清楚什么是基本典型例題中的餅干 待分配的物品 什 么是小朋友 待分配的份數 本題中 同學數量對應 餅干數量 待分配的 物品 船 則對應 小朋友 待分配的份數 由此 可以知道與上題一樣 兩次分配的份數 船的數量 不固定 當然也就 不滿足基本典型題型的前置基礎要求 轉換的思路當然還是將其固定 根據 如果增加 1 條船 那么每條船正好坐 6 人 為保持船的數量不變 將增加的 1 條船退回 這樣就有 6 個人無船可坐 也就是 每條船坐 6 人 則多 6 人 同樣 根據 如果減少 1 條船 那么每條船要坐 9 人 可轉換為 每條船坐 9 人 則缺 9 人 經過這樣的轉換 本題就變成了 每條船坐 6 人 則多 6 人 每條船坐 9 人 則缺 9 人 的基本典型盈虧題型了 例題 4 小明每天 7 23 從家出發(fā)去學校 若以每分鐘 60 米的速度 小明會提 前 2 分鐘到校 若以每分鐘 50 米的速度 小明會遲到 1 分鐘 問小明的學校幾 點上課 分析 這道題看上去比較復雜 需要引導孩子抽絲剝繭 一步步理清思路 首先 這也是一道類似盈虧問題 小明家與學校的距離是待分配的物品 小明路途上所用時間可看做分配的份數 我們前面分析過 分配的份數應固定 不變 而小明兩次不同速度所用的時間是不同的 這就需要轉換 而且 這題 精品文檔 5歡迎下載 的盈虧數量在哪呢 其實 這題可將出發(fā)的時間到上課時間的這段時間段看做 分配的份數 固定小明走路的時間 也就是固定分配份數 這樣 提前兩分鐘 到校 我們就算他再走兩分鐘 也就是轉換為 以每分鐘 60 米的速度 多走 120 米 同樣 遲到 1 分鐘 也就轉換為 以每分鐘 50 米的速度 少走 50 米 這樣 這題轉換成了一個基本典型盈虧問題 我們可以求得家到學校的距離 為 900 米 出發(fā)時間到上課時間為 17 分鐘 再根據小明出發(fā)時間 7 23 得出 學校上課時間為 7 40 例題 5 總而言之 解題總體思路是 1 分析題目的基礎類型 2 分析題目是否滿足該基礎類型的前置基礎要求 如果滿足 直接按該類 典型題目分析方法計算 3 如果不滿足該基礎類型的前置基礎要求 應當先假設其為滿足前置基礎 要求的情況 并利用題目給定的相關條件 將假設轉化為前置基礎要求 中可以變化的量的變化 就盈虧問題而言 就是要將其他固定不變的要 素假定 然后根據題目相關