考研數學二真題解析

文檔鑒賞 20072007 年考研數學二真題解析年考研數學二真題解析 一 選擇題一 選擇題 本題共 10 小題 每小題 4 分 滿分 40 分 在每小題給的四個選項中 只有一 項符合題目要求 把所選項前的字母填在題后括號內 1 當時 與等價的無窮小量是 B 0 x x A B C D 1 x e 1 ln 1 x x 11x 1 cosx 2 函數在區(qū)間上的第一類間斷點是 A 1 1 tan x x eex f x x ee x A 0 B 1 C D 2 2 3 如圖 連續(xù)函數在區(qū)間上的圖形分別是直徑為 1 的上 下半圓 yf x 3 2 2 3 周 在區(qū)間上圖形分別是直徑為 2 的上 下半圓周 設則下 2 0 0 2 0 x F xf t dt 列結論正確的是 C A 3 F 3 2 4 F B 3 F 5 2 4 F C 3 F 3 2 4 F D 3 F 5 2 4 F 4 設函數 f x 在 x 0 處連續(xù) 下列命題錯誤的是 C A 若存在 則 B 若存在 0 lim x f x x 0 0f 0 lim x f xfx x 0 0f C 若存在 則 D 存在 0 lim x f x x 0 0 f 0 lim x f xfx x 0 0f 5 曲線漸近線的條數為 D 1 ln 1 x ye x 0 1 2 3 A B C D 6 設函數在上具有二階導數 且 令 則下 f x 0 0fx n u 1 2 f nn 列結論正確的是 D A 若 則必收斂 B 若 則必發(fā)散 12 uu n u 12 uu n u C 若 則必收斂 D 若 則必發(fā)散 12 uu n u 12 uu n u 7 二元函數在點 0 0 處可微的一個充分條件是 B f x y A 0 0 lim 0 00 x y f x yf 文檔鑒賞 B 且 0 00 0 lim0 x f xf x 0 0 0 0 lim0 y fyf y C 22 0 0 00 0 lim0 x y f xf xy D 且 0 lim 0 0 0 0 xx x fxf 0 lim 0 0 0 0 yy y fxf 8 設函數連續(xù) 則二次積分等于 B f x y 1 sin 2 x dxf x y dy A 1 0arcsin y dyf x y dx B 1 0arcsin y dyf x y dy C 1arcsin 0 2 y dyf x y dx D 1arcsin 0 2 y dyf x y dx 9 設向量組線形無關 則下列向量組線形相關的是 A 123 A B 122331 122331 C D 1223312 2 2 1223312 2 2 10 設矩陣 A B 則 A 于 B B 211 1 21 11 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A 合同 且相似 B 合同 但不相似 C 不合同 但相似 D 既不合同 也不相似 二 填空題 二 填空題 11 16 小題 每小題 4 分 共 24 分 請將答案寫在答題紙指定位置上 11 3 0 arctansin lim x xx x 1 6 曲線上對應于的點處的法線斜率為 12 2 coscos 1 sin xtt yt 4 t 21 設函數 則 13 1 23 y x 0 n y2 3 n 二階常系數非齊次線性微分方程的通解 y 14 2 4 32 x yyye 32 12 2 xxx C eC ee 設是二元可微函數 則 15 f u v y x zf x y 文檔鑒賞 12 22 zzyy xxy x xyff xyxx yyx y 設矩陣 則的秩為 1 16 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A 3 A 三 解答題 三 解答題 17 24 小題 共 86 分 請將解答寫在答題紙指定的位置上 解答應寫出文字 說明 證明過程或演算步驟 17 設是區(qū)間上單調 可導函數 且滿足 f x0 4 1 00 cossin sincos f xx tt ft dttdt tt 其中是的反函數 求 1 f f f x 詳解詳解 設則 yf t 1 tfy 則原式可化為 1 0 0 cossin sincos xx f tt yfy dytdt tt 等式兩邊同時求導得 cossin sincos xx xfxx xx cossin sincos xx fx xx 18 本題滿分 11 分 設 D 是位于曲線 下方 軸上方的無界區(qū)域 yxa 1 0ax x 求區(qū)域 D 繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積 x V a 當為何值時 最小 并求此最小值 a V a 詳解詳解 2 22 2 2 00 ln x a a I V ay dxxadx a 得 22 4 1 2 ln 2ln 2 0 ln aaaa II V a a ln ln1 0aa 故ln1a 即是唯一駐點 也是最小值點 最小值ae 2 V ee 文檔鑒賞 19 求微分方程滿足初始條件的特解 2 yxyy 1 1 1yy 詳解詳解 設 則代入得 dy py dx dp y dx 2 2 dpdxxpx xppp dxdppp 設 則 x u p d pu up dp du upup dp 1 du dp 1 upc 即 由于 2 1 xpc p 1 1 y 故 11 110cc 即 2 xp 3 2 2 2 3 dy pxxyxc dx 由或 2 1 1 1 3 yc 2 5 3 c 特解為或 3 2 21 33 yx 3 2 25 33 yx 20 已知函數具有二階導數 且 1 函數由方程所確 f a 0 f yy x 1 1 y yxe 定 設求 lnsin zfyx 0 x dz dx 2 0 2 x d z dx 詳解詳解 兩邊對求導得 1 1 y yxe x 11 0 yy yexey 得 當 1 1 1 y y e y xe 01 xy 故有 1 1 0 1 2 1 x e y 00 1 lnsin cos 0 1 1 1 0 xx dz fyxyxf dxy 文檔鑒賞 22 2 00 22 1 lnsin cos lnsin sin xx d zy fyxyxfyxx dxyy 2 2 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ff 本題 11 分 21 設函數在上連續(xù) 在內具有二階導數且存在相等的最大值 f x g x a b a b 證明 存在使得 f ag af bg b a b fg 詳解詳解 證明 設在內某點同時取得最大值 則 此時的 c f x g x a b ca b f cg c 就是所求點 若兩個函數取得最大值的點不同則有設 fg 使得 故有 由介值定理 max max f cf x g dg x 0 0f cg cg df d 在內肯定存在由羅爾定理在區(qū)間內分別存在一點 c d fg 使得 ab 0 在區(qū)間內再用羅爾定理 即 1212 ff 使得 12 a bfg 存在 使得 22 本題滿分 11 分 設二元函數 2 22 1 1 12 xxy f x y xy xy 計算二重積分其中 D f x y d 2Dx yxy 詳解詳解 D 如圖 1 所示 它關于 x y 軸對稱 對 x y 均為偶函數 得 f x y 1 4 DD f x y df x y d 其中是 D 的第一象限部分 1 D 文檔鑒賞 由 11 D 12 D 1 D 2 2 2 2x y x 12 1 2 y 1 2 于被積函數分塊表示 將分成 如圖 2 且 1 D 11112 DDD 1112 1 0 0 12 0 0DxyxyDxyxy 于是 而 11212 DDD f x y df x y df x y d 11 111 22 000 111 1 3412 x D f x y ddxx dyxx dx 1212 2 2cossin 1 220 cossin 11 DD f x y dddrdr r xy 極坐標變換 22 00 22 11 2 22 000 2 1 11 2 00 1 0 1 cossin cossin2sincos 22 2 tan 22 2 122 1 1tan2tan 22 2111 2222 12121 lnln2ln 21 22221 ut d d d dudu uuu dt dt ttt t t 所以 1 12 ln 21 122 D f x y d 文檔鑒賞 得 12 4 ln 21 122 D f x y d 本題滿分 11 分 23 設線性方程組 123 123 2 123 0 20 1 40 xxx xxax xxa x 與方程 123 21 2 xxxa 有公共解 求的值及所有公共解a 詳解詳解 因為方程組 1 2 有公共解 即由方程組 1 2 組成的方程組 的解 123 123 2 123 123 0 20 3 40 21 xxx xxax xxa x xxxa 即矩陣方程組 3 有解的充要條件為 2 11 10 020 140 1211 a a a 2 1110 0110 0010 00340 a aa 1 2aa 當時 方程組 3 等價于方程組 1 即此時的公共解為方程組 1 的解 解方程組 1 的基1a 礎解系為此時的公共解為 1 0 1 T 1 2 xkk 當時 方程組 3 的系數矩陣為此時方程組 3 2a 11 101110 12200110 14400001 1 1 110000 的解為 即公共解為 123 0 1 1xxx 0 1 1 Tk 24 設 3 階對稱矩陣 A 的特征向量值是 A 的屬于的 123 1 2 2 1 1 1 1 T 1 一個特征向量 記其中為 3 階單位矩陣 53 4BAAE E 驗證是矩陣的特征向量 并求的全部特征值的特征向量 I 1 BB 文檔鑒賞 求矩陣 IIB 詳解詳解 可以很容易驗證 于是 111 1 2 3 nn An 5353 111111 4 41 2BAAE 于是是矩陣 B 的特征向量 1 B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 與 A 的關系得到 即 53 4 1BAA 所以 B 的全部特征值為 2 1 1 前面已經求得為 B 的屬于 2 的特征值 而 A 為實對稱矩陣 1 于是根據 B 與 A 的關系可以知道 B 也是實對