第2章《圓錐曲線與方程-2

第第2章章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程 2 1 導(dǎo)學(xué)案導(dǎo)學(xué)案 教學(xué)過程教學(xué)過程 一 問題情境 2011年9月29日 中國(guó)成功發(fā)射了 天宮一號(hào) 飛行器 你知道 天宮一號(hào) 繞地球運(yùn)行的 軌跡是什么嗎 二 數(shù)學(xué)建構(gòu) 橢圓是物體運(yùn)動(dòng)的一種軌跡 物體運(yùn)動(dòng)的軌跡有很多 常見的還有直線 圓 拋物線 等 一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面 當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí) 可得到兩條相交直線 當(dāng)平面 與圓錐面的軸垂直時(shí) 截得的圖形是一個(gè)圓 當(dāng)我們改變平面的位置時(shí) 截得的圖形也在發(fā) 生變化 請(qǐng)觀察圖1 圖1 對(duì)于第一種情形 可在截面的兩側(cè)分別放置一個(gè)球 使它們都與截面相切 切點(diǎn)分別為 F1 F2 且與圓錐面相切 兩球與圓錐面的公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O1和圓O2 如圖2 圖2 設(shè)M是平面與圓錐面的截線上任一點(diǎn) 過點(diǎn)M作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2 于P Q兩點(diǎn) 則MP和MF1 MQ和MF2分別是上 下兩球的切線 因?yàn)檫^球外一點(diǎn)所作球的切線的長(zhǎng)都相等 所以MF1 MP MF2 MQ 故MF1 MF2 MP MQ PQ 因?yàn)镻Q VP VQ 而VP VQ是常數(shù) 分別為兩個(gè)圓錐的母線的長(zhǎng) 所以PQ是一個(gè)常數(shù) 也就是說 截線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離的和等于常數(shù) 通過分析 給出橢圓的概念 一般地 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離的和等于常數(shù) 大于F1F2 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2叫做橢圓的焦點(diǎn) 兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距 問題1 為什么常數(shù)要大于F1F2 解 因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與F1 F2構(gòu)成三角形 三角形的兩邊之和大于第三邊 所以MF1 MF2 F 1F2 問題2 若MF1 MF2 F1F2 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么 解 線段F1F2 問題3 若MF1 MF2F1F2 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存在 拋物線的概念 一般地 平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l F不在l上 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋 物線 定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn) 定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線 說明 定點(diǎn)F不能在定直線l上 否則所得軌跡為過點(diǎn)F且與直線l垂直的一條直線 橢圓 雙曲線 拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線 三 數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1 已知定點(diǎn)P 0 3 和定直線l y 3 0 動(dòng)圓M過點(diǎn)P且與直線l相切 求證 圓心 M的軌跡是一條拋物線 見學(xué)生用書P15 處理建議 讓學(xué)生仔細(xì)審題 作出圖形 再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照拋物線的定義尋找相等關(guān) 系 使問題得以解決 規(guī)范板書 證明 設(shè)圓M的半徑為r 點(diǎn)M到直線l的距離為d 動(dòng)圓M過點(diǎn)P且與l相切 MP r d r MP d 而點(diǎn)P不在l上 由拋物線的定義知圓心M的軌跡是一條拋物線 例2 題后反思 本題要緊扣拋物線的定義 主要注意兩點(diǎn) 到定點(diǎn)的距離等于到定直線 的距離 定點(diǎn)不在定直線上 例2 教材第27頁(yè)習(xí)題2 1第3題 如圖 圓F1在圓F2的內(nèi)部 且點(diǎn)F1 F2不重合 求證 與圓F1外切且與圓F2內(nèi)切的圓的圓心C的軌跡為橢圓 見學(xué)生用書P16 處理建議 讓學(xué)生仔細(xì)審題 明確需要解決什么問題 再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)橢圓的定義 尋找 到兩定點(diǎn)的距離之和為定值 的關(guān)系 使問題得以解決 規(guī)范板書 證明 設(shè)圓F1 F2的半徑分別為r1 r2 動(dòng)圓C的半徑為t 依題意有CF1 r1 t CF2 r2 t 消去t得CF1 CF2 r1 r2 一個(gè)大于F1F2的常數(shù) 所以動(dòng)圓圓心C的軌跡是以F 1 F2為焦點(diǎn)的橢圓 題后反思 要證明某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡 可以先考慮動(dòng)點(diǎn)是否滿足圓錐曲線的定義 本題 要緊緊抓住到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓這一定義 變式1 如圖 已知?jiǎng)訄AC與圓F1 F2均外切 圓F1與圓F2相離 試問 動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是 什么曲線 變式1 處理建議 從例2的解法中聯(lián)想思考 尋找動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)是什么 規(guī)范板書 解 雙曲線的一支 證明如下 設(shè)圓F1 F2的半徑分別為r1 r2 r1 r2 動(dòng)圓C的半徑為t 依題意有CF1 r1 t CF2 r2 t 消去t得CF1 CF2 r1 r2 一個(gè)小于F1F2的正數(shù) 所以動(dòng)圓圓心C的軌跡是以F1 F2為焦點(diǎn)的 雙曲線的一支 題后反思 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用圓錐曲線的定義直接得出軌跡 本題還有其他方式的 變式 當(dāng)兩圓相離時(shí) 動(dòng)圓與兩圓均內(nèi)切或與一圓內(nèi)切與另一圓外切 其動(dòng)圓圓心的軌跡均 為雙曲線的一支 變式2 1 動(dòng)圓與圓C1 x 2 y 2 1和C2 x 4 2 y 2 4都外切 則動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲 線的一支 2 動(dòng)圓與圓C1 x 2 y 2 1和C2 x 4 2 y 2 4都內(nèi)切 則動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線的一支 3 動(dòng)圓與圓C1 x 2 y 2 1內(nèi)切 與圓C2 x 4 2 y 2 4外切 則動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線 的一支 4 動(dòng)圓與圓C1 x 2 y 2 1外切 與圓C2 x 4 2 y 2 4內(nèi)切 則動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線 的一支 例3 已知圓F的方程為 x 2 2 y 2 1 動(dòng)圓P與圓F外切且和y軸相切 求證 動(dòng)圓的 圓心P在一條拋物線上運(yùn)動(dòng) 并請(qǐng)寫出這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 處理建議 因?yàn)橐C明圓心P的軌跡是拋物線 所以可引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖找到定點(diǎn)和 定直線 規(guī)范板書 證明 設(shè)圓P的半徑為r 它與y軸相切于T 則PF r 1 PT r 所以PF PT 1 作直線l x 1 PT的延長(zhǎng)線交直線l于A 則PF PA 故點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于它到 直線l的距離 所以點(diǎn)P在以F 2 0 為焦點(diǎn) 直線l x 1為準(zhǔn)線的拋物線上運(yùn)動(dòng) 題后反思 三種圓錐曲線的概念都與距離有關(guān) 橢圓和雙曲線的概念描述的都是點(diǎn)到 點(diǎn)的距離 拋物線的概念描述的是點(diǎn)到點(diǎn)的距離 同時(shí)還有點(diǎn)到線的距離 圓與直線相切 能夠聯(lián)想到拋物線的條件 變式 點(diǎn)P到定點(diǎn)F 2 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1 求點(diǎn)P的軌跡 處理建議 引導(dǎo)學(xué)生考慮本題條件與哪種圓錐曲線的定義一致 規(guī)范板書 解 過點(diǎn)P作PT y軸 垂足為T 所以PF PT 1 作直線l x 1 PT的延 長(zhǎng)線交直線l于A 則PF PA 故點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離 所以點(diǎn)P在以F 2 0 為焦點(diǎn) 直線l x 1為準(zhǔn)線的拋物線上運(yùn)動(dòng) 題后反思 本題依然是屬于動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線的距離 但不相等的問題 關(guān)鍵 是將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系 可以培養(yǎng)學(xué)生類比推理 歸納猜想 轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思維能力 2 四 課堂練習(xí) 1 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 3 0 和F2 3 0 則此雙曲線的焦距為 6 2 已知點(diǎn)A 0 2 B 2 0 動(dòng)點(diǎn)M滿足 MA MB 2a a為正常數(shù) 若點(diǎn)M的軌跡是以A B為焦點(diǎn)的雙曲線 則常數(shù)a的取值范圍為 0 提示 因?yàn)锳B 2 由雙曲線的定義知0 2a 2 即0 aF1F2 則QF1 QO PF1 PF2 m F1F2 F1O 所以點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓 五 課堂小結(jié) 1 圓錐曲線可通過平面截圓錐面得到 當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí) 可得到兩條相交直 線 當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí) 截得的圖形是一個(gè)圓 當(dāng)平面平行于