2011年高考數(shù)學(xué)全國百所名校精粹重組卷（8）試題

名校精華重組數(shù)學(xué)試題 名校精華重組數(shù)學(xué)試題 8 8 第 I 卷 選擇題 共 60 分 一 選擇題 本大題共 12 小題 每小題 5 分 共 60 分 在每小題給出的四個選項中 只 有一項是符合要求的 1 設(shè)全集U是實數(shù)集 R M x x2 4 N x x 3 或x 1 都是U的子集 則圖中陰影 部分所表示的集合是 A x 2 x 1 B x 2 x 2 C x 1 x 2 D x x 2 2 在 ABC 中 A 30 是 sinA 2 1 的 A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 3 如圖 在四邊形 ABCD 中 4 DCBDAB 0 DCBDBDAB 4 DCBDBDAB 則ACDCAB 的值 A 2 B 22 C 4 D 24 4 對于任意的直線l與平面 在平面 內(nèi)必有直線m 使m與l A 平行 B 相交 C 垂直 D 互為異面直線 5 點 P 在曲線 3 2 3 xxy上移動 設(shè)點 P 處切線的傾斜角為 則角 的取值范圍 是 A 0 2 B 0 2 4 3 C 4 3 D 2 4 3 6 已知正方體的外接球的體積是 3 32 則這個正方體的棱長是 A 3 22 B 3 32 C 3 24 D 3 34 7 將 7 個人 含甲 乙 分成三個組 一組 3 人 另兩組各 2 人 不同的分組數(shù)為 a 甲 乙 分在同一組的概率為 P 則 a P 的值分別為 A a 105 P 21 5 B a 105 P 21 4 C a 210 P 21 5 D a 210 P 21 4 8 已知 2 1 a ap a 2 2 2 2 1 x q x R 則 p q 的大小關(guān)系為 A p q B p q C p q D p q 9 當(dāng) 0 x 2 時 函數(shù) x xx xf 2sin sin82cos1 2 的最小值為 A 2 B 32 C 4 D 34 10 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 M 為 AD 中點 O 為側(cè)面 AA1B1B 的中心 P 為側(cè)棱 CC1上 任意一點 那么異面直線 OP 與 BM 所成的角是 A A 90 B 60 C 45 D 30 11 設(shè)函數(shù) 2 1 12 x xf x 0 0 x x 若1 0 xf 則 0 x的取值范圍是 A 1 1 B 1 C 2 0 D 1 1 12 已知 20102008 20062004 1816 1412 108 64 則bcad dc ba A 2008 B 2008 C 2010 D 2010 第 II 卷 非選擇題 共 90 分 二 填空題 本大題共 4 小題 每小題 4 分 共 16 分 13 已知函數(shù) cos f xAx 的圖象如 圖所示 2 23 f 則 0 f 14 已知變量 x y 滿足約束條件1 4 22 xyxy 若目標(biāo)函數(shù) zaxy 其中 0a 僅在點 3 1 處取得最大值 則a的取值范圍為 y f x 第 13 題 圖 2 2 3 7 12 11 12 O y x 15 從集合 1 2 3 0 1 2 3 4 中 隨機選出 4 個數(shù)組成子集 使得這 4 個數(shù)中的任何 兩個數(shù)之和不等于 1 則取出這樣的子集的概率為 16 把正整數(shù)排列成如圖甲三角形數(shù)陣 然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù) 得到如圖乙的三角形數(shù)陣 再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列 得到一個數(shù) 列 n a 若2011 n a 則n 三 解答題 本大題共 6 小題 共 74 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 本小題滿分 12 分 ABC 中 3tantantantan3ABAB I 求 C 的大小 設(shè)角 A B C 的對邊依次為 a b c 若2c 且 ABC 是銳角三角形 求 22 ab 的取值范圍 18 本小題滿分 12 分 一名高二學(xué)生盼望進入某名牌大學(xué)學(xué)習(xí) 不放棄能考入該大學(xué)的 任何一次機會 已知該大學(xué)通過以下任何一種方式都可被錄取 2010 年 2 月國家數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊考試通過 集訓(xùn)隊從 2009 年 10 月省數(shù)學(xué)競賽壹等 獎獲得者中選拔 通過考試進入集訓(xùn)隊則能被該大學(xué)提前錄取 2010 年 3 月自主招生考試通過并且 2010 年 6 月高考分數(shù)達重點線 2010 年 6 月高考達到該校錄取分數(shù)線 該校錄取分數(shù)線高于重點線 該名考生競賽獲省一等獎 自主招生考試通過 高考達重點線 高考達該校分數(shù)線等 事件的概率如下表 事件 省數(shù)學(xué)競獲一等 獎 自主招生考試通 過 高考達重點 線 高考達該校分數(shù) 線 概率0 50 70 80 6 如果數(shù)學(xué)競賽獲省一等獎 該學(xué)生估計自己進入國家集訓(xùn)隊的概率是 0 4 1 求該學(xué)生參加自主招生考試的概率 2 理 求該學(xué)生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望 3 求該學(xué)生被該大學(xué)錄取的概率 19 本小題滿分 12 分 如圖 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC P 為 A1C1的中點 AB BC kPA I 當(dāng) k 1 時 求證 PA B1C II 當(dāng) k 為何值時 直線 PA 與平面 BB1C1C 所成的角的正弦值為 1 4 并求此時二面角 A PC B 的余弦值 20 本小題滿分 12 分 已知等差數(shù)列 n a 為遞增數(shù)列 且 25 a a 是方程 2 12270 xx 的兩根 數(shù)列 n b 的前n項和 1 1 2 nn Tb 1 求數(shù)列 n a 和 n b 的通項公式 2 若 1 3n n n nn b c aa n s 為數(shù)列 n c 的前 n 項和 證明 1 n s 21 本小題滿分 12 分 已知函數(shù) 32 3 2 23 R xxaxxxf 1 若 1xfyPa 為曲線點 上的一個動點 求以點 P 為切點的切線斜率取最小 值時的切線方程 2 若函數(shù) 0 在xfy 上為單調(diào)增函數(shù) 試求滿足條件的最大整數(shù) a 22 本小題滿分 14 分 已知橢圓 22 22 1 0 xy Eab ab 的左 右焦點分別為 21 F F 點P是x軸上方橢 圓E上的一點 且 211 FFPF 1 3 2 PF 2 5 2 PF 求橢圓E的方程和P點的坐標(biāo) 判斷以 2 PF為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系 若點G是橢圓C 22 22 1 0 xy mn mn 上的任意一點 F是橢圓C的一個 焦點 探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系 參考答案 第 I 卷 選擇題 共 60 分 一 選擇題 1 答案 A 解析 圖中陰影部分表示N UM M x2 4 x x 2 或x 2 UM x 2 x 2 N UM 2 x 1 2 答案 B 解析 舉反例 如 A 30 設(shè) A 160 則 sinA sin20 sin30 2 1 則 A 30 不是 sinA 2 1 的充分條件 如果 sinA 2 1 則 A 30 150 即有 A 30 3 答案 C 解析 4 4 DCBDBDAB DCBDAB 解方程組 得2 BD 2 DCAB 又 0 DCBDBDAB AB與DC共線且方向相同 2 DCABDCAB 又 0 CADCBDAB DCBDABAC DCBDABDCABACDCAB BDDCABDCAB 2 BDDCBDABDCAB 2 22 0 0 4 4 答案 C 解析 對于任意的直線l與平面 若l在平面 內(nèi) 則存在直線 m l 若 l不在平面 內(nèi) 且l 則平面 內(nèi)任意一條直線都垂直于l 若l不在平面 內(nèi) 且l于 不垂直 則它的射影在平面 內(nèi)為一條直線 在平面 內(nèi)必有直線m垂 直于它的射影 則m與l垂直 綜上所述 選 C 5 答案 B 解析 y 3x2 1 故導(dǎo)函數(shù)的值域為 1 切線的斜率的取值范圍為 1 設(shè)傾斜角為 則 tan 1 0 0 2 4 3 6 答案 D 解析 根據(jù)球的體積是 3 32 可得球的半徑為 2 而球的直徑 4 就是正方體的 對角線長 從而正方體的棱長為 3 34 7 答案 A 解析 將 7 個人分成三組按要求有 2 2 2 2 2 4 3 7 A CCC 105 種分法 將甲 乙兩人分 在同一組有兩種情況 在三人一組 這時有 2 2 2 2 2 4 1 5 A CCC 種情況 在兩人一組 這時有 3 5 C種情況 21 5 105 3 5 2 2 2 2 2 4 1 5 C A CCC P 8 答案 A 解析 2 2 1 2 2 1 a a a ap 2 2 4 當(dāng)且僅當(dāng) a 3 時 取得等 號 而由于 x2 2 2 故 2 2 2 1 x q 4 2 1 2 當(dāng)且僅當(dāng) x 0 時 取得等號 故 p q 9 答案 C 解析 xx xx xx xx xf cossin cossin4 cossin2 sin8cos2 2222 x x x x tan 1 tan4 tan 1tan4 2 0 x 2 tanx 0 4 tan 1 tan42 tan 1 tan4 x x x x 當(dāng) 2 1 tan x時 f x min 4 故選 C 10 答案 A 解析 運用平行和垂直的有關(guān)知識 11 答案 D 解 圖解法 在同一直角坐標(biāo)系中 作出函數(shù) yf x 的圖象和直線1y 它們相交于 1 1 和 1 1 兩點 由 0 1f x 得 0 1x 或 0 1x 12 答案 A 解析 8 8 28 28 48 288 2848 nnnn nn nn 數(shù)列有 251 項 2008251 8 結(jié)果為 故選 A 第 II 卷 非選擇題 共 90 分 二 填空題 13 答案 2 3 解析 由圖象可得最小正周期為 2 3 所以 2 0 3 ff 注意到 2 3 與 2 關(guān)于 7 12 對稱 故 22 323 ff 14 答案 1 解析 已知變量 x y 滿足約束條件1 4 22 xyxy 在 D C B A 2 1 4 32 1 4 3 2 1 O y x 1 1 1 O y x 坐標(biāo)系 中畫出可行域 如圖為四邊形 ABCD 其中 A 3 1 1 1 ADAB kk 目標(biāo)函數(shù) zaxy 其中 0a 中的 z 表示斜率為 a 的直線系中的 截距的大小 若僅在點 3 1 處取得最大值 則斜率應(yīng)小于 1 AB k 即 1a 所以a的取值范圍為 1 15 答案 8 35 解析 10 1122334 概率為 1 4 2 4 8 8 35 C p C 16 答案 1028 解析 圖乙中第k行有k個數(shù) 第k行最后的一個數(shù)為 2 k 前k行共 有 1 2 k k 個數(shù) 由44 441936 45 452025 知2011 n a 出現(xiàn)在第 45 行 第 45 行第一個數(shù)為 1937 第 2011 1937 138 2 個數(shù)為 2011 所以 44 44 1 381028 2 n 三 解答題 本大題共 6 小題 共 74 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 17 解 1 依題意 tantan 3 1tantan AB AB 即tan 3AB 又0AB 2 3 AB 3 CAB 2 由三角形是銳角三角形可得 2 2 A B 即 62 A 由正弦定理得 sinsinsin abc ABC 4 sinsin sin3 c aAA C 442 sinsin 333 bBA 2222 162 sinsin 33 abAAf A 2222 16 sinsin 3 abAC 16 11 1 cos2 1 cos2 3 22 AC 168 cos2cos2 33 AC 1684 cos2cos 2 333 AA 16813 cos2 cos2 sin2 3322 AAA 168 13 cos2sin2 33 22 AA 168 sin 2 336 A 62 A 5 2 666 A 1 sin 2 1 26 A 即 22 20 8 3 ab 18 解 1 0 50 5 0 60 8P 2 2 3 4 2 0 4 0 50 2 3 0 5 4 0 3PPP 分布列 為 234 P 0 20 50 3 2 0 23 0 54 33 1E 3 設(shè)自主招生通過且高考達重點線錄取 自主招生未通過且高考達該校錄取的事件 分別為 C D 則 0 2 0 8 0 7 0 80 448 0 8 3 0 60 144P ABP CP D 故該學(xué) 生被該大學(xué)錄取的概率為 0 20 4480 1440 792P ABP CP D 19 方法一 I 連接 B1P 因為在直三棱柱 ABC A1B1C1中 P 為 A1C1的中點 AB BC 所以 B1P 面 A1C 所以 B1P AP 又因為當(dāng) k 1 時 AB BC PA PC 90APCABC AP PC AP 平面 B1PC PA B1C II 取線段 AC 中點 M 線段 BC 中點 N 連接 MN MC1 NC1 則 MN AB AB 平面 B1C MN 平面 B1C NMC1 是直線 PA 與平面 BB1C1C 所成的角 即 4 1 sin 1 NMC 4 1 1 AP MN MC MN 設(shè) AB a 2 1 kPAABABMN 2 1 4 1 2 1 k k a a 即 2 1 k時 直線 PA 與平面 BB1C1C 所成的角的正弦值為 4 1 此時 過點 M 作 MH 垂足為 H 連接 BH CABM 1 平面 由三垂線定理得 BH PC 所以BHM 是二面角 A PC B 的平面角 設(shè) AB 2 則 BC 2 PA 4 2 22 1 PAAMAC 在直角三角形中 AA1P 中 14 2 1 2 1 PAAPAA 連接 MP 在直角三角形中 由 2 7 MHHMPCMPMC得 又由2 BM 在直角三角形中 BMH 中 解得 2 15 BH 在直角三角形 BMH 中 15 105 2 15 2 7 cos BH MH MHB 所以二面角 A PC B 的余弦值是 15 105 方法二 以點 B 為坐標(biāo)原點 分別以直線 BA BC BB1為 x 軸 y 軸建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz I 設(shè) AB 2 則 AB BC PA 2 根據(jù)題意得 2 1 1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 PBCA 所以 2 2 0 2 1 1 1 CBAP CBPA CBAP 1 1 0220 II 設(shè) AB 2 則 k AP 2 根據(jù)題意 A 2 0 0 C 0 2 0 又因為 2 2 1 111 CAPA 所以2 4 2 2 1 2 1 k PAAPAA CBAB k AP k P k B 1 2 2 2 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4 0 0 平面 所以由題意得 4 1 cos ABAP 即 4 1 22 4 11 2 4 1 2 k ABAP ABAP 即 2 1 0 解得 k 即 2 1 k時 直線 PA 與平面 BB1C1C 所成的角的正弦值為 4 1 1 APCPB APC平面 的法向量 001 1 PB 設(shè)平面 BPC 的一個法向量為 14 1 1 0 2 0 BPBCzyxn 由 0 0 nBP nBC 得 014 02 zyx y 15 105 215 14 cos 1 1 1 PBn PBn PBn 所以此時二面角 A PC B 的余弦值是 15 105 20 解 由 題意得 25 3 9aa 公差 52 2 52 aa d 2 分 所以 2 2 21 n aandn 4 分 由 1 12 11 23 nn T