2010-2011學年高中數(shù)學 第1章 常用邏輯用語 §1.4　全稱量詞與存在量詞同步精品學案 新人教A版選修2-1

用心 愛心 專心 1 1 4 1 4 全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞 知識點一知識點一 全稱命題與特稱命題的判斷全稱命題與特稱命題的判斷 判斷下列語句是全稱命題 還是特稱命題 1 凸多邊形的外角和等于 360 2 有的向量方向不定 3 對任意角 都有 sin2 cos2 1 4 有些素數(shù)的和仍是素數(shù) 5 若一個四邊形是菱形 則這個四邊形的對角線互相垂直 分析 先看是否有全稱量詞和存在量詞 當沒有時 要結(jié)合命題的具體意義進行判 斷 解 1 可以改寫為所有的凸多邊形的外角和等于 360 故為全稱命題 2 含有存在量詞 有的 故是特稱命題 3 含有全稱量詞 任意 故是全稱命題 4 含有存在量詞 有些 故為特稱命題 5 若一個四邊形是菱形 也就是所有的菱形 故為全稱命題 知識點二知識點二 判斷全稱或特稱命題的真假判斷全稱或特稱命題的真假 試判斷以下命題的真假 1 x R R x2 2 0 2 x N N x4 1 3 x Z Z x30 即x2 2 0 所以命題 x R R x2 2 0 是真命題 2 由于 0 N N 當x 0 時 x4 1 不成立 所以命題 x N N x4 1 是假命題 3 由于 1 Z Z 當x 1 時 能使x3 1 所以命題 x Z Z x3 1 是真命題 4 由于使x2 3 成立的數(shù)只有 而它們都不是有理數(shù) 因此 沒有任何一個有理 3 數(shù)的平方能等于 3 所以命題 x Q Q x2 3 是假命題 知識點三知識點三 全稱或特稱命題的否定全稱或特稱命題的否定 寫出下列命題的否定 并判斷其真假 用心 愛心 專心 2 1 p x R R x2 x 0 1 4 2 q 所有的正方形都是矩形 3 r x R R x2 2x 2 0 4 s 至少有一個實數(shù)x 使x3 1 0 解 1 綈p x R R x2 x 0 真 這是由于 x R R x2 2x 2 x 1 2 1 1 0 成立 4 綈s x R R x3 1 0 假 這是由于x 1 時 x3 1 0 考題賞析考題賞析 1 海南 寧夏高考 已知命題p x R R sinx 1 則 A 綈p x R R sinx 1 B 綈p x R R sinx 1 C 綈p x R R sinx 1 D 綈p x R R sinx 1 解析 命題p是全稱命題 全稱命題的否定是特稱命題 答案 C 2 山東高考 命題 對任意的x R R x3 x2 1 0 的否定是 A 不存在x R R x3 x2 1 0 B 存在x R R x3 x2 1 0 C 存在x R R x3 x2 1 0 D 對任意的x R R x3 x2 1 0 解析 全稱命題的否定是特稱命題 答案 C 1 給出下列幾個命題 至少有一個x0 使x 2x0 1 0 成立 2 0 對任意的x 都有x2 2x 1 0 成立 對任意的x 都有x2 2x 1 0 不成立 存在x0 使x 2x0 1 0 成立 2 0 其中是全稱命題的個數(shù)為 A 1 B 2 C 3 D 0 答案 B 解析 命題 都含有全稱量詞 任意的 故 是全稱命題 2 將 x2 y2 2xy 改寫成全稱命題 下列說法正確的是 用心 愛心 專心 3 A x y R R 都有x2 y2 2xy B x0 y0 R R 使x y 2x0y0 2 02 0 C x 0 y 0 都有x2 y2 2xy D x0 0 y01 D 綈p 對任意x R R 有 cosx 1 答案 C 5 已知命題p x 1 2 x2 a 0 命題q x R R x2 2ax 2 a 0 則命題 p且q 是真命題的充要條件 A a 2 或a 1 B a 2 或 1 a 2 C a 1 D 2 a 1 答案 A 解析 p真即a x2在 1 x 2 范圍內(nèi)恒成立 因x2 1 4 所以a 1 q真等價于 4a2 4 2 a 0 恒成立 即a2 a 2 0 所以a 1 或a 2 要使p且q為真則a的取值范圍為 a 1 或a 2 故選 A 6 命題 n N N m N N 使m2 n 的否定是 答案 n N N m N N 使m2 n 7 將a2 b2 2ab a b 2改寫成全稱命題是 答案 a b R R 使a2 b2 2ab a b 2 8 用符號 與 表示下面的命題 1 實數(shù)的絕對值大于等于 0 2 存在實數(shù)對 使兩數(shù)的平方和小于 1 3 任意的實數(shù)a b c 滿足a2 b2 c2 ab ac bc 解 1 x R R x 0 2 x0 y0 R R 使x y 1 2 02 0 3 a b c R R a2 b2 c2 ab ac bc 9 寫出下列命題的否定 1 若一個四邊形是菱形 則它的四條邊相等 2 被 6 整除的數(shù)能被 4 整除 3 x R R x2 3 0 4 x R R y R R x y 0 解 1 存在一個菱形 它的四條邊不全相等 2 存在被 6 整除的數(shù) 它不能被 4 整除 3 x0 R R x 3 0 2 0 4 x R R y R R x y 0 講練學案部分講練學案部分 用心 愛心 專心 4 1 1 4 14 1 全稱量詞全稱量詞 1 1 4 24 2 存在量詞存在量詞 知識點一知識點一 判斷全稱命題的真假判斷全稱命題的真假 判斷下列全稱命題的真假 1 x x x是有理數(shù) x2是有理數(shù) 2 對所有的正實數(shù)p 為正數(shù) 且p 1 4p 1 2p 3 真命題 反思感悟 要判定一個全稱命題是真命題 必須對集合M中的每個元素x 證明 p x 成立 但要判定全稱命題是假命題 卻只要能舉出集合M中的一個x0 使p x0 不成 立即可 判斷下列全稱命題的真假 1 所有的素數(shù)是奇數(shù) 2 x R R x2 1 1 3 對每一個無理數(shù)x x2也是無理數(shù) 解 1 2 是素數(shù) 但 2 不是奇數(shù) 所以 全稱命題 所有的素數(shù)是奇數(shù) 是假命題 2 x R R 總有x2 0 因而x2 1 1 所以 全稱命題 x R R x2 1 1 是真命題 3 是無理數(shù) 但 2 2 是有理數(shù) 所以 全稱命題 對每一個無理數(shù)x x2也是 22 無理數(shù) 是假命題 知識點二知識點二 特稱命題的真假判斷特稱命題的真假判斷 判斷下列特稱命題的真假 1 有一個實數(shù)x0 使x 2x0 3 0 2 0 2 存在兩個相交平面垂直于同一條直線 3 有些整數(shù)只有兩個正因數(shù) 解 1 由于 x R R x2 2x 3 x 1 2 2 2 因此使x2 2x 3 0 的實數(shù)x不存 在 所以 特稱命題 有一個實數(shù)x0 使x 2x0 3 0 是假命題 2 0 2 由于垂直于同一條直線的兩個平面是互相平行的 因此不存在兩個相交的平面垂直 于同一條直線 所以 特稱命題 存在兩個相交平面垂直于同一條直線 是假命題 3 由于存在整數(shù) 3 只有兩個正因數(shù) 1 和 3 所以特稱命題 有些整數(shù)只有兩個正因數(shù) 是真命題 反思感悟 要判定特稱命題 x0 M p x0 是真命題 只需在集合M中找到 一個元素x0 使p x0 成立即可 如果在集合M中 使p x 成立的元素x不存在 那么這 個特稱命題是假命題 指出下列命題中 哪些是全稱命題 哪些是特稱命題 并判斷真假 1 若a 0 且a 1 則對任意實數(shù)x ax 0 用心 愛心 專心 5 2 對任意實數(shù)x1 x2 若x1 x2 則 tanx1 tanx2 3 T0 R R 使 sin x T0 sinx 4 x0 R R 使x 10 a 0 a 1 恒成立 命題 1 是真命題 2 存在x1 0 x2 x10 命題 4 是假命題 知識點三知識點三 全全 特特 稱命題的判斷稱命題的判斷 判斷下列語句是全稱命題還是特稱命題 1 有一個實數(shù)a a不能取對數(shù) 2 對所有不等式的解集A 都有A R R 3 有的向量方向不定 4 三角形的內(nèi)角和為 180 解 1 特稱命題 2 全稱命題 3 特稱命題 4 全稱命題 因為 1 含有存在量詞 有一個 2 含有全稱量詞 所有 3 含有存在量詞 有的 4 從題意知是指所有 反思感悟 在判斷命題是全稱命題或者特稱命題時 當命題中不含量詞時 要根 據(jù)題意是所有的意思還是存在的意思來判斷 判斷下列語句是全稱命題還是特稱命題 1 實數(shù)的平方大于或等于 0 2 方程ax2 2x 1 0 a3 的表述方法的是 2 0 A 有一個x0 R R 使x 3 2 0 B 有些x0 R R 使x 3 2 0 C 任選一個x R R 使x2 3 D 至少有一個x0 R R 使x 3 2 0 答案 C 解析 任選一個x R R 使x2 3 是全稱命題 不能用符號 表示 故選 C 2 下列命題是真命題的是 A x R R x2 2x 1 0 B x0 R R 0 x0 1 C x N N log2x 0 D x0 R R cosx00 B x Q Q x2 Q Q C x0 Z Z x 1 2 0 D x y R R x2 y2 0 答案 B 解析 A B D 是全稱命題 當x 0 時 x2 0 當x 0 y 0 時 x2 y2 0 因此 A D 為假命題 故選 B 4 下列語句不是全稱命題的是 A 任何一個實數(shù)乘以零都等于零 B 自然數(shù)都是正整數(shù) C 高二 一 班絕大多數(shù)同學是團員 D 每一個向量都有大小 答案 C 解析 高二 一 班絕大多數(shù)同學是團員 即 高二 一 班有的同學不是團員 這 是特稱命題 故選 C 5 給出下列命題 存在實數(shù)x0 使x 1 全等三角形必相似 有些相似三角 2 0 形全等 至少有一個實數(shù)a 使ax2 ax 1 0 的根為負數(shù) 其中特稱命題有 A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 答案 C 用心 愛心 專心 7 解析 是特稱命題 是全稱命題 6 下列命題正確的是 A 對所有的正實數(shù)t 為正且 t tt B 存在實數(shù)x0 使x 3x0 4 0 2 0 C 不存在實數(shù)x 使x4 2 0 答案 B 解析 t 時 此時 t 所以 A 錯 由x2 3x 4 0 得x 1 或x 4 因 1 4t 1 2t 此當x0 1 或x0 4 時 x 3x0 4 0 故 B 正確 由x2 5x 24 0 得x 8 或 2 0 x 3 所以 C 錯 由 x 1 1 得 2 x 0 由x2 4 得x2 所以 D 錯 二 填空題 7 填上適當?shù)牧吭~符號 使下列命題為真命題 1 x R R 使x2 2x 1 0 2 R R 使 cos cos cos 3 a b R R 使方程組Error 有唯一解 答案 1 2 3 8 將下列命題用含有 或 的符號語言來表示 1 任意一個整數(shù)都是有理數(shù) 2 實數(shù)的絕對值不小于 0 3 存在一實數(shù)x0 使x 1 0 3 0 答案 1 x Z Z x Q Q 2 x R R x 0 3 x0 R R x 1 0 3 0 三 解答題 9 判斷下列命題是否是全稱命題或特稱命題 若是 并判斷其真假 1 x0 x0 2 0 2 矩形的對角線互相垂直平分 3 三角形兩邊之和大于第三邊 4 有些素數(shù)是奇數(shù) 解 1 特稱命題 真命題 2 全稱命題 假命題 3 全稱命題 真命題 4 特稱命題 真命題 10 試用不同的表述寫出全稱命題 矩形都是正方形 解 所有的矩形都是正方形 一切矩形都是正方形 每一個矩形都是正方形 任一個 矩形都是正方形 凡是矩形都是正方形 1 4 31 4 3 含有一個量詞的命題的否定含有一個量詞的命題的否定 知識點一知識點一 全稱命題的否定全稱命題的否定 寫出下列全稱命題的否定 1 p x 1 log2x 0 2 p T 2k k Z Z sin x T sinx 3 p 直線l 平面 則對任意l l l 用心 愛心 專心 8 解 1 綈p x0 1 log2x0 0 2 綈p T0 2k k Z Z sin x T0 sinx 3 綈p 直線l 平面 則 l l與l 不垂直 反思感悟 全稱命題 x M p x 的否定是 x0 M 綈p x0 全稱命題 的否定是特稱命題 寫出下列命題的否定 并判斷其真假 1 p 不論m取何實數(shù) 方程x2 mx 1 0 必有實數(shù)根 2 p 菱形的對角線互相垂直 3 p 三角形的內(nèi)角和為 180 解 1 這一命題可表述為p 對任意的實數(shù)m 方程x2 mx 1 0 必有實數(shù)根 其否 定為綈p 存在一個實數(shù)m 使方程x2 mx 1 0 沒有實數(shù)根 因為該方程的判別式 m2 4 0 恒成立 故綈p為假命題 2 綈p 有的菱形對角線不垂直 顯然綈p為假命題 3 綈p 三角形的內(nèi)角和不全為 180 或存在一個三角形 其內(nèi)角和不等于 180 顯然綈p為假命題 知識點二知識點二 特稱命題的否定特稱命題的否定 寫出下列特稱命題的否定 1 p x0 1 使x 2x0 3 0 2 0 2 p 若an 2n 10 則 n N N 使Sn1 x2 2x 3 0 2 綈p 若an 2n 10 則對 n N N 有Sn 0 3 綈p a b是異面直線 則 A a B b 有AB不與a垂直 或不與b垂直 反思感悟 特稱命題 x0 M p x0 的否定是 x M 綈p x 特稱命題 的否定是全稱命題 遇到 且 命題否定時變?yōu)?或 命題 遇到 或 命題否定時變?yōu)?且 命題 寫出下列命題的否定 并判斷其真假 1 p 有些三角形的三條邊相等 2 p 存在一個四邊形不是平行四邊形 3 p x0 R R 3x00 對于任意x R R 恒成立 并說明理由 2 若存在一個實數(shù)x0 使不等式m f x0 0 成立 求實數(shù)m的取值范圍 分析 可考慮用分離參數(shù)法 轉(zhuǎn)化為m f x 對任意x R R 恒成立和存在一個實數(shù) x0 使m f x0 成立 解 1 不等式m f x 0 可化為m f x 即m x2 2x 5 x 1 2 4 用心 愛心 專心 9 要使m x 1 2 4 對于任意x R R 恒成立 只需m 4 即可 故存在實數(shù)m 使不等式m f x 0 對于任意x R R 恒成立 此時 只需m 4 2 不等式m f x0 0 可化為m f x0 若存在一個實數(shù)x0 使不等式m f x0 成立 只需m f x min 又f x x 1 2 4 f x min 4 m 4 所以 所求實數(shù)m的取值范圍是 4 反思感悟 對任意的實數(shù)x a f x 恒成立 只需a f x max 若存在一個實數(shù)x0 使a f x0 成立 只需a f x min 若方程 cos2x 2sinx a 0 有實數(shù)解 求實數(shù)a的取值范圍 解 cos2x 2sinx a 0 a 2sin2x 1 2sinx 2 sin2x sinx 1 a 2 sinx 2 1 2 3 2 又 1 sinx 1 2 sinx 2 3 3 2 1 2 3 2 故當 a 3 時 方程a 2 sinx 2 有實數(shù)解 所以 所求實數(shù)a的取值范圍 3 2 1 2 3 2 是 3 3 2 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1 全稱命題和特稱命題的否定 其模式是固定的 即相應(yīng)的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹?詞 存在量詞變?yōu)槿Q量詞 具有性質(zhì) p 變?yōu)榫哂行再|(zhì)瘙 綈 p 2 實際應(yīng)用中 若從正面證明全稱命題 x M p x 不容易 可證其反面 x M x0 M 綈 p x0 是假命題 反之亦然 一 選擇題 1 a和b都不是偶數(shù) 的否定形式是 A a和b至少有一個是偶數(shù) B a和b至多有一個是偶數(shù) C a是偶數(shù) b不是偶數(shù) D a和b都是偶數(shù) 答案 A 解析 在a b是否為偶數(shù)的四種情況中去掉a和b都不是偶數(shù)還有三種情況 即a 偶b奇 a奇b偶 a偶b偶 故選 A 2 命題 某些平行四邊形是矩形 的否定命題是 A 某些平行四邊形不是矩形 B 任何平行四邊形是矩形 C 每一個平行四邊形都不是矩形 D 以上都不對 答案 C 解析 特稱命題的否定是把存在量詞變?yōu)槿Q量詞 然后否定結(jié)論 所以選 C 3 命題 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y x對稱 的否定是 用心 愛心 專心 10 A 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y x對稱 B 原函數(shù)不與反函數(shù)的圖象關(guān)于y x對稱 C 存在一個原函數(shù)與反函數(shù)的圖象不關(guān)于y x對稱 D 存在原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y x對稱 答案 C 解析 要把隱含的全稱量詞找出變?yōu)榇嬖诹吭~ 然后否定結(jié)論 4 命題 有的函數(shù)沒有解析式 的否定是 A 有的函數(shù)有解析式 B 任何函數(shù)都沒有解析式 C 任何函數(shù)都有解析式 D 多數(shù)函數(shù)有解析式 答案 C 5 將a2 b2 2ab a b 2改寫成全稱命題是 A a b R R 使a2 b2 2ab a b 2 B a0 使a2 b2 2ab a b 2 C a 0 b 0 使a2 b2 2ab a b 2 D a b R R 使a2 b2 2ab a b 2 答案 D 解析 因a2 b2 2ab a b 2本身隱含著對任意的實數(shù)a b等式都成立 等式本身 就是一個全稱命題 只是沒用量詞表達 6 以下三個命題 R R 在 上函數(shù)y sinx都能取到最大值 1 若 a R R 且a 0 f x a f x 對 x R R 成立 則f x 為周期