【精品】高三數(shù)學(xué) 3.1導(dǎo)數(shù)的概念(第一課時(shí))大綱人教版選修VIP

1 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 3 1 3 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 課時(shí)安排課時(shí)安排 4 課時(shí) 從容說(shuō)課從容說(shuō)課 導(dǎo)數(shù)的概念 是導(dǎo)數(shù)與微分的一個(gè)重要的概念 它是在函數(shù)的極限基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的 應(yīng)該講是一個(gè)很抽象的概念 如何才能使學(xué)生從這個(gè)抽象的概念中走出來(lái)呢 首先 教師 應(yīng)精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容 多從實(shí)例導(dǎo)入 運(yùn)用極限的定義解決實(shí)際問(wèn)題 讓學(xué)生有了感性認(rèn) 識(shí) 對(duì)函數(shù)的極限有了興趣 其次 要借助現(xiàn)代教學(xué)手段 如多媒體課件 實(shí)物投影 讓 靜的問(wèn)題動(dòng)起來(lái) 讓抽象的問(wèn)題具體化 實(shí)物化 第三 讓學(xué)生帶著問(wèn)題走近課堂 教師 在設(shè)計(jì)教案時(shí)應(yīng)多角度多層次地考慮 要選取重要而又實(shí)用的生活實(shí)例或在其他學(xué)科實(shí)際 應(yīng)用的實(shí)例 讓學(xué)生嘗試到成功的歡愉 深感學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的重要性 同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生深入思 考問(wèn)題的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣 第四 對(duì)于新學(xué)的概念 導(dǎo)數(shù)要進(jìn)行建構(gòu)式的教學(xué)方式 讓 學(xué)生在做中學(xué)數(shù)學(xué) 讓學(xué)生真正地主動(dòng)建構(gòu) 而不是被動(dòng)地接受 只有通過(guò)以上各條措施 學(xué)生才能真正地感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值和學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的意義 才能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的美是潛在的 第一課時(shí) 課課 題題 3 1 1 導(dǎo)數(shù)的概念 一 曲線的切線 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 一 教學(xué)知識(shí)點(diǎn)一 教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1 曲線在一點(diǎn)處的切線的概念 2 曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的概念 二 能力訓(xùn)練要求二 能力訓(xùn)練要求 1 掌握用割線的極限位置上的直線來(lái)定義切線的方法 2 理解曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的概念 并會(huì)求一曲線在具體一點(diǎn)處的切線的斜率 與切線方程 三 德育滲透目標(biāo)三 德育滲透目標(biāo) 1 培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力 以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 2 培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的眼光去理解問(wèn)題的能力 3 培養(yǎng)學(xué)生在對(duì)待科學(xué)知識(shí)上要有豁達(dá)的心態(tài) 科學(xué)知識(shí)是世界通用的 教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 理解曲線在一點(diǎn)處的切線的定義 以及曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義 光滑曲線的 切線斜率是了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景 教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn) 在理解曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的基礎(chǔ)上 根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的極限知識(shí) 會(huì)求一條具 體的曲線 給出曲線方程 在某一點(diǎn)處的切線斜率 教學(xué)方法教學(xué)方法 發(fā)現(xiàn)法 通過(guò)多媒體進(jìn)行演示 當(dāng) Q 點(diǎn)向 P 點(diǎn)靠近時(shí) 觀察 PQ 這條直線的位置 讓學(xué)生自己 通過(guò)所學(xué)的極限知識(shí)來(lái)定義切線和切線的斜率 教具準(zhǔn)備教具準(zhǔn)備 多媒體 2 做兩張圖 第一張就是書上的圖 3 1 1 第二張是書上的圖 3 1 2 但它能夠演示 Q 運(yùn)動(dòng)時(shí) PQ 直線的位置變化 并顯示直線 PQ 的極限位置 即曲線在點(diǎn) P 處的切線 教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程 課題導(dǎo)入 師 食品店里的罐裝汽水 可樂(lè) 啤酒等 不少是圓柱形鋁罐頭 如果要使容積不變 什么情況下用的材料最省 或者有時(shí)在生產(chǎn)和科研中 會(huì)碰到什么條件下 所用的時(shí)間最 少 或效率最高等問(wèn)題 我們可以把這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題 也就是歸結(jié)為求函數(shù)的最大 值 最小值問(wèn)題 我們以前也學(xué)過(guò)求一些特殊函數(shù) 如直線 拋物線等 的最大值 最小值的 方法 但一些很復(fù)雜的函數(shù)呢 有什么簡(jiǎn)便的方法嗎 這就是我們第三章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容 導(dǎo) 數(shù)與微分 講授新課 師 導(dǎo)數(shù)與微分是解決函數(shù)的最大 最小值問(wèn)題的有力工具 導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí)形成 一門學(xué)科 就是我們通常所說(shuō)的微積分 微積分除了解決最大 最小值問(wèn)題 還能解決一些 復(fù)雜曲線的切線問(wèn)題 導(dǎo)數(shù)的思想最初是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬 Fermat 為解決極大 極小值問(wèn)題 而引入的 但導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)中最主要的概念 卻是英國(guó)科學(xué)家牛頓 Newton 和德國(guó)數(shù)學(xué)家 萊布尼茨 Leibniz 分別在研究力學(xué)與幾何學(xué)過(guò)程中建立的 微積分能成為獨(dú)立的學(xué)科并給整個(gè)自然科學(xué)帶來(lái)革命性的影響 主要是靠了牛頓和萊 布尼茨的工作 但遺憾的是他們之間發(fā)生了優(yōu)先權(quán)問(wèn)題的爭(zhēng)執(zhí) 其實(shí) 他們差不多是在相同的 時(shí)間相互獨(dú)立地發(fā)明了微積分 方法類似但在用語(yǔ) 符號(hào) 算式和量的產(chǎn)生方式上稍有差異 牛頓在 1687 年以前沒(méi)有公開發(fā)表 萊布尼茨在 1684 年和 1686 年分別發(fā)表了微分學(xué)和積分 學(xué) 所以 就發(fā)明時(shí)間而言 牛頓早于萊布尼茨 就發(fā)表時(shí)間而言 萊布尼茨則早于牛頓 關(guān)于誰(shuí)是微積分的第一發(fā)明人 引起了爭(zhēng)論 而我們現(xiàn)在所用的符號(hào)大多數(shù)都是萊布尼茨發(fā) 明的 而英國(guó)認(rèn)為牛頓為第一發(fā)明人 拒絕使用萊布尼茨發(fā)明的符號(hào) 因此 使自己遠(yuǎn)離了 分析的主流 所以在科學(xué)上 要持有豁達(dá)的心態(tài) 科學(xué)知識(shí)是沒(méi)有國(guó)界的 是世界通用的 不能因 為偏見而拒絕使用 這樣只能阻礙科學(xué)進(jìn)步 我們首先來(lái)看一下導(dǎo)數(shù)的概念中的第一小節(jié) 曲線的切線 板書 一 曲線的切線 師 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓與圓錐曲線 那么它們的切線是如何定義的 生 與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)并且位于曲線一邊的直線叫切線 板書 圖 3 1 也可以畫在多媒體課件上 師 我們來(lái)看這張圖 l1與曲線 C 有一個(gè)公共點(diǎn) 但不在曲線 C 的一邊 l2與曲線 C 有兩個(gè)公共點(diǎn) 也不在曲線 C 的一邊 而 l1不是曲線 C 在 M 點(diǎn)的切線 l2卻是曲線 C 在 N 點(diǎn)處的切線 所以用我們以前學(xué)的切線的定義就不適合了 3 圖 3 2 打開多媒體的第一張圖 師 看這張圖 已知曲線 C 是函數(shù) y f x 的圖象 P 是曲線上一點(diǎn) 坐標(biāo)為 x0 y0 在 P 的附近取一點(diǎn) Q 坐標(biāo)為 x0 x y0 y 過(guò) P 作 MP x 軸 MQ y 軸 設(shè)割線 PQ 的 傾斜角為 那么 MP MQ 傾斜角的正切值之間有什么關(guān)系 用 x y 表示 板書 生 MP x MQ y x y MP MQ tan 師 那割線 PQ 的斜率為多少 板書 生 割線 PQ 的斜率是 x y 師 現(xiàn)在 P 不動(dòng) Q 沿著曲線運(yùn)動(dòng) 并且無(wú)限地向點(diǎn) P 靠近 再來(lái)觀察 Q 運(yùn)動(dòng)的 情況 打開多媒體的第二張圖 師 點(diǎn) Q 沿著曲線向點(diǎn) P 無(wú)限接近時(shí) 也就是說(shuō) x 0 這時(shí)這條割線 PQ 我們把它 稱為直線 PT 它是一條什么樣的直線 生 直線 PT 就是在 P 點(diǎn)處的切線 師 我們是通過(guò)運(yùn)動(dòng)的方式來(lái)得到切線的 那能不能根據(jù)這種過(guò)程來(lái)定義切線呢 把直線 PT 叫做割線 PQ 的極限位置 生 當(dāng)點(diǎn) Q 沿著曲線無(wú)限接近 P 點(diǎn)時(shí) 割線 PQ 的極限位置是直線 PT 叫做曲線 在點(diǎn) P 處的切線 師 大概意思對(duì)了 那我們現(xiàn)在把它完整地寫出來(lái) 板書 1 切線 曲線 C y f x 上有兩點(diǎn) P x0 y0 Q x0 x y0 y 當(dāng)點(diǎn) Q 沿著曲線無(wú)限接近于點(diǎn) P 即 x 0 時(shí) 如果割線 PQ 有一個(gè)極限位置 PT 那么直線 PT 叫做曲線在點(diǎn) P 處的切線 師 那切線 PT 的斜率如何定義呢 也可以用極限 生 割線 PQ 的斜率的極限 就是曲線在點(diǎn) P 處的切線的斜率 板書 2 切線的斜率 設(shè)切線 PT 的傾斜角為 那么當(dāng) x 0 時(shí) 割線 PQ 的斜率的極限 就是曲線在點(diǎn) P 處的切線的斜率 即 x xfxxf x y xx limlimtan 00 00 4 師 我們可以從運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)得到切線 所以可以用極限來(lái)定義切線 以及切線的 斜率 那么以后如果我們碰到一些復(fù)雜的曲線 也可以求出它在某一點(diǎn)處的切線了 下面我們 來(lái)看一下具體的例子 圖 3 3 3 課本例題 例 如圖 3 3 曲線的方程為 y x2 1 求此曲線在點(diǎn) P 1 2 處的切線的斜率以及方程 解 x xfxxf k x lim 00 0 2 2 lim 2 lim 11 1 1 lim 1 1 lim 0 2 0 22 0 0 x x xx x x x fxf x x x x 切線的斜率為 2 切線的方程為 y 2 2 x 1 即 y 2x 4 精選例題 例 1 求曲線 f x x3 2x 1 在點(diǎn) 1 4 處的切線方程 學(xué)生板演 解 x xfxxf k x lim 00 0 5 25 lim 35 lim 1121 1 1 2 1 lim 1 1 lim 2 0 32 0 33 0 0 xx x xxx x xx x fxf x x x x 切線的方程為 y 4 5 x 1 即 y 5x 1 例 2 求曲線 f x x3 x2 5 在 x 1 處的切線的傾斜角 3 1 5 學(xué)生分析 要求切線的傾斜角 也要先求切線的斜率 再根據(jù)斜率 k tan 求出傾斜 角 學(xué)生板演 解 x xfxxf x limtan 00 0 1 1 3 1 lim 3 1 lim 51 3 1 5 1 1 3 1 lim 1 1 lim 2 0 3 0 23 0 0 x x xx x xx x fxf x x x x 0 4 3 切線的傾斜角為 4 3 例 3 求曲線 y sinx 在點(diǎn) 處的切線方程 2 1 6 解 x x x fxf k xx 6 sin 6 sin lim 6 6 lim 00 2 3 2 3 01 2 1 2 3 2 2 2 sin lim 2 1 2 3 2 sin2 lim 2 1 sin lim 2 31cos 2 1 lim 2 1 sin 2 3 cos 2 1 lim 2 2 0 2 0 00 0 x x x x x x x x x x xx x x xx x 切線方程是 6 2 3 2 1 xy 6 即 2 1 12 3 2 3 xy 例 4 y x3在點(diǎn) P 處的切線斜率為 3 求點(diǎn) P 的坐標(biāo) 解 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo) x0 x03 x xfxxf x lim3 00 0 33 lim 33 lim lim 2 0 2 0 0 32 0 2 0 0 3 0 3 0 0 xxxx x xxxxx x xxx x x x 3x02 3 x0 1 P 點(diǎn)的坐標(biāo)是 1 1 或 1 1 課堂練習(xí) 1 已知曲線 y 2x2上一點(diǎn) A 1 2 求 1 點(diǎn) A 處的切線的斜率 2 點(diǎn) A 處的切線方程 解 1 x fxf k x 1 1 lim 0 4 24 lim 24 lim 12 1 2 lim 0 2 0 22 0 x x xx x x x x x 點(diǎn) A 處的切線的斜率為 4 2 點(diǎn) A 處的切線方程是 y 2 4 x 1 即 y 4x 2 2 求曲線 y x2 1 在點(diǎn) P 2 5 處的切線方程 解 x fxf k x 2 2 lim 0 4 24 lim 24 lim 1 2 1 2 lim 0 2 0 22 0 x x xx x x x x x 切線方程是 y 5 4 x 2 即 y 4x 3 師 求切線的斜率與方程 主要轉(zhuǎn)化為求極限 碰到三角函數(shù)時(shí) 要記住重要的極 限 要從切線的斜率的定義出發(fā) 1 sin lim 0 x x x 課時(shí)小結(jié) 學(xué)生總結(jié) 7 這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了曲線在一點(diǎn)處的切線以及切線的斜率的概念 要學(xué)會(huì)利用求極限來(lái)得 到切線的斜率以及方程 課后作業(yè) 一 課本 P114習(xí)題 3 1 6 7 二 1 預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本 P109 110瞬時(shí)速度 2 預(yù)習(xí)提綱 1 位移公式 物體的運(yùn)動(dòng)方程 2 位置增量 物體的位移 3 在一段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度 4 物體在時(shí)刻 t 的瞬時(shí)速度 板書設(shè)計(jì)板書設(shè)計(jì) 3 1 1 導(dǎo)數(shù)的概念 一 曲線的切線 1 切線 曲線 C y f x 上有兩點(diǎn) P x0 y0 Q x0 x y0 y 當(dāng)點(diǎn) Q 沿著曲線無(wú)限接近于 點(diǎn) P 即 x 0 時(shí) 如果割線 PQ 有一個(gè)極限位置 PT 那么直線 PT 叫做曲線在點(diǎn) P 處的 切線 2 切線的斜率 設(shè)切線 PT 的傾斜角為 那么當(dāng) x 0 時(shí) 割線 PQ 的斜率的極限 就是曲線在點(diǎn) P 處的切線的斜率 即 x xfxxf x limtan 00 0 課本例題 例 曲線方程