高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合習(xí)題

1 1 若對任意x R 不等式 xax 恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 C A 1a B 1a C 1a D 1a 2 若圓 22 44100 xyxy 上至少有三個不同點(diǎn)到直線l 0axby 的距離為 2 2 則直線l的傾斜角的取值范圍是 5 12 12 3 在下列四個函數(shù)中 滿足性質(zhì) 對于區(qū)間 1 2 上的任意 1212 x x xx 1221 f xf xxx 恒成立 的只有 A A 1 f x x B f xx C 2xf x D 2 f xx 4 若直線kxy 與曲線 2 1yx 恰有一個公共點(diǎn) 則k的取值范圍是 2 k或 1 1 4 kxy 表示一組斜率為 1 的平行直線 2 1yx 表示 y 軸的右半圓 如圖可知 簡要評述 數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用 此題 可以進(jìn)一步拓展 2 1yx 2 1xy 等 5 若關(guān)于 x 的方程有四個不相等的實(shí)根 則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 2 45xxm 15m 題型解析題型解析 例例 1 方程 sin2x sinx 在區(qū)間 0 2 解的個數(shù)為 y A 1 B 2 C 3 D 4 g o f x 分析 解方程 f x g x 的問題歸結(jié)為兩個函數(shù) y f x 與 y g x 的交點(diǎn)橫坐標(biāo) 特別是求方程近似解時此方法非常有效 2 解 如圖 在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出 y sin2x x 0 2 g sinx x 0 2 的圖有三個 交點(diǎn) 故方程 sin2x sinx 在 0 2 內(nèi)有三個解 一般情況下將方程化為一端為曲線 一端為動直線時 解題較為簡單 考查邏輯思維能 力與計算能力 還體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化和分類討論的思想 練習(xí)練習(xí) 設(shè) f x 是定義在 R 上以 2 為周期的函數(shù) 對于 K Z 用 k Z表示區(qū)間 2k 1 2k 1 已知 x 0 Z時 有 f x 2 x 1 求 f x 在 k Z上的解析式 2 對于自然數(shù) K 求集合 K M a 使方程 f x ax 在 k Z上有兩個不相等的實(shí)根 解 1 如右圖 從圖形可以看出 f x 2 2 xk y 2 如下圖 由 f x ax x k Z 得 2 2 xk ax o x 即 2 x 4k a x 4 2 k 0 考察函數(shù) f x 2 x 4k a x 4 2 k x 2k 1 2k 1 的圖 象位置 依題意該函數(shù)圖象在 2k 1 2k 1 內(nèi)必與 x 軸有兩個不同交點(diǎn) 則有 0 y f 2k 1 0 f 2k 1 0 2k 2k 1 4k a 2 2k 1 o 2k 1 2k 1 x 從中解得 0 a 1 2k 1 k N 故 K M a 0 a 1 2k 1 k N 例例 2 已知三點(diǎn) 12 15 2 43 0 AmB mC mmm 問 m 為何值時 dABBC 最小 并求最小值 分析 根據(jù)三個點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)可知 它們在坐標(biāo)系中是從左到右依次排列的 當(dāng)且 僅當(dāng)它們共線時 dABBC 最小 解 依題意知 當(dāng)三點(diǎn)共線時dABBC 最小 此時 ABBC kk 523 1 1 AB mm k mm 435 42 21 BC m km mm 3 42 m m m 3 解得 3 4 m 舍去 或1m 1m 此時三個點(diǎn)分別為 13 2 5 3 7 ABC 22 73 3 1 2 5dABBCAC 練習(xí) 練習(xí) 已知點(diǎn) 35 M 在 y 軸和直線yx 上分別找一點(diǎn) P 和 N 使得MNP 的周長最 小 分析 作點(diǎn) 35 M 關(guān)于 y 軸和直線yx 的對稱點(diǎn) 12 MM 則 1 MPM P 2 MNM N 所以MNP 的周長等于 12 M PPNM N 當(dāng)且僅當(dāng) 12 MMP 三點(diǎn)共線時取最小值 所以點(diǎn)PN 應(yīng)為直線 12 M M和 y 軸與直線yx 的 交點(diǎn) 解 作點(diǎn) 35 M 關(guān)于 y 軸和直線yx 的對稱點(diǎn) 12 MM 則點(diǎn) 12 MM 的坐標(biāo)分別為 35 5 3 由兩點(diǎn)式得 53 3553 yx 整理得4170 xy 即為直線 12 M M的方程 易得它和 y 軸和直線yx 的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 1717 17 0 455 即使得MNP 周長最小的點(diǎn) P 和 N 的坐標(biāo)分別為 1717 17 0 455 評注 本題利用對稱思想為線段找到了 替身 從而將問題轉(zhuǎn)化成了兩點(diǎn)之間線段最 短的問題 例例 3 已知點(diǎn) P ab 在直線10mxy 上 且 22 21aba 的最小值為2 求 m 的值 解 2222 21 1 abaab 它是點(diǎn) P ab 和點(diǎn) 10 之間的距離 它的最小值就是點(diǎn) 10 到直線 4 10mxy 的距離 由點(diǎn)到直線的距離公式可得 2 1 2 1 m m 平方得 22 2122mmm 整理得 2 1 0m 1m 評注 本題通過挖掘代數(shù)式的幾何意義 將點(diǎn)點(diǎn)距轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)線距 這種以距離為背 景的題型時有出現(xiàn) 請同學(xué)們注意訓(xùn)練和總結(jié) 練習(xí)練習(xí) 求點(diǎn) 14 P 到直線 1 2 50lmxm ym 的距離d的最大值 分析 對直線方程 1 2 50mxm ym 整理后 我們會發(fā)現(xiàn)它表示過定點(diǎn) 12 Q 的一條直線 因?yàn)辄c(diǎn)線之間垂線段最短 所以dPQ 當(dāng)且僅當(dāng)PQl 時取等 號 即此時d取得最大值PQ 解 1 2 50mxm ym 可化為25 1 0 xym xy 它表示過直線250 xy 和10 xy 交點(diǎn)的直線 解方程組 250 10 xy xy 得兩直線交點(diǎn)為 12 Q 即直線l恒過定點(diǎn) 12 Q 當(dāng)PQl 時d取最大值PQ 22 1 1 42 2 2PQ d的最大值為2 2 例例 4 已知 a2 a b 求證 分析與解 讀完題目與任何一個圖形似乎很難聯(lián)系起來 我們在對已知條件的分析 中 去尋覓解題的靈感 5 a2 a b 即為 b a a2 要證 b 那么 a 與 k 如何取得聯(lián)系呢 令 這樣一來 一個二次函數(shù)的圖形出現(xiàn)了 它對解題有幫助 嗎 二次函數(shù) g a 的圖象的對稱軸為上單調(diào)遞增 又 b g a 反思 在分析已知條件時找到了一個能夠幫助我們解決問題的圖形 而正是這個圖形 的啟示 以后的思路暢通無阻了 數(shù)形結(jié)合 發(fā)生在解題過程中的任何時刻 我們絕不是刻意地去追求或精心地去構(gòu)造直觀 的幾何圖形 而這個在解題時十分有用的直觀圖往往總是在對問題透徹了解之后突然出現(xiàn) 的 這就是解題中的靈感 例例 5 已知實(shí)數(shù) a b 滿足 a b 1 求證 a 3 2 b 4 2 2 思考與分析 本題看似一不等式證明題 但是我們通過分析 不等式左端是距離的平 方的形式 由已知條件 我們可以把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的位置關(guān)系 進(jìn)而由點(diǎn)到直線 的距離公式求解 證明 不等式左端可視為點(diǎn) P a b 到點(diǎn) Q 3 4 的距離的平方 而點(diǎn) P a b 可看作直線 l x y 1 上的任意 一點(diǎn) 于是問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn) P 在直線 l 上什么位置時線段 PQ 最短 當(dāng)然是 PQ l 時點(diǎn) Q 到 l 的距離最短 所以如下圖 反思 本題我們主要是利用點(diǎn)到直線的距離公式的幾何意義解題 6 練習(xí)練習(xí) 已知 a b c 為正實(shí)數(shù) 求證 2 a b c 22 ab 22 bc 22 ca 2 a b c 分析 由欲證不等式中的 22 ab 聯(lián)想到勾股定理 D a b c C 把 22 ab 看作邊長分別為 a b 的矩形的對角線 因此 我們 c 可以構(gòu)造如圖所示的圖形 以 a b c 為邊構(gòu)成正方形 ABCD b 則 AC 2 a b c AE 22 ab EF 22 bc FC 22 ca A B 而 AC AE EF FC AD CD 所以有 2 a b c 22 ab 22 bc 22 ca 2 a b c 注 觀察 聯(lián)想是構(gòu)造圖行 創(chuàng)新解題的關(guān)鍵 注 有些題目若按常規(guī)的代數(shù)解法需要討論 比較煩瑣且易產(chǎn)生遺漏現(xiàn)象 我們這樣構(gòu) 造利用圖象分析 得出答案非常直觀簡潔 例例 6 6 不等式 2 4axxx 的解集是 0 4 則a的取值范圍是 A 0a B 4a C 0a D 0a 分析 分別作出yax 與 2 4yxx 的圖象 從圖象上很容易得到結(jié)論 解 令yax 2 4yxx 04 x yax 是過原點(diǎn)且斜率為a的直線 2 4yxx 04 x 是圓心在 2 0 半徑為 2 2 的圓在x軸及x軸上方的部分 不等式 2 4xxax 的幾何意義是半圓在 0 4 上恒處于直線的上方 如圖 可知0a 是 上述結(jié)論成立 a的取值范圍是0a 選 C y 2 x 7 綜合自測綜合自測 1 設(shè) bababa 則 62 22 R 的最小值是 3 2 設(shè)奇函數(shù) f x 的定義域?yàn)?0 0 且在 0 上單調(diào)遞增 f 1 0 則不等式 的解集是 1 0 2 f x x 2 解析 由已知畫出 y f x 的圖象可知 當(dāng) x 1 0 1 時 f x 0 當(dāng) x 1 0 1 時 f x 0 又 2 1111 1 241616 x xx 成立 則必有 1 0 2 f x x 0 x x 2 1 1 解之得 4 171 x 0 或 2 1 x 4 171 3 拋物線 2 2yx 上的點(diǎn) P 到直線4yx 有最短的距離 則 P 的坐標(biāo)是 解析解析 1 設(shè)直線yxm 與 2 2yx 相切 聯(lián)立整理得 22 2 1 0 xmxm 由 22 4 1 40mm 得 1 2 m 這時得切點(diǎn) 1 2 1 4 設(shè)F為拋物線 2 4yx 的焦點(diǎn) A BC 為該拋物線上三點(diǎn) 若FA FBFC 0 則 FAFBFC 6 5 已知向量 2 0 OB 向量 2 2 OC 向量 2cos 2sin CA 則向量 OA 與向量OB 的夾角的取值范圍是 答案 1 由 2cos 2sin CA 知點(diǎn) A 在以 C 2 2 為圓心 2為半徑的圓周上 如圖 過原點(diǎn) O 作 圓 C 的切線 OA A為切點(diǎn) 由2 2OC 2AC 知 6 AOC 有 4612 AOB y 1O1x 8 過點(diǎn) O 作另一切線 OA A為切點(diǎn) 則 5 4612 A OB 5 12 12 6 直線 2yk 與曲線 2222 918k xykx kR 且k0 的公共點(diǎn)的個數(shù)為 4 7 關(guān)于 x 的方程 222 1 1 0 xxk 給出下列四個命題 存在實(shí)數(shù) k 使得方程恰有 2 個不同的實(shí)根 存在實(shí)數(shù) k 使得方程恰有 4 個不同的實(shí) 根 存在實(shí)數(shù) k 使得方程恰有 5 個不同的實(shí)根 存在實(shí)數(shù) k 使得方程恰有 8 個不同的實(shí) 根 其中假命題的個數(shù)是 設(shè) 2 1ux 化原式為 2 uuk 畫出函數(shù) 2 yuu 的圖象 看使 u 1 的解的個數(shù) 可知假命題的個數(shù)為 0 8 對 Rba 記則 bab baa ba max 則函數(shù) max1 2f xxxxR 的最小值是 解析 由 2 1 2121 22 xxxxx 1 1 2 1 2 2 xx f x xx 如右圖 min 13 22 fxf 9 如果實(shí)數(shù) x y 滿足 32 2 yx 那么 x y 的最大值是 如圖 聯(lián)結(jié)圓心 C 與切點(diǎn) M 則由 OM CM 又 Rt OMC 中 OC 2 CM 3 所以 OM 1 得 3 OM MC x y O M C y x y x 1 y x 2 y 1 2ox 9 10 求函數(shù) x2 x1 y 2 的最大值 解 由定義知 1 2 x 0 且 2 x 0 1 x 1 故可設(shè) x cos 0 則有 2 cos 0sin 2cos sin y 可看作是動點(diǎn) M cos sin 0 與定點(diǎn) A 2 0 連線的斜率 而動點(diǎn) M 的軌跡方程 siny cosx 0 即 22 1xy y 0 1 是半圓 設(shè)切線為 AT T 為切點(diǎn) OT 1 OA 2 3 1 kAT 0 kAM 3 1 即函數(shù)的值域?yàn)?0 3 3 故最大值為 3 3 11 求函數(shù)的最值 utt 246 解 設(shè) 則xtytuxy 246 且 xyxy 22 216 0402 2 uyxu 所給函數(shù)化為以為參數(shù)的直線方程 它與橢圓 22 216xy 在第一象限的部分 包括端點(diǎn) 有公共點(diǎn) 如圖 umin 2 2 相切于第一象限時 u 取最大值 yxu xy xuxu 22 22 216 342160 解 得 取 uu2 62 6 umax 2 6 10 12 已知 acos bsin c acos bsin c ab 0 k k Z 求證 22 2 2 2 cos ba c 分析 解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程 進(jìn)而由 A B 兩點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn) 知其在單位圓上 還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義 這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合 方法完成解題 證明 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn) A cos sin 與點(diǎn) B cos sin 是直線 l ax by c 與單位圓 x2 y2 1 的兩個交點(diǎn)如圖 從而 AB 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2cos 又 單位圓的圓心到直線 l 的距離 22 ba c d 由平面幾何知識知 OA 2 2 1 AB 2 d2即 ba c d 2 2 2 4 cos 22 1 22 2 2 2 cos ba c 13 若不等式 2 1 12 2 mxmx對滿足 的所有 m 都成立 求 x 的取值范圍 解 原不等式化為 2 x 1 m 2x 1 0 記 f m 2 x 1 m 2x 1 2 m 2 其圖像是線段 結(jié)合圖像和題意知 只須 f 2 2 2 x 1 2x 1 0 f 2 2 2 x 1 2x 1 0 即 2 2230 xx 11 2 2210 xx 解之 x 的取值范圍為 2 31 2 71 x 14 已知二次函數(shù) 1 yf x 的圖象