全等三角形輔助線舉例試題與解析答案.doc

全等三角形輔助線舉例試題與解析答案一選擇題（共1小題）1如圖，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60角，使其兩邊分別交AB于M交AC于點(diǎn)N，連接MN，則AMN的周長(zhǎng)為（）A5B6C7D8考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：壓軸題分析：要求AMN的周長(zhǎng)，根據(jù)題目已知條件無(wú)法求出三條邊的長(zhǎng)，只能把三條邊長(zhǎng)用其它已知邊長(zhǎng)來(lái)表示，所以需要作輔助線，延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，通過(guò)證明BDFCND，及DMNDMF，從而得出MN=MF，AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC的長(zhǎng)解答：解：BDC是等腰三角形，且BDC=120，BCD=DBC=30，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，ABC=BAC=BCA=60，DBA=DCA=90，延長(zhǎng)AB至F，使BF=CN，連接DF，在BDF和CND中，BDFCND（SAS），BDF=CDN，DF=DN，MDN=60，BDM+CDN=60，BDM+BDF=60，在DMN和DMF中，DMNDMF（SAS）MN=MF，AMN的周長(zhǎng)是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6故選B點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)來(lái)證明三角形全等，構(gòu)造另一個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵二填空題（共1小題）2ABC中，AB=7，AC=3，則BC邊的中線AD的取值范圍是2AD5考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，就可以得出ADBEDC，就可以得出CE=AB，在ACE中，由三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論解答：解：如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，D是BC的中點(diǎn)，BD=CD在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS）AC=EBAC=3，EB=373AE7+3，42AD10，2AD5故答案為：2AD5點(diǎn)評(píng)：本題考查了中線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用三角形全等將線段轉(zhuǎn)化在同一三角形中是關(guān)鍵三解答題（共13小題）3以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD=CAE=90，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是AMDE，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是DE=2AM；（2）將圖中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（090）后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：證明題分析：（1）ED=2AM，AMED延長(zhǎng)AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再結(jié)合已知條件可以證明DAEABG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=2AM，BAG=EDA，再延長(zhǎng)MG交DE于H，因?yàn)锽AG+DAH=90，所以HDA+DAH=90這樣就證明了AMED；（2）延長(zhǎng)CA至F，使FA=AC，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF，證出FABEAD，利用全等三角形的性質(zhì)得到BF=DE，F(xiàn)=AEN，從而證出FPD+F=APE+AEN=90，得到FBDE，根據(jù)AMFB，可得到AM=FB解答：（1）ED=2AM，AMED；證明：延長(zhǎng)AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再延長(zhǎng)MA交DE于HAC=BG，ABG+BAC=180又DAE+BAC=180，ABG=DAE再證：DAEABGDE=2AM，BAG=EDA延長(zhǎng)MA交DE于H，BAG+DAH=90，HDA+DAH=90AMED（2）結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng)CA至F，使FA=AC，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BFDABA，EAAF，BAF=90+DAF=EAD在FAB和EAD中，F(xiàn)ABEAD（SAS）BF=DE，F(xiàn)=AEN，F(xiàn)PD+F=APE+AEN=90FBDE又CA=AF，CM=MBAMFB，且AM=FB，AMDE，AM=DE點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性找到三角形全等的條件此題綜合性較強(qiáng)，要注意觀察圖象的特點(diǎn)4已知：如圖，ABC中AC=AB，AD平分BAC，且AD=BD求證：CDAC考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：證明題分析：過(guò)D作DEAB于E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出AE=AB，DEA=90，求出AE=AC，根據(jù)SAS證DEADCA，推出ACD=AED即可解答：解：過(guò)D作DEAB于E，AD=BD DEABAE=AB，DEA=90，AC=ABAE=ACAD平分BACBAD=CAD，在DEA和DCA中，DEADCA，ACD=AED，ACD=90，ACDC點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DEADCA，主要培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，題目比較好，難度適中5如圖，ADBC，EA，EB分別平分DAB，CBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB=AD+BC考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：證明題分析：先過(guò)E作EFAD，交AB于F，則DAE=AEF，EBC=BEF，因?yàn)镋A、EB分別平分DAB和CBA，所以AF=EF=FB，再根據(jù)梯形中位線定理得出AB=AD+BC解答：解：過(guò)E作EFAD，交AB于F，則DAE=AEF，EBC=BEF，EA、EB分別平分DAB和CBA，EAF=AEF，EBF=BEF，AF=EF=FB，又EFADBC，EF是梯形ABCD的中位線，EF=，AF+FB=2EF，AB=AD+BC點(diǎn)評(píng)：主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行線的判定和梯形中位線定理，解題的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用已知條件求出EF=6如圖，ABC內(nèi)，BAC=60，ACB=40，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是BAC，ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：證明題分析：延長(zhǎng)AB到D，使BD=BP，連接PD則D=5由已知條件不難算出：1=2=30，3=4=40=C于是QB=QC又D+5=3+4=80，故D=40于是APDAPC（AAS），所以AD=AC即AB+BD=AQ+QC，等量代換即可得證解答：證明：延長(zhǎng)AB到D，使BD=BP，連接PD則D=5AP，BQ分別是BAC，ABC的平分線，BAC=60，ACB=40，1=2=30，ABC=1806040=80，3=4=40=CQB=QC，又D+5=3+4=80，D=40在APD與APC中，AP=AP，1=2，D=C=40APDAPC（AAS），AD=AC即AB+BD=AQ+QC，AB+BP=BQ+AQ點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)際是以角平分線AP為對(duì)稱(chēng)軸將APC翻折成APD利用對(duì)稱(chēng)變換解題常常選擇角平分線，某一線段的垂直平分線作為對(duì)稱(chēng)軸作輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵7如圖，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC，求證：A+C=180考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：證明題分析：首先過(guò)點(diǎn)D作DEBC于E，過(guò)點(diǎn)D作DFAB交BA的延長(zhǎng)線于F，由BD平分ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定RtCDERtADF，則可證得：A+C=180解答：解：過(guò)點(diǎn)D作DEBC于E，過(guò)點(diǎn)D作DFAB交BA的延長(zhǎng)線于F，BD平分ABC，DE=DF，DEC=F=90，在RtCDE和RtADF中，RtCDERtADF（HL），F(xiàn)AD=C，BAD+C=BAD+FAD=180點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用8如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B=60，AB=BC，且DEC=60，判斷AD+AE與BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型分析：此題連接AC，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過(guò)證明三角形全等解決它們的問(wèn)題解答：解：有BC=AD+AE連接AC，過(guò)E作EFBC交AC于F點(diǎn)B=60，AB=BC，ABC為等邊三角形，EFBC，AEF為等邊三角形即AE=EF，AEF=AFE=60所以CFE=120 （3分）又ADBC，B=60故BAD=120又DEC=60，AEF=60AED=FEC （1分）在ADE與FCE中，ADEFCEAD=FC （1分）則BC=AD+AE （1分）點(diǎn)評(píng)：此題的解法比較新穎，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用全等三角形解決問(wèn)題9已知ABC的邊BC上有兩點(diǎn)D，E，且BD=CE，求證：AB+ACAD+AE考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：證明題分析：先連接AF并延長(zhǎng)至G，使FG=AF，其中F是BC的中點(diǎn)，連接GB，GC，GD，GE可知四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，延長(zhǎng)AD至H，交BG于H運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊”即可進(jìn)行證明解答：證明：連接AF并延長(zhǎng)至G，使FG=AF，其中F是BC的中點(diǎn)，連接GB，GC，GD，GE，BD=CE，DF=EF，四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形，BG=AC，DG=AE，延長(zhǎng)AD至H，交BG于H，AB+BHAD+DH，DH+HGDG，AB+BH+DH+HGAD+DH+DG，AB+BGAD+DG，即AB+ACAD+AE點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形三邊關(guān)系，將證明邊的大小關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問(wèn)題是解題的關(guān)鍵本題借助輔助線DH起樞紐作用10已知：如圖ABC中，A=60，BD、CE分別是ABC和ACB的平分線，相交于點(diǎn)F求證：（1）BFE=60；（2）FE=FD考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：證明題分析：（1）證明EBF=CBF=，DCF=BCF=，求出+=60，證明BFE=+=60問(wèn)題即可解決（2）證明A+EFD=180，得到A、E、F、D四點(diǎn)共圓；證明EAF=DAF，故FE=FD解答：證明：（1）BD、CE分別是ABC和ACB的平分線，EBF=CBF=，DCF=BCF=；又A=60，2+2=18060=120，+=60，BFE=+=60（2）如圖，連接AF；BFE=60，EFD=120，A+EFD=180，A、E、F、D四點(diǎn)共圓，設(shè)為O；由題意知在O中，EAF=DAF，F(xiàn)E=FD（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了三角形角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定及其應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求11如圖，在ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC于點(diǎn)G，DEAB于E，DFAC于F（1）證明：BE=CF；（2）如果AB=12，AC=8，求AE的長(zhǎng)考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）連接DB、DC，證明RtBDERtCFD即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=ABAE，代入可求得結(jié)果解答：（1）證明：連接DB、DC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，DGBC且平分BC于點(diǎn)G，DB=DC，在RtBDE和RtCFD中，RtBDERtCDF（HL），BE=CF；（2）解：由（1）知BE=CF，且在ADE和ADF中ADEADF（AAS），AE=AF=AC+CF，而CF=BE=ABAE，AE=AC+ABAE，2AE=AC+AB=8+12=20，AE=10點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵12如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F為邊BC上一點(diǎn)，EF=AE+CF，試求EDF的度數(shù)考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由四邊形ABCD為正方形，可得DA=DC，A=DCB=90，然后把DAE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到DCM，易證得DFMDFE（SSS），繼而求得答案解答：解：四邊形ABCD為正方形，DA=DC，A=DCB=90，把DAE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到DCM，如圖，A=DCM=90，DE=DM，EDM=90，AE=CM，點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，MF=CF+CM，EF=AE+CF，MF=EF，在DFM和DFE中，DFMDFE（SSS），MDF=EDF，EDF=EDM=45點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用13如圖所示，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC（1）若D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D作DMDN分別交AB、AC于M、N，求證：DM=DN；（2）若DMDN分別和BA、AC延長(zhǎng)線交于M、N，問(wèn)DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：常規(guī)題型分析：（1）連接AD，可得ADM=CDN，可證AMDCND，可得DM=DN；（2）連接AD，可得ADM=CDN，可證AMDCND，可得DM=DN解答：解：（1）連接AD，D為BC中點(diǎn)，AD=BD，BAD=C，ADM+ADN=90，ADN+CDN=90，ADM=CDN，在AMD和CND中，AMDCND（ASA），DM=DN（2）連接AD，D為BC中點(diǎn)，AD=BD，BAD=C，ADM+MDC=90，MDC+CDN=90，ADM=CDN，MAD=MAC+DAC=135，NCD=180ACD=135在AMD和CND中，AMDCND（ASA），DM=DN點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證AMDCND是解題的關(guān)鍵14（2007牡丹江）已知四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），易證AE+CF=EF；當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：幾何綜合題；壓軸題分析：根據(jù)已知可以利用SAS證明ABECBF，從而得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，從而得出ABE=CBF=30，BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系，即可推出AE+CF=EF同理圖2可證明是成立的，圖3不成立解答：解：ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，在ABE和CBF中，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60，ABE=CBF=30，AE=BE，CF=BF；MBN=60，BE=BF，BEF為等邊三角形；AE+CF=BE+BF=BE=EF；圖2成立，圖3不成立證明圖2延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK，在BAE和BCK中，則BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，F(xiàn)BE=60，ABC=120，F(xiàn)BC+ABE=60，F(xiàn)BC+KBC=60，KBF=FBE=60，在KBF和EBF中，KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是AECF=EF點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，這些方法要求學(xué)生能夠掌握并靈活運(yùn)用15在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為ABC外一點(diǎn)，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM+NC=MN； 此時(shí)=；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（ I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）由DM=DN，MDN=60，可證得MDN是等邊三角形，又由ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得RtBDMRtCDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN，此時(shí) ；