第二講 集合的運(yùn)算.doc

第二講 集合的運(yùn)算一、知識(shí)梳理（1）集合的基本運(yùn)算集合與集合B的交集：由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，記作，即；集合與集合的并集：由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，記作，即；在研究某一集合問(wèn)題過(guò)程中，所有集合都是一個(gè)給定集合的子集，這個(gè)給定集合就稱(chēng)為全集，記作，設(shè)，由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做集合在集合中的補(bǔ)集，記作，即.（2）集合運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)：.； .； .； .若，則和； .；.二、典型例題講解【例1】設(shè)集合.若，求實(shí)數(shù)a的值【思維分析】條件，又可分為三種情況，故須先求，再對(duì)分類(lèi)討論解：或非空或，且. 當(dāng)，即時(shí)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得， 當(dāng)非空，即或時(shí)， 時(shí)，而時(shí)，此時(shí)，故舍去 時(shí)，同樣此時(shí)舍去，而時(shí)，此時(shí)，故舍也去. 當(dāng)時(shí)， 綜上所述，.【例2】如圖所示，I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）AB CD 解：此陰影部分是屬于M且屬于P，即 。但又不屬于S集，所以為，故選C?！纠?】設(shè)， ，若A、B、C中至少有一個(gè)不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思維分析：本題可以從兩個(gè)角度出發(fā)，一是直接求；二是從反面出發(fā)，先將問(wèn)題的反面結(jié)果求出來(lái)，再求其補(bǔ)集即為結(jié)果。解法一：若，則，解之得； 若，則，解之得； 若，則，解之得； 故由題意，a的取值范圍 .解法二：若A、B、C都是空集，則 ，解之得，從而a范圍.評(píng)注：處理含參數(shù)集合問(wèn)題時(shí)，要注意端點(diǎn)值的取舍，必要時(shí)可單獨(dú)考慮.三、課堂練習(xí)（1）基礎(chǔ)訓(xùn)練1下列各式正確的是（ ）A BC D解析：A中式子左邊不表示集合，故；B中；C中 .答案：D2如果集合，那么（）A B C D解析：元素和集合之間用和連結(jié)；集合與集合之間用和連結(jié).答案：D3若I=1, 2, 3, 4, 5, 6，M=1, 3, 4，則等于（）A4, 5, 6 B1, 5, 6 C2, 3, 5 D2, 5, 6解析：根據(jù)補(bǔ)集的概念答案：D4己知，,則（） A B R C D解析：根據(jù)并集概念答案：B5設(shè)，,則（）A B C D解析：，則.答案：B6設(shè)全集為實(shí)數(shù)集R，集合, ，則下列關(guān)系一定成立的是（）AAB BBA CD解析：，則AB.答案：A7已知全集I=1，2，則I的真子集的個(gè)數(shù)為（）A1B2C3D4解析：I的真子集的個(gè)數(shù)為答案：D8已知集合A,B，且AB，則 ( )AAB=A BAB=B CAB=B DAB=解析：AB可以得出以下結(jié)論：AB=B， AB=A答案：C9設(shè)全集，集合，則的值是 ( )A2 B8 C-2或8 D2或8解析：(驗(yàn)證)若，則，不合條件，若，則, ,滿(mǎn)足條件；若，則，仍符合條件，則a的值為2或8.答案：D10已知集合，則MN= ( ) A BC D解析：，則MN=答案：B11設(shè)全集，則集合等于 ( ) A B C D解析：(驗(yàn)證)，.答案：A12設(shè)集合，.若,則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )A B C D解析：，由答案：D13已知集合，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )A B C D解析：(檢驗(yàn))若，則B=1不合條件，若則B=符合條件答案：D14如圖，U是全集，M，N，S是U的子集，則圖中陰影部分所示的集合是 ( )A BC D解析：陰影部分在S中不在M和N中，排除C和D，而B(niǎo)中答案：A15設(shè)A=等于 （ ）A0 B0 C D1，0，1解析：，則=0答案：B16設(shè)集合，則滿(mǎn)足的集合的個(gè)數(shù)是（）A0 B1 C2 D3解析：其實(shí)本題不需要求出，因?yàn)槎淮畏匠探M最多只有一個(gè)解，利用數(shù)形結(jié)合的思想，本題中兩條直線(xiàn)的斜率不等，故有一個(gè)元素，其子集有2個(gè).答案：C17設(shè)集合若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）A B C D解析：說(shuō)明A非空，也就是方程有實(shí)數(shù)解，即 答案：B18、用集合表示右圖的陰影部分為（）A BC D解析：陰影部分在M和P中不在S中.答案：C19設(shè)全集，集合，則等于（）ABCD解析：，從而.答案：B20設(shè)，則等于（）A0B1,2C3，4D1，2，3，4解析：，則答案：C21已知集合，則AB=（ ）A B C（0,0） D0解析： AB=.答案：A22若集合，且，則實(shí)數(shù)m的可取值組成的集合是（ ）A B C D解析：，由于，若，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，直線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)，即斜率；若，則；若，則.答案：C23已知全集S=1,2,3,4,5,6,7,8,9，A、B都是全集S的子集，且B=1,9,AB=2，=4,6,8,那么A、B分別為（ ）A2,3,5,7、1,2,9 B1,2,9、2,3,5,7 C2,3,5,7、2,9 D2,5,7、1,2,9解析：根據(jù)題目中條件，知A中含2，不含1，4，6，8，9；B中含1，2，9，不含4，6，8，排除B，C，根據(jù)=4,6,8,A，B中有且有一個(gè)含3答案：A24設(shè)全集I=不大于10的自然數(shù)，A=1，4，7，B=2，4，6，則CIAB= 解析：CIA=0,2,3,5,6,8,9,10，則CIAB=2,6答案：2,625設(shè)集合，則AB= .解析：根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，聯(lián)立方程即可得AB=答案：26設(shè)集合A=m|關(guān)于x的方程x2-2x+m=0有實(shí)根，mR, B=m|關(guān)于x的二次方程mx2-x+1=0無(wú)實(shí)根，mR，則AB= .解析：由得，對(duì)于B，首先，其次由 得，AB=答案：27不等式的解集是，則 .解析：由根與系數(shù)的關(guān)系，得答案：728已知集合P=和Q=,若PQ，則b的取值范圍是 解析：P與Q均是點(diǎn)集，兩者交集，即為兩者圖像的交點(diǎn)，而由于PQ，說(shuō)明二者圖像不相交，根據(jù)函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)P表示的是：以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的下半圓；Q表示的是：斜率為1過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，我們先找臨界點(diǎn)，即當(dāng)直線(xiàn)與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)圖像在下方有一點(diǎn)相切，此時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足原點(diǎn)到直線(xiàn)距離，得 ，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)應(yīng)，上面還有一臨界點(diǎn)是，此時(shí)，根據(jù)圖像得b的范圍為或答案：或29集合A中有m個(gè)元素,若在A(yíng)中增加一個(gè)元素,則它的子集個(gè)數(shù)將增加 個(gè).解析：答案：30設(shè)集合，則的元素個(gè)數(shù)為 _個(gè).解析：，.答案：131已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.解析：由于且，則答案：32設(shè)集合,且全集,則到的映射共有個(gè).解析：，由于全集為Z，即在整數(shù)集中考慮，則.A中每個(gè)元素的象有3中可能，從而映射共有個(gè)映射.答案：9評(píng)注：當(dāng)所處理的集合問(wèn)題中，告訴了全集就表示在這個(gè)全集下考慮問(wèn)題.33已知全集，集合，則解析：，從而答案：34已知集合，則 解析：兩集合均表示一元二次函數(shù)的值域， ，則.答案：35滿(mǎn)足的集合B的個(gè)數(shù)是 解析：B必須包含z，而另外的兩個(gè)元素分別有兩種選擇，即在B中或不在B中，從而集合B的個(gè)數(shù)為個(gè).答案：436已知集合，且則的值為 解析：.若，即時(shí)， 符合條件；若，即時(shí)， 或都符合條件； 若，即時(shí)，符合條件.答案：37設(shè) .若,求a的值.解： B至多有兩個(gè)元素.，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得.38已知為全集，求解 由已知因?yàn)闉闇p函數(shù)，所由 解得，所以由，解得，所以于是故39設(shè)若，求實(shí)數(shù)的值解：， 而， 當(dāng)時(shí)，即直線(xiàn)與x軸平行，也就是； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在.綜上所述，的值為.評(píng)注：注意空集是任何集合的子集.40.已知命題。若，求實(shí)數(shù)的值.解：由題意可知：或由，可得即有（2）能力培養(yǎng)41設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q=，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是（ ）A6B7C8D 9解析：答案：C42若AB=a，b，AB=a，b，c，d，則符合條件的不同的集合A、B有 （ ）A16對(duì) B8對(duì) C4對(duì) D3對(duì)解析：a，b兩元素都在A(yíng)，B中，而c要么在A(yíng)中要么在B中，d要么在A(yíng)中要么在B中，所以符合條件的不同的集合A、B有對(duì)答案：C43已知集合A是全集S的任一子集，下列關(guān)系中正確的是（ ） A B C D解析：當(dāng)時(shí)，答案A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，答案B錯(cuò)；D中應(yīng)該.答案：C44設(shè)全集，集合，則集合等于（ ）A（）（） B（）N C（）（） DM（）解析：中元素不在M和N中，答案：A45.給出了以下三個(gè)命題：；.其中正確命題的個(gè)數(shù)是().A.0 B.1 C.2 D.3解析：為真，為假.答案：C46.已知集合，如果集合恰有四個(gè)不同的子集，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為 .解析：集合恰有四個(gè)不同的子集，說(shuō)明有兩個(gè)元素，P與Q均表示點(diǎn)集，根據(jù)圖像，P表示的直線(xiàn)應(yīng)該與Q表示的圓有兩個(gè)交點(diǎn)，先求相切時(shí)的情形，即圓心到 直線(xiàn)的距離，得或，從而b的取值范圍為.答案：47.設(shè)集合,則的取值范圍是 .解析：A表示兩半平面并，B表示一個(gè)半平面，說(shuō)明兩者區(qū)域有重合部分，如圖： XOY22-2y=x-2y=-x+2y=-x+b則答案：48對(duì)于集合.若有集合S滿(mǎn)足，則這樣的S有_個(gè).解析：易知，有，則可以這樣組成，問(wèn)題歸結(jié)為求A的個(gè)數(shù)，亦即集合6，12，27的子集數(shù)，所以，S有23=8個(gè).答案：849已知全集，如果，則這樣的實(shí)數(shù)x是否存在?若存在，求出x，若不存在，說(shuō)明理由.解：，但，故當(dāng)時(shí)，A中已有元素1；當(dāng)時(shí)，3S；當(dāng)時(shí)，但5S.故實(shí)數(shù)x的值存在，它只能是.50已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?函數(shù)的定義域?yàn)榧?若,求實(shí)數(shù)的值及實(shí)數(shù)的取值范圍.解：, 又即不等式的解集為由,方程的兩根都在解得故, 51.設(shè)集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意可得：又，即有時(shí)，時(shí)，時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意綜上所述，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍為或（3）探究創(chuàng)新四、同步練習(xí)1如果集合，那么()等于（ ）A B C D 2. 設(shè)集合，若，則的取值范圍是( )A B C D 3若集合，且，則 4已知集合Mx|1x10，xN，對(duì)它的非空子集A，將A中每個(gè)元素k，都乘以(1)k再求和(如A=1，3，6，可求得和為(1)1(1)33(1)662，則對(duì)M的所有非空子集，這些和的總和是 5設(shè)，函數(shù)若的解集為A，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：1、D 2、C 3、或 4、25605、解：，令f（x）0解得其兩根為由此可知（i）當(dāng)時(shí)，的充要條件是，即解得（ii）當(dāng)時(shí)，的充要條件是，即解得綜上，使成立的a的取值范圍為.五、高考鏈接1（2009全國(guó)卷理）設(shè)集合，全集U=AB，則集合中的元素共有（ ）A3個(gè) B4個(gè) C5個(gè) D6個(gè) 解析：，故選A。也可用德摩根律：答案：A2（2007遼寧理）設(shè)集合，則（ ） A B C D解析:可以直接算，但用德摩根律：更方便快捷答案：B3（2009浙江理）設(shè)，則( ) A B C D 解析：對(duì)于，因此答案：B 4（2009浙江理）設(shè)，則( ) A B C D . 解析：對(duì)于，因此答案：B 5（2009北京文）設(shè)集合，則（ ） A B C D解析：， ，故選A.答案：A6(2009山東卷理)集合,若,則的值為( )A.0 B.1 C.2 D.4解析：,故選D.答案：D7（2009廣東卷理）已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（ ）A. 3個(gè) B. 2個(gè)C. 1個(gè) D. 無(wú)窮多個(gè)解析：由得，則，有2個(gè)