非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法論文.doc

非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法摘要：本文首先給出了升階法的定義，以及利用升階法求常微分方程的特解，然后給出幾個(gè)定理及其證明，運(yùn)用這些定理可以求解非齊常系數(shù)線性微分方程，此為一般的方法.最后將所有常見的幾種類型的微分方程歸納為一類，使得解方程的過程得到了有效的簡(jiǎn)化.關(guān)鍵詞：非齊次；常系數(shù)；線性；解法1.引 言線性微分方程在常微分方程學(xué)中占有一定的地位，其中，研究非齊常系數(shù)線性微分方程的解法對(duì)進(jìn)一步研究其他更復(fù)雜的常微分方程具有指導(dǎo)意義.微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對(duì)某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴。近幾年，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)非齊常系數(shù)線性微分方程的解法也有許多研究：2005年11月，唐爍在安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)第二十三卷第六期發(fā)表的常系數(shù)線性非齊次微分方程組的初等解法中利用初等方法，直接得到兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程組的通解方式.聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛氌譴凈。2007年4月，趙輝在安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)第六期發(fā)表的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一種特殊解法中對(duì)二階常系數(shù)非齊微分方程運(yùn)用了一種特殊的解法，使得求解此方程變的方便快捷.殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。2008年6月，陳新明、胡新姣在大學(xué)數(shù)學(xué)第二十四卷第三期發(fā)表的常系數(shù)線性非齊次微分方程的簡(jiǎn)單解法中得到的求n階常系數(shù)線性非齊次微分方程一般解更方便的方法，以及幾種特殊情形的表達(dá)式.釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。對(duì)于非齊次方程，我們的解法是通解加特解得方法，所謂通解，就是先解出非齊次方程組所對(duì)應(yīng)其次方程組的基礎(chǔ)解系，然后再隨便找一個(gè)特解滿足非齊次方程組即可，然后把它們相加組合起來，就是非其次方程的解本文將給出非齊次常系數(shù)線性微分方程的一些解法，有助于以后更簡(jiǎn)便的求解這類方程。彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。2.主要結(jié)果2.1非齊次常系數(shù)線性微分方程的一般解法2.1.1升階法為了求解非齊常系數(shù)線性微分方程，首先要求方程的特解，這里給出求特解的一種方法-升階法。定義：當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)此時(shí)，方程 （1）兩邊同時(shí)對(duì)求次，得顯然方程（1）的解存在，且滿足上述各方程。最后一個(gè)方程的一個(gè)明顯解（不妨設(shè)時(shí)情況類似）是：此時(shí)。由與通過倒數(shù)第二各方程可得，依次往上推，一直推到（1），即可得到方程（1）的一個(gè)特解。上面這種方法稱為升階法。謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。2.1.2 解的結(jié)構(gòu)定理定理1(解的疊加原理)：設(shè)分別是方程和的特解，則有是方程的特解。證明：將代人方程的左端， 得證。定理2 設(shè)是方程的特解，則分別是方程和的特解。(其中是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式) 證明：把代人方程有：所以；(方程的兩端實(shí)部、虛部相同) 得證。階常系數(shù)非齊次線性微分方程的定義對(duì)階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ， （1）其中為常數(shù)記 ， （2）稱為方程(1)的特征函數(shù)，記，方程(1)可寫成又記次多項(xiàng)式 （3）引理1 ， （4）其中證明： 先證明， （5）用數(shù)學(xué)歸納法由求導(dǎo)法則得假設(shè)(5)式對(duì)的情形成立，則，即(5)式成立由的定義得(4)式記引理2 若由(3)式給出，且，則 （6）證明： 引理1中取，得。在上式中將換為次多項(xiàng)式，得，由此有因?yàn)椋约?，所以有，由此得，?）式成立。定理3 記。對(duì)階常系數(shù)非齊線性微分方程，其中為常數(shù)，可以是復(fù)常數(shù)。若為的重根，則方程（7）的特解為， （8）其中由 （9）確定證明： 設(shè)方程（）的一個(gè)解為。由引理1，。因?yàn)闉榈拇味囗?xiàng)式，所以當(dāng)時(shí)，。將在處利用公式展開，得。因?yàn)闉榈闹馗?，注意，方程?）化為。 （10）而為次多項(xiàng)式，以及為常數(shù)，所以當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，也是次多項(xiàng)式。記，由（10）式知（9）式成立。因?yàn)?，所以。方程?）的特解為 。廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷。當(dāng)為的與重根時(shí)，不需經(jīng)（9）式確定待定系數(shù)而直接得到方程（7）的通解。定理4 若為的重根，則方程（7）的通解為； （11） 若為的重根，則方程（7）的通解為（12）證明：若為的重根，由定理1，方程（7）的特解為，此時(shí)（9）式為，所以。對(duì)積分次再乘以得（11）式。若為的重根，為了得到通解，用證明定理1的方法證明（12）式。設(shè)方程（7）的通解為，與定理1一樣證明，知由（10）式確定。又因?yàn)椋藭r(shí)（10）式為，其中，解得。由定理2得煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。，注意，兩邊積分次得再乘以得（12）式。當(dāng)時(shí)，不需經(jīng)（9）式確定待定系數(shù)而直接得到（7）的特解。推論1 對(duì)階微分方程，若為的重根，則特解為。 （13）證明： 當(dāng)時(shí)，由定理1得，這里由（9）式確定；當(dāng)時(shí)，所以（9）式為。由此解出后積分次，再乘以得到（13）式。鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴。當(dāng)，自由項(xiàng)還含或，且為的根時(shí)，也不需經(jīng)（9）式確定系數(shù)而直接得到方程（7）的通解。定理5 記為虛數(shù)單位。對(duì)二階微分方程 或，若為的根，則通解為或，這里。 （14）證明： 若為的根，則，所以。定理2中的。由定理2的（12）式取得的特解為（14）式，由此得結(jié)論。 2.2 非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法 證 由萊布尼茨求導(dǎo)公式知當(dāng)時(shí)， 。于是當(dāng)時(shí)，將代入方程（1）便得。兩端消去可得 （3）但（3）中的系數(shù)為而當(dāng)?shù)碾A導(dǎo)數(shù)為于是。最后我們便得到（1）再的變換下的形式命題的建立說明要求解方程 （4）的一個(gè)特解，只需求解方程（注意到）的特解，從而得到（4）的特解。至于方程（或），（5）可由歐拉公式化為求解方程 （6）的特解的實(shí)部（或虛部），而此時(shí)（6）式命題可化為的形式。3. 應(yīng)用舉例3.1 非齊次常系數(shù)線性微分方程一般解法的應(yīng)用例1 求的一個(gè)特解。解： 將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得：令，則。代入原方程得：。所以是原方程的一個(gè)特解。例2 求的一個(gè)特解。 ，解：將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)兩次，得： （4） ，令，代入方程（4），得：再將代人原方程得：積分，得：因?yàn)榍笤匠痰囊粋€(gè)特解，故取，所以是原方程的一個(gè)特解?；[叢媽羥為贍僨蟶練淨(jìng)。例3 求一個(gè)特解解法(1)：特征方程： 特征根：因?yàn)槭翘卣鞲?，所以特解代入原方程得：得?所以原方程的一個(gè)特解為：分析：該解法主要分兩步走，先確定特解的表達(dá)形式，然后用待定系數(shù)法確定。這是我們常用的方法，也是眾多教科書上的方法。預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。解法(2)：作輔助方程：因?yàn)槭翘卣鞲栽撦o助方程特解代入輔助方程得：，得所以，所以原方程的一個(gè)特解為（取虛部）分析：該解法主要是避免第一種解法中特解代人方程時(shí)的煩瑣，能較快的得出特解。主要用到的原理是上述定理2和歐拉公式，若方程的右端是含有的形式，可以通過輔助方程特解的取實(shí)部來得到一個(gè)特解。一般對(duì)于方程：(1)或(2)作輔助方程，求特解，取實(shí)部或虛部，就能得到原非齊次方程的特解。用該方法求解時(shí)，可先分別求出方程(1)和(2)的特解，再用解的疊加原理即可得到特解 。滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。解法(3)：由于在確定方程中的特解時(shí)，上述解法是用待定系數(shù)法來確定的，這種方法一般比較煩瑣。下面不妨用微分算子法來確定Y ，這種方法一般比較簡(jiǎn)單 。 因?yàn)槭堑奶摬?，所以先求，再取其虛部。鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。因?yàn)椋簞t所以： (取虛部)分析：該解法用微分算子法簡(jiǎn)化了求解過程，結(jié)合了算子法和歐拉公式及上述定理2，是一個(gè)較快解決問題的方法。不過用的過程中要記住的一些性質(zhì) ，這樣才會(huì)得心應(yīng)手。擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。解法(4)：原方程可化為：因?yàn)槭翘卣鞲?所以的特解為，代入方程有：得：，即由于與成共軛，所以與。成共軛函數(shù)的必為方程的特解，則所以原方程的特解為分析：該解法主要運(yùn)用了歐拉公式和解的疊加原理及共軛函數(shù)的一些特性。該方法主要特點(diǎn)是它通過改變形式，簡(jiǎn)化了特解代入方程時(shí)的煩瑣。例4 對(duì)二階微分方程或，證明若為的根，則通解為或； （15）若不是的根，則特解為或 （16）證明： 定理3的（14）式中取，有，由此得（15）式。對(duì)二階微分方程，若不是的根，由定理1的（8）式，取，特解為分別取實(shí)部與虛部得（16）式。例5 求解下列微分方程； ； 解: 是的單根，由定理2的（12）式，通解為特征方程是的