探究課本習(xí)題培養(yǎng)發(fā)散思維.pdf

2 0 0 8 年第4 7 卷第3 期數(shù)學(xué)通報 探究課本習(xí)題培養(yǎng)發(fā)散思維 劉曉 東 浙江湖州吳興高級中學(xué)31300 0 1 問題背景 問題 人教版數(shù)學(xué)必修 1 第 27 頁第 9題 一個圓柱形容器的底面直徑是 dc m 現(xiàn)在以 v c m 5 的速度向容器內(nèi)注人某種溶液 求容器內(nèi) 溶液的高度x m與注人溶液的時間t s 之間的函 數(shù)解析式 并寫出函數(shù)的定義域和值域 應(yīng)該說這是一道難度不大的題 目 但學(xué)生出 現(xiàn)的問題較多 主要集中在字母所表示含義的理 解上以及字母運算的能力上 教材中的每一個題 目都是編者智慧的結(jié)晶 為充分發(fā)揮這道習(xí)題的 教育功能 我采用延時性講評的策略 重點是放在 對習(xí)題的挖掘和對知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建上 2 啟動思考的多向性 培養(yǎng)發(fā)散思維能力 2 1 轉(zhuǎn)化發(fā)散 培養(yǎng)思維的邏輯性 發(fā)散 l x是 t 的什么函數(shù) 它的圖象怎樣 二 一 一 一 盆 尹口一 尹 一 戶 戶 滬 一 一 解 因 為x 一 典 定 兀a 0 一一一哺一飛 圖 2 值 域 是 下 ltoJ 義 域 為 軍 L任V 0 們 所以 x是 t的一 次 函 數(shù) 其圖象如圖1 所示 圈1 轉(zhuǎn)化發(fā)散是通過保持 原命題的實質(zhì)而變換其形式的一種發(fā)散思維 通 過轉(zhuǎn)化發(fā)散 能夠使學(xué)生的思維遵循邏輯規(guī)律 從 而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性 2 2 階梯發(fā)散 培養(yǎng)思維的靈活性 發(fā)散2 1 9 98 年全國卷 向高為 H的水瓶 中注水 注滿為止 如果注水量V與水深h的函 數(shù)關(guān)系的圖象如圖 2所示 那么水瓶的形狀是 一 H 解如圖 2 取水深 h 等 時 注水量 V 行聲 一 一 切 一 一 一2 一 J 一 刁 導(dǎo) V V 等 即水深至一半時 實際注水量大于水瓶 2 一 J 獷 一 一 刁 行 一 一 升 J 一攤 一 從 認(rèn) 總水 量 一半 A 中 V 號乙 C D 中 V 舟 興 故 排 仲 刁 一 2 一 一 2 卜 J 除 A C D 選 B 另外 我們也可以根據(jù)圖象的變化速度 很容 易判斷出應(yīng)選 B 引導(dǎo)學(xué)生運用已有的經(jīng)驗 知識 方法去探索 和發(fā)現(xiàn) 從而獲得新知 這對學(xué)生而言是一個知識 再創(chuàng)造的過程 階梯發(fā)散是解題能力或方法逐步 深人的一種發(fā)散思維 思維的靈活性是要求我們 能夠根據(jù)客觀條件的發(fā)展與變化 及時地改變先 前預(yù)定的方案 方法 去尋找新的解題途徑 發(fā)散 2 是在相同的背景下一 通過對問題設(shè)置方式的階 梯發(fā)散 給問題賦予新的內(nèi)涵 要求由水瓶的形狀 識別函數(shù)原型 這是典型的數(shù)形結(jié)合問題 只想 萬方數(shù)據(jù) 數(shù) 學(xué)通報2 0 0 8 年第4 7 卷第3 期 不算 有利于克服死記硬背 可使學(xué)生的思維活躍 起來 有利于思維靈活性的培養(yǎng) 2 3 構(gòu)造發(fā)散 培養(yǎng)思維的獨立性 發(fā)散 3 向高為 H 的水瓶中注水 注滿為止 如果水瓶的形狀如圖 3所示 那么注水量 v與 水深h 的比 冬 與 水深h 的函 數(shù)圖 象大 致是 J F 一 一 一 h碑J 一 獷 一 一 研 份 刀 發(fā)散3 是在發(fā)散 2的基礎(chǔ)上構(gòu)造出新的問 題 雖然問題背景相似 但構(gòu)造出來的新問題 思 維量顯然加大 構(gòu)造發(fā)散是通過邏輯思維和豐富 的聯(lián)想 恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出某些元素 使原模型以一種 新的面貌出現(xiàn) 發(fā)散 3 正是通過構(gòu)造發(fā)散來培養(yǎng) f y于 y f卜 一 二 f卜 一 哭 丫一 丫一 OIH 獷 h A 夕 獷 h B 夕 OIH 圖 3 解由于容器的形狀是一 個圓臺 所以函數(shù) 或函數(shù)分段 式中的一段 不可能是 一次 函 數(shù) 故排除B C 比較 A D只需 大致確定 函數(shù)的解析式即可 設(shè)容器上 下底半徑分別是 R r 水深為 h時的水面半徑是x H I X 圖 4 二二 一 R一r R一r 則 力 人團 4 甲 田 1 導(dǎo) x 一 萬 下 一n州 卜r 龍 之 a特 一 下于 一 貝 明 1 1 可求得 衛(wèi) h一 孕擴 r 尸 一 晉 a a r h 尸 學(xué)生善于獨立地提出問題和解決問題的能力 使 學(xué)生的思維在原有的基礎(chǔ)上有一個新的飛躍 從 而加強思維獨立性的形成 2 4 創(chuàng)造發(fā)散 培養(yǎng)思維的批判性 思維的批判性是思維活動中獨立分析和批判 的程度 它主要表現(xiàn)為自己有獨立見解 敢于懷 疑 有較高辨誤能力 它是思維的較高層次 古人 云 學(xué)貴有疑 疑就是一種批判精神 思維的批判 性是創(chuàng)造性思維的一個重要特征 發(fā)散4 2 0 0 6 年江西文科卷 某地一天內(nèi)的 氣溫Q t 單位 與時刻t 單位 時 之間的關(guān) 系如圖 5 所示 令 C t 表示時間段 0 司內(nèi)的溫差 即時間段 0 月內(nèi)最高溫度與最低溫度的差 C t 與t 之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示 則正 確的圖象大致是 c t 奮刃 t 故知圖象是開口向上的拋物線的一部分 故 選 D 圖 5 萬方數(shù)據(jù) 2 0 0 8 年第 4 7 卷第 3 期數(shù) 學(xué)通報 此題選自一本教輔資料 由于編者的疏忽 將 選項 D的圖畫錯 從而造成此題無解 在教學(xué) 中 我有意識地設(shè)置了這個 陷井 指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行 辨別和糾正 并從網(wǎng)上查找正確圖象 進(jìn)行比較和 辨析 進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性 創(chuàng)造發(fā)散是 克服思維定勢 不按常規(guī)思維解題的發(fā)散思維 發(fā)散 4就是利用創(chuàng)造發(fā)散 使學(xué)生形成自己的獨 立見解 敢于懷疑 有較強的辨別能力 從而促進(jìn) 思維批判性的形成 2 5 綜合發(fā)散 形成理性思維 綜合發(fā)散是通過知識點之間的聯(lián)系進(jìn)行發(fā) 散 通過綜合發(fā)散 能使學(xué)生的思維透過紛繁復(fù)雜 的表面現(xiàn)象去深人鉆研問題 發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì) 從 而全面地考察問題 從事物的多種的聯(lián)系和關(guān)系 中去認(rèn)識事物 達(dá)到培養(yǎng)思維的深刻性和廣闊性 的目的 發(fā)散5 2 0 0 6 年重慶卷 如圖 6所示 單位 圓中弧A B的長為x f x 表示弧 AB與弦A B 所圍成的弓形面積的2 倍 則函數(shù)y f x 的圖 象是 發(fā) 散 2 0 0 6年江西卷 某地一年的氣溫 Q t 單位 與 時間 t 月份 之間 的關(guān)系如圖 7所 示 已知該年的平 均氣溫為 10 令 G t 表示 時間段 圈 7 0 司的平均氣溫 G t 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系用下 列圖象表示 則正確的應(yīng)該是 困 畫 畫 解結(jié)合平均數(shù)的定義用排除法求解 故選 A 3 培養(yǎng)化歸意識 構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò) 我們不妨根據(jù)題目的前提 條件和結(jié)論建立 樹型鏈 圖 解根據(jù)圓的性質(zhì) 深刻理解函數(shù)的單調(diào)性 我們不難判斷應(yīng)該選D 圈8 發(fā)散前的鏈圈 顯然 發(fā)散后的鏈圖要豐富 充實得多 它給 我們以足夠的空間 任我們?nèi)グl(fā)揮 去想象 去思 維 從而形成知識網(wǎng)絡(luò) 下轉(zhuǎn) 4 4頁 萬方數(shù)據(jù) 數(shù) 學(xué)通報2 0 0 8年第 4 7卷第3 期 省的課改的確需要高考來引領(lǐng) 因此 一份試題評 價必須要從考試性質(zhì)和社會責(zé)任兩個方面去審視 4 2二面角 超綱 與 超標(biāo) 之看法 理科第 18 題中考查了二面角 其實是相當(dāng)簡 單的問題 考 與 不考 其實關(guān)系不大 從有些 老師最近發(fā)表的觀點來看 總是把這個問題上 綱 上 標(biāo) 來做文章 如果是這樣 本人也要發(fā) 表自己的看法 依他們觀點 說明 要依據(jù) 課標(biāo) 和 考綱 來制定的 也就是說 說明 是 課標(biāo) 和 考綱 依據(jù)地方特色的 具體化 更切合當(dāng)?shù)氐?實際情況 因此 它是命題的主要依據(jù) 即 考綱 與 說明 發(fā)生沖突的地方以 說明 為準(zhǔn) 在 二 面角 的問題上 考綱 沒具體說是 考 還是 不 考 但 說明 列舉的樣題中 求二面角的正切 值 說明了 說明 的制定者是認(rèn)為可以考 二面 角 的 因此 如果 說明 是 課標(biāo) 和 考綱 依據(jù) 地方特色的 具體化 那么 在試題中有 二面角 問題不僅沒 超綱 更沒有 超標(biāo) 然而他們卻說 考 二面角 是 超綱 又 超標(biāo) 這讓人不禁要 問 當(dāng)初在 說明 中列舉的 二面角 樣題是工作 上 疏忽 還是有意 忽悠 考生呢 4 3 課標(biāo) 數(shù)學(xué)的 標(biāo) 與 本 之看法 從他們對理科第 12 題 文理第 20 題 理科第 21題 文科第 19 題 的評價來看 他們對 課標(biāo) 理 解程度和對數(shù)學(xué)的 認(rèn)識僅僅停留在 表面的 標(biāo) 上 認(rèn)識遠(yuǎn)遠(yuǎn)未達(dá)到本質(zhì)的 本 上 理科第12題的確是沿襲了 割補思想 的 陳 題 但在 課標(biāo) 下 立體幾何增加了 三視圖 強化了 識圖 知識和組合體的體積 面積計算 而是不提 正棱柱 錐 直棱柱 錐 的定義 顯然命題者恰恰注意到了 課標(biāo) 的變化 作為最 后一道選擇題 既考查了學(xué)生的能力 又能較好地 體現(xiàn)了區(qū)分度 理科第 20 題 從 標(biāo) 上看似乎是幾何概型 從 本 上看是離散變量的二項分布 對 幾何概 型 僅僅停留在 了解 的層面上 真正考查的重 點是 二 項 分 布 本 題 的 原 型 應(yīng) 該 是求 川 4 X 二 二 二 卜 尸 長 花 矛 丈 一11 一a 或 x 3 聲 翻 一 代 萬 少 乙 條件