人教A版選修12 合情推理 課件（48張）.ppt

第二章推理與證明2 1合情推理與演繹推理2 1 1合情推理 猜座位 從前有個(gè)財(cái)主 想教兒子識(shí)字 請來一位教書先生 先生把著學(xué)生的筆桿兒 寫一橫 告訴是個(gè) 一 字 寫兩橫 告訴是個(gè) 二 字 寫三橫 告訴是個(gè) 三 字 學(xué)到這里 兒子就告訴父親說 我已經(jīng)學(xué)會(huì)了寫字 不用先生再教了 于是 財(cái)主就把教書先生給辭退了 一天 財(cái)主要邀請一位姓萬的朋友 叫兒子寫張請?zhí)?財(cái)主的兒子怎么寫的 1 結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)例 了解歸納推理的含義 掌握歸納推理 類比推理的方法技巧 重點(diǎn) 2 能利用歸納方法進(jìn)行簡單的推理 掌握歸納法的步驟 體會(huì)歸納推理 類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 難點(diǎn) 探究點(diǎn)1歸納推理 1742年哥德巴赫 goldbach 1690 1764 是德國一位中學(xué)教師 也是一位著名的數(shù)學(xué)家 1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士 觀察到 猜想 任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和 任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和 哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想的過程 具體的材料 觀察分析 猜想出一般性的結(jié)論 3 成語 一葉知秋 2 統(tǒng)計(jì)初步中的用樣本估計(jì)總體 通過從總體中抽取部分對象進(jìn)行觀測或試驗(yàn) 進(jìn)而對整體作出推斷 意思是從一片樹葉的凋落 知道秋天將要來到 比喻由細(xì)微的跡象看出整體形勢的變化 由部分推知全體 由某類事物的具有某些特征 推出該類事物的都具有這些特征的推理 或者由概括出的推理 稱為歸納推理 簡稱歸納 歸納推理 特點(diǎn) 部分 整體 個(gè)別 一般 部分對象 全部對象 個(gè)別事實(shí) 一般結(jié)論 銅 鐵 鋁 金 銀等金屬都能導(dǎo)電 猜想 所有金屬都導(dǎo)電 又如 猜想 數(shù)列2 5 11 20 x 47 中的x等于 a 28b 32c 33d 27 b 即時(shí)訓(xùn)練 分析 數(shù)列的通項(xiàng)公式表示的是數(shù)列 an 的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的對應(yīng)關(guān)系 為此 我們先根據(jù)已知的遞推公式 算出數(shù)列的前幾項(xiàng) 解 當(dāng)n 1時(shí) a1 1 當(dāng)n 2時(shí) 當(dāng)n 3時(shí) 當(dāng)n 4時(shí) 觀察可得 數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù) 由此猜想 這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 如圖為一串白黑相間排列的珠子 按這種規(guī)律往下排起來 那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色 a 白色b 黑色c 白色可能性大d 黑色可能性大 a 變式練習(xí) 春秋時(shí)代的魯班在林中砍柴時(shí)被齒形草葉割破了手 他由此受到啟發(fā) 從而發(fā)明了鋸 探究點(diǎn)2類比推理 類似于魯班發(fā)明鋸子 還有一些發(fā)明或發(fā)現(xiàn)也是這樣得到的 魚類 潛水艇 蜻蜓 直升機(jī) 仿生學(xué)中許多發(fā)明的最初構(gòu)想都是類比生物機(jī)制得到的 可能有生命存在 有生命存在 溫度適合生物的生存 一年中有四季的變更 有大氣層 行星 圍繞太陽運(yùn)行 繞軸自轉(zhuǎn) 火星 地球 火星上是否有生命 火星與地球類比的思維過程 火星 地球 存在類似特征 類比推理的過程 步驟 觀察 比較 聯(lián)想 類推 猜想新結(jié)論 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理 類比推理 1 類比推理是由特殊到特殊的推理 2 運(yùn)用類比推理常常先要尋找合適的類比對象 我們可以從不同的角度出發(fā)確定類比對象 基本原則是要根據(jù)當(dāng)前問題的需要 選擇適當(dāng)?shù)念惐葘ο?1 類比是從人們已經(jīng)掌握的事物的屬性 推斷正在研究中的事物的屬性 它以已有知識(shí)為基礎(chǔ) 類比出新的結(jié)論 2 是從一事物的特殊屬性推斷另一種事物的特殊屬性 3 類比的結(jié)果具有猜測性 類比推理的特點(diǎn) 下列平面圖形中可作為空間平行六面體類比對象的是 a 三角形b 梯形c 平行四邊形d 矩形 即時(shí)訓(xùn)練 c 例2類比實(shí)數(shù)的加法和乘法 列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì) 分析 實(shí)數(shù)的加法和乘法都是由兩個(gè)數(shù)參與的運(yùn)算 都滿足一定的運(yùn)算律 都存在逆運(yùn)算 而且 0 和 1 分別在加法和乘法中占有特殊的地位 因此 我們可以從上述4個(gè)方面來類比這兩種運(yùn)算 解 1 兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過加法運(yùn)算或乘法運(yùn)算后 所得的結(jié)果仍然是一個(gè)實(shí)數(shù) 2 從運(yùn)算律的角度考慮 加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律 即 3 從逆運(yùn)算的角度考慮 二者都有逆運(yùn)算 加法的逆運(yùn)算是減法 乘法的逆運(yùn)算是除法 這就使得方程 都有唯一解 4 在加法中 任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小 乘法中的1與加法中的0類似 即任意實(shí)數(shù)與1的積都等于原來的數(shù) 即 解答 三角形 你認(rèn)為平面幾何中的哪一類圖形可以作為四面體的類比對象 變式訓(xùn)練 例3 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理 試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想 分析 考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直 我們可以選取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體 作為直角三角形的類比對象 解 如上圖 在rt abc中 c 90 設(shè)a b c分別表示三條邊的長度 由勾股定理 得 類比勾股定理的結(jié)構(gòu) 我們猜想 成立 總結(jié)提升 提出猜想 觀察 分析 比較 聯(lián)想 歸納 類比 從具體問題出發(fā) 通俗地說 合情推理是指 合乎情理 的推理 2015 菏澤高二檢測 有兩種花色的正六邊形地面磚 按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案 則第6個(gè)圖案中有菱形花紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是 a 26b 31c 32d 36 變式練習(xí) b 例4如圖所示 有三根針和套在一根針上的若干金屬片 按下列規(guī)則 把金屬片從一根針上全部移到另一根針上 1 每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片 2 較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面 試推測 把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針 最少需要移動(dòng)多少次 分析 我們從移動(dòng)1 2 3 4個(gè)金屬片的情形入手 探究其中的規(guī)律性 進(jìn)而歸納出移動(dòng)n個(gè)金屬片所需的次數(shù) 解 當(dāng)n 1時(shí) 只需把金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針 用符號(hào) 13 表示 共移動(dòng)了1次 當(dāng)n 2時(shí) 為了避免將較大的金屬片放在較小的金屬片上面 我們利用2號(hào)針作為 中間針 移動(dòng)順序是 1 把第1個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針 2 把第2個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針 3 把第1個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針 用符號(hào)表示為 12 13 23 共移動(dòng)了3次 當(dāng)n 3時(shí) 把上面兩個(gè)金屬片作為一個(gè)整體 歸結(jié)為n 2的情形 移動(dòng)順序是 1 把上面兩個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針 2 把第3個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針 3 把上面兩個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針 其中 1 和 3 都需要借助中間針 用符號(hào)表示為 13 12 32 13 21 23 13 共移動(dòng)了7次 當(dāng)n 4時(shí) 把上面3個(gè)金屬片作為一個(gè)整體 移動(dòng)順序是 1 把上面3個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針 2 把第4個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針 3 把上面3個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針 用符號(hào)表示為 12 13 23 12 31 32 12 13 23 21 31 23 12 13 23 共移動(dòng)了15次 至此 我們得到依次移動(dòng)1 2 3 4個(gè)金屬片所需次數(shù)構(gòu)成的數(shù)列 1 3 7 15 觀察這個(gè)數(shù)列 可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著如下規(guī)律 由此我們猜想 若把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針 最少需要移動(dòng)an次 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 思考 把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針 怎樣移動(dòng)才能達(dá)到最少的移動(dòng)次數(shù)呢 通過探究上述n 1 2 3 4時(shí)的移動(dòng)方法 我們可以歸納出對n個(gè)金屬片都適用的移動(dòng)方法 當(dāng)移動(dòng)n個(gè)金屬片時(shí) 可分為下列3個(gè)步驟 1 把上面 n 1 個(gè)金屬片從1號(hào)針移到2號(hào)針 2 把第n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針 3 把上面 n 1 個(gè)金屬片從2號(hào)針移到3號(hào)針 這樣就把移動(dòng)n個(gè)金屬片的任務(wù) 轉(zhuǎn)化為移動(dòng)兩次 n 1 個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第n個(gè)金屬片的任務(wù) 而移動(dòng) n 1 個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次 n 2 個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第 n 1 個(gè)金屬片 移動(dòng) n 2 個(gè)金屬片需要移動(dòng)兩次 n 3 個(gè)金屬片和移動(dòng)一次第 n 2 個(gè)金屬片 如此繼續(xù) 直到轉(zhuǎn)化為移動(dòng)1個(gè)金屬片的情形 根據(jù)這個(gè)過程 可得遞推公式 從這個(gè)遞推公式出發(fā) 可以證明 1 式是正確的 一般來說 由合情推理所獲得的結(jié)論 僅僅是一種猜想 未必可靠 費(fèi)馬猜想 同樣地 類比推理所得的結(jié)論也不一定可靠 你能舉一個(gè)例子嗎 半個(gè)世紀(jì)之后 歐拉發(fā)現(xiàn) 猜想 不是質(zhì)數(shù) 從而推翻了費(fèi)馬的猜想 2015 臨沂高二檢測 用火柴棒擺 金魚 如圖所示 按照上面的規(guī)律 第n個(gè) 金魚 圖需要火柴棒的根數(shù)為 a 6n 2b 8n 2c 6n 2d 8n 2 變式練習(xí) c 解題關(guān)鍵 先計(jì)算各個(gè)圖形中的火柴棒 然后從中探尋規(guī)律 并進(jìn)行歸納 1 下列說法中 正確的是 a 合情推理就是正確的推理b 合情推理就是歸納推理c 歸納推理是從一般到特殊的推理過程d 類比推理是從特殊到特殊的推理過程 d 2 根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456 9 7等于 1 9 2 1112 9 3 111123 9 4 11111234 9 5 1111112345 9 6 111111 a 1111110b 1111111c 1111112d 1111113 b 3 觀察下列等式 13 23 32 13 23 33 62 13 23 33 43 102 根據(jù)上述規(guī)律 第五個(gè)等式為 解析 由前3個(gè)式子可看出 等式的左邊為自然數(shù)的立方和 而右邊正好等于各個(gè)自然數(shù)和的平方 即13 23 33 n3 1 2 n 2 故第五個(gè)等式為13 23 33 43 53 6